Zadania z latami - praktyczny poradnik z przykładami

Poradniki matematyczne Odsłon: 119

O zadaniach tekstowych z wiekiem słów kilka...

Dlaczego warto stosować tabelę?

Jak tworzyć tabelę?

• Przeszłość – np. wiek osób kilka lat temu, jeśli zadanie odnosi się do przeszłości.
• Teraźniejszość – czyli wiek osób obecnie.
• Przyszłość – np. wiek za kilka lat, jeśli zadanie zawiera takie odniesienie.

Przykładowa tabela do zadania

• Dwa lata temu $y-2=5(x-2)$$y-2=5(x-2)$y-2=5(x-2)y - 2 = 5(x - 2)$y-2=5(x-2)$.
• Za 8 lat $y+8=2(x+8)$$y+8=2(x+8)$y+8=2(x+8)y + 8 = 2(x + 8)$y+8=2(x+8)$.

PRZYKŁADY ZADAŃ

Zadanie 1

Analiza zadania

1. Dwa lata temu ojciec był 10 razy starszy od syna:
   $$y-2=10(x-2)$$$$y-2=10(x-2)$$y-2=10(x-2)y - 2 = 10(x - 2)$$y-2=10(x-2)$$
   Po przekształceniu:
   $$y-2=10x-20$$$$y-2=10x-20$$y-2=10 x-20y - 2 = 10x - 20$$y-2=10x-20$$
   $$y=10x-18$$$$y=10x-18$$y=10 x-18y = 10x - 18$$y=10x-18$$
2. Za 13 lat ojciec będzie 2,5 razy starszy od syna:
   $$y+13=2.5(x+13)$$$$y+13=2.5(x+13)$$y+13=2.5(x+13)y + 13 = 2.5 (x + 13)$$y+13=2.5(x+13)$$
   Po przekształceniu:
   $$y+13=2.5x+32.5$$$$y+13=2.5x+32.5$$y+13=2.5 x+32.5y + 13 = 2.5x + 32.5$$y+13=2.5x+32.5$$
   $$y=2.5x+19.5$$$$y=2.5x+19.5$$y=2.5 x+19.5y = 2.5x + 19.5$$y=2.5x+19.5$$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Układ równań

1. $y=10x-18$$y=10x-18$y=10 x-18y = 10x - 18$y=10x-18$
2. $y=2.5x+19.5$$y=2.5x+19.5$y=2.5 x+19.5y = 2.5x + 19.5$y=2.5x+19.5$

Krok 2: Rozwiązanie dla $x$$x$xx$x$

Krok 3: Obliczenie wieku ojca

Odpowiedź

Zadanie 2

Analiza zadania

1. Dwa lata temu:
   $$y-2=10(x-2)$$$$y-2=10(x-2)$$y-2=10(x-2)y - 2 = 10(x - 2)$$y-2=10(x-2)$$
   ponieważ dwa lata temu matka była 10 razy starsza od córki.
2. Za 10 lat:
   $$(y+10)-(x+10)=27$$$$(y+10)-(x+10)=27$$(y+10)-(x+10)=27(y + 10) - (x + 10) = 27$$(y+10)-(x+10)=27$$
   ponieważ za 10 lat matka będzie o 27 lat starsza od córki.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozpisanie równań

Krok 2: Podstawienie pierwszego równania do drugiego

Krok 3: Obliczenie wieku matki

Odpowiedź

Zadanie 3

Analiza zadania

1. Przed 10 laty:
   $$y-10=4(x-10)$$$$y-10=4(x-10)$$y-10=4(x-10)y - 10 = 4(x - 10)$$y-10=4(x-10)$$
   ponieważ przed 10 laty ojciec był cztery razy starszy od córki.
2. Za 10 lat:
   $$(y+10)+(x+10)=100$$$$(y+10)+(x+10)=100$$(y+10)+(x+10)=100(y + 10) + (x + 10) = 100$$(y+10)+(x+10)=100$$
   ponieważ za 10 lat razem będą mieli 100 lat.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozpisanie równań

