Równania wielomianowe z wartością bezwzględną – poziom rozszerzony
Wielomiany - video lekcje Odsłon: 30

Równania wielomianowe z wartością bezwzględną

Poziom rozszerzony. W tej lekcji omawiamy równania, w których wielomiany występują pod znakiem wartości bezwzględnej. Pokazujemy zarówno klasyczną metodę przedziałową, jak i szybsze przekształcenia wykorzystujące podstawienie nowej zmiennej oraz wzory skróconego mnożenia.

1 Przypomnienie definicji wartości bezwzględnej

Definicja wartości bezwzględnej
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\):

Definicja

\[ |a|= \begin{cases} a, & \text{gdy } a\geq 0,\\ -a, & \text{gdy } a<0. \end{cases} \]

W przypadku wyrażenia \(W(x)\) należy najpierw ustalić, dla jakich wartości \(x\) wyrażenie to jest nieujemne, a dla jakich ujemne.

\[ |W(x)|= \begin{cases} W(x), & \text{gdy } W(x)\geq 0,\\ -W(x), & \text{gdy } W(x)<0. \end{cases} \]
Podstawowe własności
  • \(|a|\geq 0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\),
  • \(|a|=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=0\),
  • \(|a|=|-a|\),
  • \(|ab|=|a|\cdot|b|\),
  • \(|a|^{2}=a^{2}\).

Ważna obserwacja

Jeżeli po jednej stronie równania występuje wartość bezwzględna, to druga strona musi być nieujemna. Ten warunek często pozwala szybko odrzucić część przypadków.

Równanie typu \(|A(x)|=B(x)\)
Równanie
\[ |A(x)|=B(x) \]
ma rozwiązania tylko wtedy, gdy:
\[ B(x)\geq 0. \]
Następnie rozpatrujemy dwa równania:
\[ A(x)=B(x) \qquad\text{lub}\qquad A(x)=-B(x). \]
Otrzymane rozwiązania należy sprawdzić z warunkiem \(B(x)\geq 0\).

2 Metody rozwiązywania

Jak wybrać odpowiednią metodę?
1

Metoda przedziałowa

Wyznacz miejsca zerowe wyrażenia pod wartością bezwzględną, podziel oś liczbową na przedziały i w każdym przedziale usuń znak wartości bezwzględnej zgodnie z definicją.

2

Rozpisanie na dwa przypadki

Jeżeli równanie ma postać \(|A(x)|=B(x)\), rozwiąż równania \(A(x)=B(x)\) oraz \(A(x)=-B(x)\), pamiętając o warunku \(B(x)\geq 0\).

3

Podstawienie zmiennej pomocniczej

Jeżeli wielokrotnie powtarza się to samo wyrażenie, na przykład \(|x-2|\), można przyjąć \(t=|x-2|\), przy czym \(t\geq 0\).

4

Wzory skróconego mnożenia

W trudniejszych równaniach warto rozpoznawać różnicę lub sumę sześcianów, różnicę kwadratów oraz inne charakterystyczne rozkłady wielomianów.

5

Sprawdzenie rozwiązań

Po rozwiązaniu równań pomocniczych sprawdź, czy otrzymane liczby spełniają założenia danego przypadku oraz równanie początkowe.

3 Prosty przykład z podstawieniem

Równanie z powtarzającym się wyrażeniem

\[ |x-1|^{2}-3|x-1|+2=0 \]
Podstawiamy:
\[ t=|x-1|,\qquad t\geq 0. \]
Otrzymujemy:
\[ t^{2}-3t+2=0. \]
Rozkładamy na czynniki:
\[ (t-1)(t-2)=0. \]
Zatem:
\[ t=1\qquad\text{lub}\qquad t=2. \]
Wracamy do zmiennej \(x\):
\[ |x-1|=1 \qquad\text{lub}\qquad |x-1|=2. \]
Stąd:
\[ x\in\{-1,0,2,3\}. \]

4 Zadania omawiane w video lekcji

Zadanie 1 Wartość bezwzględna i kwadrat wyrażenia
\[ 2|x-2|+(x-2)^{2}=0 \]

Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:

  • metodą przedziałową,
  • przez podstawienie \(t=|x-2|\), gdzie \(t\geq 0\).

Ponieważ:

\[ (x-2)^{2}=|x-2|^{2}, \]
po podstawieniu otrzymujemy równanie:
\[ 2t+t^{2}=0. \]
Zadanie 2 Równanie stopnia czwartego
\[ x^{4}+5=|5x^{3}+x| \]

Wartość bezwzględna znajduje się po prawej stronie równania. Równanie można rozwiązać:

  • przez rozpisanie wartości bezwzględnej na dwa przypadki,
  • metodą przedziałową po analizie znaku wyrażenia \(5x^{3}+x\).

Zauważmy, że:

\[ 5x^{3}+x=x(5x^{2}+1). \]
Ponieważ \(5x^{2}+1>0\), znak całego wyrażenia zależy wyłącznie od znaku liczby \(x\).
Zadanie 3 Wykorzystanie sumy sześcianów
\[ |x^{3}-1|=x^{2}+x+1 \]

Korzystamy z rozkładu różnicy sześcianów:

\[ x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1). \]
Zatem:
\[ |x^{3}-1| = |x-1|\cdot|x^{2}+x+1|. \]
Ponieważ:
\[ x^{2}+x+1>0 \quad\text{dla każdego }x\in\mathbb{R}, \]
otrzymujemy:
\[ |x^{3}-1| = |x-1|(x^{2}+x+1). \]
Można więc podzielić obie strony równania przez dodatnie wyrażenie \(x^{2}+x+1\), co prowadzi do znacznie prostszego równania:
\[ |x-1|=1. \]

Wskazówka strategiczna

Nie każde równanie z wartością bezwzględną trzeba od razu rozpisywać na wiele przedziałów. Warto najpierw poszukać powtarzającego się wyrażenia, odpowiedniego podstawienia albo rozkładu wielomianu na czynniki.

Video lekcja dostępna w abonamencie PREMIUM Zaloguj się

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM  👉 Abonament PREMIUM

Related Articles

Równania wielomianowe – metoda podstawiania nowej zmiennej – poziom rozszerzony

Równania wielomianowe - pierwiastki całkowite, wymierne i schemat Hornera - poziom rozszerzony

Równania wielomianowe – metoda grupowania wyrazów – poziom rozszerzony

logo 2022 joomla footer