Proste równoległe
Warunek równoległości prostych
Dwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.
\[
y=a_1x+b_1 \quad \text{i} \quad y=a_2x+b_2
\]
\[
a_1=a_2
\]
W postaci ogólnej:
\[
A_1x+B_1y+C_1=0 \quad \text{i} \quad A_2x+B_2y+C_2=0
\]
proste są równoległe, gdy:
\[
\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}
\]
Przykłady (zadania otwarte)
1Sprawdź równoległość
\[
y=3x-2 \quad \text{i} \quad y=3x+5
\]
\[
a_1=3,\quad a_2=3
\]
\[
a_1=a_2
\]
Zatem proste są równoległe.
2Sprawdź równoległość
\[
y=-2x+1 \quad \text{i} \quad y=4x-7
\]
\[
a_1=-2,\quad a_2=4
\]
\[
a_1\neq a_2
\]
Proste nie są równoległe.
3Wyznacz prostą równoległą
Dana: \(y=2x-3\), punkt \(A=(1,4)\)
\[
y=2x+b
\]
\[
4=2\cdot1+b
\]
\[
b=2
\]
\[
y=2x+2
\]
4Wyznacz prostą równoległą
Dana: \(y=-\frac{1}{2}x+6\), punkt \(A=(2,1)\)
\[
y=-\frac{1}{2}x+b
\]
\[
1=-1+b
\]
\[
b=2
\]
\[
y=-\frac{1}{2}x+2
\]
5Postać ogólna
\[
2x-y+3=0 \quad \text{i} \quad 4x-2y-5=0
\]
\[
y=2x+3
\]
\[
y=2x-\frac{5}{2}
\]
\[
a_1=a_2=2
\]
Proste są równoległe.
6Wyznacz parametr
\[
y=(m+1)x-2 \quad \text{i} \quad y=5x+3
\]
\[
m+1=5
\]
\[
m=4
\]
7Wyznacz parametr
\[
y=mx+1 \quad \text{i} \quad y=-3x+7
\]
\[
m=-3
\]
8Punkt i równoległość
Dana prosta: \(y=4x-1\), punkt \(A=(0,3)\)
\[
y=4x+b
\]
\[
3=b
\]
\[
y=4x+3
\]
9Postać ogólna
\[
3x+2y-4=0
\]
\[
y=-\frac{3}{2}x+2
\]
Prosta równoległa:
\[
y=-\frac{3}{2}x+b
\]
10Zadanie z parametrem
\[
y=(2m-1)x+3 \quad \text{i} \quad y=7x-2
\]
\[
2m-1=7
\]
\[
2m=8
\]
\[
m=4
\]
11Zadanie mieszane
Dana prosta: \(y=-x+5\), punkt \(A=(2,0)\)
\[
y=-x+b
\]
\[
0=-2+b
\]
\[
b=2
\]
\[
y=-x+2
\]