Krok 2: Podstawienie pierwszego równania do drugiego

Krok 3: Obliczenie wieku ojca

Odpowiedź

Zadanie 4

Analiza zadania

1. Połowa wieku ojca to $\frac{1}{4}$$\frac{1}{4}$(1)/(4)\frac{1}{4}$\frac{1}{4}$ sumy lat dziadka i syna:
   $$\frac{y}{2}=\frac{1}{4}(z+x)$$$$\frac{y}{2}=\frac{1}{4}(z+x)$$(y)/(2)=(1)/(4)(z+x)\frac{y}{2} = \frac{1}{4} (z + x)$$\frac{y}{2}=\frac{1}{4}(z+x)$$
   Mnożymy obustronnie przez 4:
   $$2y=z+x$$$$2y=z+x$$2y=z+x2y = z + x$$2y=z+x$$
2. Pięć lat temu ojciec miał o 35 lat mniej niż dziadek i syn razem:
   $$y-5=(z-5)+(x-5)-35$$$$y-5=(z-5)+(x-5)-35$$y-5=(z-5)+(x-5)-35y - 5 = (z - 5) + (x - 5) - 35$$y-5=(z-5)+(x-5)-35$$
   Upraszczamy:
   $$y-5=z+x-45$$$$y-5=z+x-45$$y-5=z+x-45y - 5 = z + x - 45$$y-5=z+x-45$$
   $$y=z+x-40$$$$y=z+x-40$$y=z+x-40y = z + x - 40$$y=z+x-40$$
3. Za 3 lata dziadek będzie miał o 7 lat więcej niż ojciec i syn razem:
   $$z+3=(y+3)+(x+3)+7$$$$z+3=(y+3)+(x+3)+7$$z+3=(y+3)+(x+3)+7z + 3 = (y + 3) + (x + 3) + 7$$z+3=(y+3)+(x+3)+7$$
   Upraszczamy:
   $$z+3=y+x+13$$$$z+3=y+x+13$$z+3=y+x+13z + 3 = y + x + 13$$z+3=y+x+13$$
   $$z=y+x+10$$$$z=y+x+10$$z=y+x+10z = y + x + 10$$z=y+x+10$$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Układ równań

1. $2y=z+x$$2y=z+x$2y=z+x2y = z + x$2y=z+x$
2. $y=z+x-40$$y=z+x-40$y=z+x-40y = z + x - 40$y=z+x-40$
3. $z=y+x+10$$z=y+x+10$z=y+x+10z = y + x + 10$z=y+x+10$

Krok 2: Podstawienie do pierwszego równania

Krok 3: Podstawienie do drugiego równania

Krok 4: Obliczenie wieku ojca

Krok 5: Obliczenie wieku dziadka

Odpowiedź

Zadanie 5

Analiza zadania

1. Gdyby zmarł 5 lat wcześniej, to panowałby przez $\frac{1}{4}$$\frac{1}{4}$(1)/(4)\frac{1}{4}$\frac{1}{4}$ swego życia:
   $$y-5=\frac{1}{4}(x-5)$$$$y-5=\frac{1}{4}(x-5)$$y-5=(1)/(4)(x-5)y - 5 = \frac{1}{4} (x - 5)$$y-5=\frac{1}{4}(x-5)$$
2. Gdyby żył 9 lat dłużej, to panowałby przez połowę swego życia:
   $$y+9=\frac{1}{2}(x+9)$$$$y+9=\frac{1}{2}(x+9)$$y+9=(1)/(2)(x+9)y + 9 = \frac{1}{2} (x + 9)$$y+9=\frac{1}{2}(x+9)$$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozpisanie pierwszego równania

Krok 2: Rozpisanie drugiego równania

Krok 3: Rozwiązanie układu równań

1. $x=4y-15$$x=4y-15$x=4y-15x = 4y - 15$x=4y-15$
2. $x=2y+9$$x=2y+9$x=2y+9x = 2y + 9$x=2y+9$

Krok 4: Obliczenie długości życia

Odpowiedź

Zadanie 6

Analiza zadania

1. Razem mają 50 lat:
   $$y+x=50$$$$y+x=50$$y+x=50y + x = 50$$y+x=50$$
2. Pięć lat temu ojciec był 9 razy starszy od córki:
   $$y-5=9(x-5)$$$$y-5=9(x-5)$$y-5=9(x-5)y - 5 = 9(x - 5)$$y-5=9(x-5)$$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozpisanie drugiego równania

Krok 2: Podstawienie do pierwszego równania

Krok 3: Obliczenie wieku ojca

Odpowiedź

Zadanie 7

Analiza zadania

1. Razem mają 54 lata:
   $$y+x=54$$$$y+x=54$$y+x=54y + x = 54$$y+x=54$$
2. Trzynaście lat temu Ludwik był 3 razy starszy od Janka:
   $$y-13=3(x-13)$$$$y-13=3(x-13)$$y-13=3(x-13)y - 13 = 3(x - 13)$$y-13=3(x-13)$$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozpisanie drugiego równania

Krok 2: Podstawienie do pierwszego równania

Krok 3: Obliczenie wieku Ludwika

Odpowiedź cz. 1

Ile lat temu Ludwik był dwa razy starszy od Janka?

Odpowiedź cz. 2

Zadanie 8

Analiza zadania

Rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź