1975 woj. białostockie - profil podstawowy
Zadanie 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\), pierwiastki równania
\(
\frac{m x}{m-1}+\frac{m+1}{x}=x+1
\)
speiniają nierówność \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<2 m+1\) ?
Zadanie 2.
Punkty \(A(7,7), B(0,8), C(-2,4)\) są wierzchołkami trójkąta \(A B C\).
a) Oblicz pole i miary kątów trójkąta \(A B C\).
b) Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\).
c) Napisz równanie stycznej w punkcie \(M(3,9)\) do okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\).
Zadanie 3.
W trapezie \(A B C D\) dane są \(A C=a, kąt D A C=kąt A B C=\alpha\). Proste \(A D\) i \(B C\), w których zawierają się ramiona trapezu, są prostopadłe. Oblicz pole trapezu.
Zadanie 4.
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy \(18 \mathrm{~cm}\). Jakie powinny być boki tego trójkąta, by objętość bryly powstałej z jego obrotu dokoła podstawy była największa?
Zadanie 5.
Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest \(6\) kobiet, otrzymała \(5\) biletów do teatru. Bilety rozdzieliło się drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów znajdą się dokładnie \(3\) kobiety.
Zadanie 1.
\(-\frac{3}{2}<m<-1 \vee 0<m<1\).
Zadanie 2.
a) \(P_{\triangle \mathrm{ABC}}=15\).
\(\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=\frac{2}{\sqrt{5}}\),
\(\cos (\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B})=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow |kąt(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B})|=\frac{\pi}{4}\),
\(\cos \overrightarrow{(B C}, \overrightarrow{B A})=-\frac{1}{\sqrt{10}}\).
b) \(Q:(x-3)^2+(y-4)^2=25\)
c) Równanie stycznej do okręgu \(Q\) w punkcie \(M\) ma postać \(y=9\).
Zadanie 3.
\(P=a^2 \operatorname{ctg} 2 \alpha\).
Zadanie 4.
Podstawa trójkąta równa \(\frac{9}{2} \mathrm{~cm}\), a ramiona po \(\frac{27}{4} \mathrm{~cm}\).
Zadanie 5.
\(p=\frac{\left(\begin{array}{c}14 \\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}20 \\ 5\end{array}\right)}\)
1975 woj. białostockie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1. Dla jakich wartości parametru \(a\) równanie
\(
3 x^2-x \log a+1=0
\)
ma pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek \(x_1^2+x_2^2=1\) ?
Zadanie 2. Znajdź równania stycznych do okręgu
\(
x^2+y^2-8 x-10 y+28=0
\)
i nachylonych do prostej \(5 x-y+3=0\) pod kątem \(\frac{\pi}{4}\).
Zadanie 3. W półokrąg o promieniu \(R\) wpisano trapez, którego podstawą jest średnica okręgu. Dla jakiego kąta przy podstawie trapezu pole trapezu jest największe?
Zadanie 4. Przekątne \(\overline{A C}\) i \(\overline{B D}\) trapezu \(A B C D\) o podstawach \(\overline{A B}\) i \(\overline{D C}\) przecinają się w punkcie \(O\). Mając dane pola \(P_1\) i \(P_2\) trójkątów \(A B O\) i \(C D O\) oblicz pole trapezu.
Zadanie 5. Dziesięciu chłopców wybrało się na wycieczkę rowerową jadąc gęsiego. Janek i Franek oraz Bronek znajdują się w grupie chłopców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) Janka, Franka i Bronka nikt nie przedziela,
b) Janek i Franek znajdują się obok siebie, a Bronka od Janka i Franka przedziela co najmniej jeden chłopak.
Zadanie 1.
\(a_1=10^{-\sqrt{15}}\) lub \(a_2=10^{\sqrt{15}}\)
Zadanie 2.
\(y=\frac{2}{3} x+\frac{20}{3}, y=\frac{2}{3} x-2, y=-\frac{3}{2} x+\frac{35}{2}, y=-\frac{3}{2} x+\frac{9}{2}\)
Zadanie 3.
Gdy \(\alpha=\frac{\pi}{3}\) pole trapezu jest największe.
Zadanie 4.
\(P=\frac{1}{2}(a+b)\left(h_1+h_2\right)=P_1+P_2+a h_2=\left(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}\right)^2\)
Zadanie 5.
a) \( P(A)=\frac{3 ! 7 ! 8 !}{10 !}=\frac{1}{15} . \)
b) \( P(B)=\frac{2 ! 8 ! 9 !-2 ! 7 ! 8 !}{10 !}=\frac{7}{45} .
\)
1975 woj. białostockie - profil humanistyczny
Zadanie 1. Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie
\(
x^2+(2 m-3) x+2 m+5=0
\)
ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków?
Zadanie 2. Punkty \(A(6,-1), B(6,-5)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(A B C\), w którym \(A B=A C\). Wysokość \(\overline{A D}\) trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-7\).
a) Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
b) Oblicz pole trójkąta \(A B C\).
c) Oblicz długość boku \(\overline{B C}\).
Zadanie 3. Zbadaj przebieg funkcji \(f(x)=x^4-10 x^2+9\) i sporządź jej wykres.
Zadanie 4. Osiem osób posadzono przy okrągłym stole. Przyjmując, że wszystkie sposoby, w jakie można to zrobić, są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ustalone dwie osoby będą siedziaty obok siebie.
Zadanie 5. Rozwiąż równanie \(3 \sin x=2 \cos ^2 x\).
Zadanie 1.
\(m<-\frac{5}{2}\)
Zadanie 2.
a) \(C(2,-1)\).
b) \(P_{\triangle A B C}=8\).
c) \(|B C|=4 \sqrt{2}\)
Zadanie 3.
\(f^{\prime}(x)=4 x^3-20 x, \quad f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=0 \vee x=-\sqrt{5} \vee x=\sqrt{5}\)
\(f^{\prime}(x)>0\), dla \(x \in(-\sqrt{5} ; 0) \cup(\sqrt{5} ;+\infty)\),
\(f^{\prime}(x)<0\), dla \(x \in(-\infty ;-\sqrt{5}) \cup(0 ; \sqrt{5})\),
Dla \(x=\pm \sqrt{5}\) minima lokalne równe \(f(-\sqrt{5})=\) \(-16=f(\sqrt{5})\)
Dla \(x=0\) maksimum lokalne równe \(f(0)=9\).
Miejsca zerowe: \(f(x)=0 \Rightarrow x=\pm 1 \vee x=\pm 3\).
Zadanie 4.
\(p=\frac{2 ! 6 ! 6 !}{8 !}=\frac{3}{14}\).
Zadanie 5.
\(x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi\) lub \(x=\frac{5}{6} \pi+2 k \pi, k \in Z\)
