Zadania na dowodzenie nierówności
Zapraszam do obejrzenia obszernego filmu dotyczącego dowodzenia nierówności algebraicznych, na którym na wstępie znajdziecie 10 "przykazań" pomocnych przy tych zadaniach.
Po obejrzeniu wprowadzenia rozpocznie się automatyczne odtwarzanie rozwiązań wszystkich poniższych zadań.
Zadanie 1
Wykazać, że dla każdych liczb rzeczywistych 
zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 2
Wykazać, że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 3
Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej 
prawdziwa
jest nierówność 
.
Zadanie 4
Wykazać, że dla każdych liczb rzeczywistych oraz 
zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 5
Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich 
zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 6
Wykazać, że jeśli 
to
zachodzi nierówność 
.
Zadanie 7
Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych 
zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 8
Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 9
Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich 
zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 10
Wykazać, że dowolne liczby dodatnie spełniają
nierówność 
.
Zadanie 11
Wykazać, że dowolne liczby dodatnie 
spełniają
nierówność 
.
Zadanie 12
Korzystając z nierówności 
dla
dodatnich 
udowodnij,
że dla dowolnych liczb dodatnich 
zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 13
Korzystając z nierówności dla
dodatnich udowodnij,
że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi
nierówność 
.
Zadanie 14
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 15
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 16
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 17
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 18
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 19
Wykazać, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste 
spełniają
nierówność 
to 
Zadanie 20
Wykazać, że jeśli dwie dowolne liczby rzeczywiste 
spełniają
nierówność 
to 
Zadanie 21 (PP maj 2012)
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste 
spełniają
nierówności 
,
to 
.
Zadanie 22
Wykazać, że dla każdych liczb rzeczywistych prawdziwa
jest nierówność 
.
Zadanie 23
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych 
takich,
że 
prawdziwa
jest nierówność
.
Zadanie 24
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 25
Wykazać, że jeśli 
to
wyrażenie 
przyjmuje
zawsze wartości dodatnie.
Zadanie 26
Wykazać, że dla dowolnego kąta ostrego zachodzi nierówność to
.
Zadanie 27
Wykazać, że jeśli 
to 
.
Zadanie 28 (PR maj 2014)
Udowodnij, że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich prawdziwa
jest nierówność
Zadanie 29 (PP czerwiec 2014)
Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa
jest nierówność 
.
Zadanie 30 (PR maj 2013)
Udowodnij, że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich takich,
że 
prawdziwa
jest nierówność
.
Możesz skorzystać z tożsamości 
Zadanie 31 (PR czerwiec 2013)
Uzasadnij, że jeśli 
,
to 
.
Zadanie 32 (PR maj 2012)
Udowodnij, że jeżeli 
,
to prawdziwa jest nierówność 
.
Zadanie 33 (PR czerwiec 2012)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich 
prawdziwa
jest nierówność 
.
Zadanie 34 (PR sierpień 2010)
Wykaż, że nierówność 
jest
spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste 
Zadanie 35 (PP wrzesień 2009)
Udowodnij, że jeśli 
są
liczbami naturalnymi oraz 
to 
Zadanie 36
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych 
zachodzi
nierówność 
Zadanie 37
Wykaż, że jeżeli 
,
to 
Zadanie 38
Wykaż, że jeżeli 
,
to 
Zadanie 39
Wykaż, że jeżeli 
to 
Zadanie 40
Wykaż, że jeżeli 
,
to 
