Równania wielomianowe – metoda podstawiania nowej zmiennej – poziom rozszerzony
Wielomiany - video lekcje Odsłon: 28

Równania wielomianowe – podstawienie nowej zmiennej

Poziom rozszerzony. W tej lekcji pokazujemy, jak równania wysokich stopni sprowadzać do prostszych równań za pomocą odpowiednio dobranej zmiennej pomocniczej.

1 Na czym polega podstawienie nowej zmiennej?

Główna idea metody
Metodę podstawienia nowej zmiennej stosujemy wtedy, gdy w równaniu występują potęgi niewiadomej tworzące regularny układ, na przykład:
\[ x^{4},\quad x^{2},\quad 1 \]
albo:
\[ x^{6},\quad x^{3},\quad 1. \]
W takich przypadkach można wprowadzić zmienną pomocniczą:
\[ t=x^{2} \qquad\text{lub}\qquad t=x^{3}. \]
Dzięki temu równanie wysokiego stopnia zostaje sprowadzone najczęściej do równania kwadratowego.
Kiedy można zastosować tę metodę?
  • Gdy wykładniki potęg są wielokrotnościami jednej liczby, np. \(4,2,0\) albo \(6,3,0\).
  • Gdy równanie zawiera wyrażenie, które powtarza się w kilku miejscach.
  • Gdy po podstawieniu otrzymujemy równanie łatwiejszego stopnia.
  • Gdy chcemy uniknąć wielokrotnego stosowania schematu Hornera.
Założenia dotyczące nowej zmiennej
Rodzaj podstawienia wpływa na możliwe wartości zmiennej pomocniczej.
  • Jeżeli \(t=x^{2}\), to: \[ t\geq 0. \]
  • Jeżeli \(t=x^{4}\), to również: \[ t\geq 0. \]
  • Jeżeli \(t=x^{3}\), to \(t\) może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Bardzo ważne

Po rozwiązaniu równania z niewiadomą \(t\) trzeba wrócić do pierwotnej zmiennej \(x\) i rozwiązać równania wynikające z zastosowanego podstawienia.

2 Schemat postępowania

Jak rozwiązywać równania przez podstawienie?
1

Uporządkuj równanie

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadź równanie do postaci \(W(x)=0\).

2

Rozpoznaj układ potęg

Sprawdź, czy potęgi niewiadomej są kolejnymi potęgami pewnego wyrażenia, np. \(x^{4}=(x^{2})^{2}\).

3

Wprowadź nową zmienną

Zastosuj podstawienie, np. \(t=x^{2}\) albo \(t=x^{3}\), i zapisz odpowiednie założenie.

4

Rozwiąż równanie z niewiadomą \(t\)

Najczęściej będzie to równanie kwadratowe.

5

Wróć do zmiennej \(x\)

Dla każdej dopuszczalnej wartości \(t\) rozwiąż odpowiednie równanie, np. \(x^{2}=t\) albo \(x^{3}=t\).

3 Prosty schemat metody

Przykład równania dwukwadratowego

\[ x^{4}-5x^{2}+4=0 \]
Podstawiamy:
\[ t=x^{2},\qquad t\geq 0. \]
Otrzymujemy:
\[ t^{2}-5t+4=0. \]
Po rozłożeniu na czynniki:
\[ (t-1)(t-4)=0. \]
Zatem:
\[ t=1\qquad\text{lub}\qquad t=4. \]
Wracamy do zmiennej \(x\):
\[ x^{2}=1\qquad\text{lub}\qquad x^{2}=4. \]
Ostatecznie:
\[ x\in\{-2,-1,1,2\}. \]

4 Zadania omawiane w video lekcji

Zadanie 1 Równanie stopnia czwartego
\[ x^{4}-12=x^{2} \]

Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę:

\[ x^{4}-x^{2}-12=0. \]

Stosujemy podstawienie:

\[ t=x^{2},\qquad t\geq 0. \]
Zadanie 2 Równanie stopnia szóstego
\[ x^{3}(x^{3}-7)=8 \]

Po wymnożeniu i przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę:

\[ x^{6}-7x^{3}-8=0. \]

Wprowadzamy zmienną pomocniczą:

\[ t=x^{3}. \]

Ponieważ potęga jest nieparzysta, \(t\) może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Zadanie 3 Równanie z kwadratem sumy
\[ (x^{3}+1)^{2}=81x^{6} \]

Stosujemy podstawienie:

\[ t=x^{3}. \]
Otrzymujemy równanie:
\[ (t+1)^{2}=81t^{2}. \]

Można je rozwiązać bez obliczania delty, korzystając z własności:

\[ a^{2}=b^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad a=b\ \text{lub}\ a=-b. \]

Dlaczego warto stosować podstawienie?

Odpowiednio dobrana zmienna pomocnicza pozwala sprowadzić równanie czwartego lub szóstego stopnia do prostego równania kwadratowego. Dzięki temu często unikamy wielokrotnego stosowania schematu Hornera.

Video lekcja dostępna w abonamencie PREMIUM Zaloguj się

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM  👉 Abonament PREMIUM

Related Articles

Równania wielomianowe - pierwiastki całkowite, wymierne i schemat Hornera - poziom rozszerzony

Równania wielomianowe – metoda grupowania wyrazów – poziom rozszerzony

Równania wielomianowe - poziom podstawowy

logo 2022 joomla footer