Układy równań liniowych - cztery metody
Układy równań liniowych Odsłon: 101

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWOMA NIEWIADOMYMI

Definicja.

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy układ, który można zapisać w postaci:

\[ \left\{ \begin{array}{l} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{array} \right. \]

gdzie \(a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\).

Wyznaczniki Cramera

Wprowadzamy oznaczenia:

\[ W= \left|\begin{array}{cc} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{array}\right| = a_1b_2 - b_1a_2 \]

\[ W_x= \left|\begin{array}{cc} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{array}\right| = c_1b_2 - b_1c_2 \]

\[ W_y= \left|\begin{array}{cc} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{array}\right| = a_1c_2 - c_1a_2 \]

Twierdzenie (Cramera).

Układ równań liniowych

\[ \left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{array} \right. \]

posiada:

jedno rozwiązanie, gdy \(W \neq 0\): \[ x=\frac{W_x}{W}, \qquad y=\frac{W_y}{W} \]
brak rozwiązań, gdy \(W=0\) oraz \((W_x, W_y) \neq (0,0)\), co oznacza prostych równoległe;
nieskończenie wiele rozwiązań, gdy \[ W = W_x = W_y = 0, \] co oznacza, że proste pokrywają się.

Interpretacja geometryczna

Każde równanie liniowe opisuje prostą. Układ równań reprezentuje dwie proste, które mogą się:

przecinać – jedno rozwiązanie,
pokrywać – nieskończenie wiele rozwiązań,
być równoległe – brak rozwiązań.

Metody rozwiązywania układów

metoda podstawiania
metoda przeciwnych współczynników
metoda wyznaczników
metoda graficzna

Metoda podstawiania

Przykład. Rozwiąż układ:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 7 \\ 3x - 5y = 3 \end{array} \right. \]

Wyznaczamy z pierwszego równania \(x = 7 - 2y\) i podstawiamy.

\[ 3(7 - 2y) - 5y = 3 \]

Po obliczeniach otrzymujemy:

\[ y=\frac{18}{11}, \qquad x=\frac{41}{11} \]

Zatem rozwiązanie to:

\[ \left(\frac{41}{11}, \frac{18}{11}\right) \]

Metoda przeciwnych współczynników

Przykład.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 7y = -11 \end{array} \right. \]

Mnożymy równania odpowiednio przez 5 i –3, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy \(x\).

\[ \left\{ \begin{array}{l} 15x + 10y = 60 \\ -15x + 21y = 33 \end{array} \right. \] \[ 31y = 93 \Rightarrow y = 3, \qquad x=2 \]

Rozwiązanie układu: (2, 3).

Metoda wyznaczników (Cramera)

Przykład.

\[ \left\{ \begin{array}{l} 34x + 25y = 120 \\ 16x - 15y = 20 \end{array} \right. \]

\[ W = -910,\quad W_x = -2300,\quad W_y = -1240 \]

\[ x = \frac{230}{91}, \qquad y=\frac{124}{91} \]

Metoda graficzna

Rozważmy układ:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 4 \\ 3x - y = 8 \end{array} \right. \]

Po przekształceniu:

\[ y = 4 - x,\qquad y=3x - 8 \]

Odczytujemy punkt przecięcia: (3, 1).

Lekcje wideo

Zapraszam do obejrzenia moich lekcji video:

Układy równań liniowych - cztery metody Układy równań liniowych Odsłon: 101