1990 woj. krakowskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Obliczyć sumę wyrazów nieskończonego ciagu geometrycznego, w którym \( a_1=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)}, q=\sin 2 \alpha, \mathrm{gdy}\) \(\sin \alpha=\frac{3}{5}\)
Zadanie 2.
Wyznacz przedzialy monotoniczności oraz wartości ekstremalne funkcji
\(f(x)=\frac{x^2+2 x+4}{x+2}+\frac{8}{x^2-4} .\)
Zadanie 3.
Dane sa punkty \(A=(0 ; 1), B=(4 ; 3)\) oraz \(M=(3 ; 5)\). Na prostej \(l\) przechodzącej przez punkt \(M\) i równoleglej do prostej \(A B\) znaleźć punkt \(C\) równoodległy od punktów \(A\) i \(B\). Wykazać, że trójkat \(A B C\) jest prostokątny i napisać równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 4.
Podstawą ostroshupa jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, zaś pozostałe dwie są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem \(\beta\). Która ze ścian bocznych ma największe pole? Odpowiedź uzasadnić oraz obliczyć to pole.
Zadanie 5.
Ze zbioru \(Z=\left\{x: x \in C\right.\) i \(\log \frac{x^2-3 x-9}{x-4} \geqslant 0\) i \(\left.x<5\right\}\) losujemy kolejno bez zwracania liczby \(a\) i \(b\) i na plaszczyźnie zaznaczamy punkt \(P=(a ; b)\). Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń: \(A-\) otrzymany punkt należy do wykresu \(y=|x-1|, B-\) współrzędne punktu \(P\) spelniaja warunek \(a+\mathrm{b}=3\). Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory \(\Omega\), \(A\) i \(B\)
