Metoda mnożnika
To najszybszy sposób na obliczenie ceny końcowej. Każdą zmianę procentową zapisujemy jako mnożnik:
- Podwyżka o \( p\% \): mnożymy przez \( (1 + \frac{p}{100}) \)
- Obniżka o \( p\% \): mnożymy przez \( (1 - \frac{p}{100}) \)
\[ \text{Cena końcowa} = \text{Cena początkowa} \cdot \text{mnożnik}_1 \cdot \text{mnożnik}_2 \]
Zadania treningowe
Wielokrotne zmiany cen
1 Cena butów (200 zł) została obniżona o 10%, a następnie o kolejne 20%. Jaka jest cena końcowa?
🔍 Zobacz rozwiązanie
I Sposób (Twoja metoda):
\[ 200 \cdot 0,9 \cdot 0,8 = 180 \cdot 0,8 = 144 \text{ zł} \]
II Sposób (Krok po kroku):
1. Obniżka o 10%: \( 200 - 20 = 180 \) zł.
2. Obniżka o 20% z 180 zł: \( 180 - 36 = 144 \) zł.
2. Obniżka o 20% z 180 zł: \( 180 - 36 = 144 \) zł.
2 Telefon kosztował 1500 zł. Najpierw podrożał o 20%, a potem jeszcze o 10%. Ile kosztuje teraz?
🔍 Zobacz rozwiązanie
I Sposób:
\[ 1500 \cdot 1,2 \cdot 1,1 = 1800 \cdot 1,1 = 1980 \text{ zł} \]
II Sposób:
1. Podwyżka o 20%: \( 1500 + 300 = 1800 \) zł.
2. Podwyżka o 10% z 1800 zł: \( 1800 + 180 = 1980 \) zł.
2. Podwyżka o 10% z 1800 zł: \( 1800 + 180 = 1980 \) zł.
3 Cena kurtki (300 zł) spadła o 30%, a po miesiącu wzrosła o 30%. Czy cena wróciła do 300 zł?
🔍 Zobacz rozwiązanie
Obliczenie:
\[ 300 \cdot 0,7 \cdot 1,3 = 210 \cdot 1,3 = 273 \text{ zł} \]
Odp: Nie, cena końcowa to 273 zł. Jest niższa o 27 zł od początkowej.
4 Towar kosztuje 400 zł. Podwyższono cenę o 10%, a potem obniżono o 10%. Jaka jest różnica w cenie?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ 400 \cdot 1,1 \cdot 0,9 = 440 \cdot 0,9 = 396 \text{ zł} \]
Różnica: \( 400 - 396 = 4 \text{ zł} \).
5 Po dwóch podwyżkach o 10% każda, cena roweru wynosi 2420 zł. Ile kosztował na początku?
🔍 Zobacz rozwiązanie
Równanie:
\[ x \cdot 1,1 \cdot 1,1 = 2420 \]
\[ x \cdot 1,21 = 2420 \]
\[ x = 2420 : 1,21 = 2000 \text{ zł} \]
6 O jaki procent zmieniła się cena po dwóch obniżkach o 20%?
🔍 Zobacz rozwiązanie
Zastępujemy cenę mnożnikami:
\[ 1 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \]
\( 0,64 = 64\% \) ceny początkowej.
Zmiana: \( 100\% - 64\% = 36\% \).
Odp: Cena spadła łącznie o 36% (a nie o 40%!).
Zmiana: \( 100\% - 64\% = 36\% \).
Odp: Cena spadła łącznie o 36% (a nie o 40%!).
7 Co jest korzystniejsze dla kupującego: jedna obniżka o 40%, czy dwie obniżki o 20%?
🔍 Zobacz rozwiązanie
1. Jedna obniżka: płacimy 60% ceny (\( mnożnik = 0,6 \)).
2. Dwie obniżki: płacimy \( 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \), czyli 64% ceny.
Odp: Bardziej korzystna jest jedna obniżka o 40%.
2. Dwie obniżki: płacimy \( 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \), czyli 64% ceny.
Odp: Bardziej korzystna jest jedna obniżka o 40%.
8 Cena laptopa (2500 zł) spadła o 20%, wzrosła o 10%, a na koniec spadła o 5%. Ile kosztuje teraz?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ 2500 \cdot 0,8 \cdot 1,1 \cdot 0,95 = 2000 \cdot 1,1 \cdot 0,95 = 2200 \cdot 0,95 = 2090 \text{ zł} \]
9 Cena akcji wzrosła o 20%, a następnie spadła o \( x\% \), wracając do ceny początkowej. Oblicz \( x \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Ustawiamy równanie na mnożnikach:
\[ 1 \cdot 1,2 \cdot m = 1 \]
\[ m = 1 : 1,2 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0,8333 \]
Zmiana procentowa: \( 1 - 0,8333 = 0,1667 = 16\frac{2}{3}\% \).
10 Cena biletu (120 zł) wzrosła o 25%, a następnie nową cenę obniżono o 20%. Jaka jest cena końcowa?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ 120 \cdot 1,25 \cdot 0,8 = 150 \cdot 0,8 = 120 \text{ zł} \]
Odp: Cena wróciła do poziomu 120 zł.
