1. Oznaczenia we wzorach
- \( K_n \) — kapitał końcowy (zysk + wpłata)
- \( K_0 \) — kapitał początkowy (kwota wpłacana)
- \( p \) — roczna stopa procentowa
- \( n \) — liczba lat trwania lokaty
- \( m \) — liczba kapitalizacji w ciągu jednego roku
2. Kompendium wzorów
Wersja podstawowa (Wzór z Tablic maturalnych CKE)
Stosowana przy kapitalizacji raz w roku (\(m=1\)) bez podatku:
\[ K_n = K_0 \cdot \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^n \]
Wzór z uwzględnieniem podatku 20%
Zysk pomniejszamy o podatek. Dla 20% mnożymy przez \( 0,8 \):
\[ K_n = K_0 \cdot \left( 1 + 0,8 \cdot \frac{p}{100} \right)^n \]
Wersja zmodyfikowana (Kapitalizacja \(m\) razy w roku)
Dzielimy stopę przez \(m\) i mnożymy liczbę lat przez \(m\):
\[ K_n = K_0 \cdot \left( 1 + \frac{p}{m \cdot 100} \right)^{n \cdot m} \] Z podatkiem 20%: \( K_n = K_0 \cdot \left( 1 + 0,8 \cdot \frac{p}{m \cdot 100} \right)^{n \cdot m} \)
3. Przykłady obliczeń
1 Wpłacamy 10 000 zł na 2 lata, 4% rocznie, kapitalizacja roczna. Oblicz \( K_n \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Sposób: Wzór podstawowy
\[ K_2 = 10000 \cdot (1 + 0,04)^2 = 10000 \cdot (1,04)^2 = 10816 \text{ zł} \]
2 Lokata 10 000 zł na 2 lata, 4% rocznie, podatek 20%. Kapitalizacja roczna.
🔍 Zobacz rozwiązanie
Sposób: Wzór z podatkiem
\[ K_2 = 10000 \cdot (1 + 0,8 \cdot 0,04)^2 = 10000 \cdot (1,032)^2 \approx 10650,24 \text{ zł} \]
3 Lokata 10 000 zł na 2 lata, 4% rocznie, kapitalizacja co pół roku. Pomiń podatek.
🔍 Zobacz dwa sposoby
Metoda I (Intuicyjna):
Stopa półroczna: \( 4\% : 2 = 2\% \). Liczba kapitalizacji: \( 2 \cdot 2 = 4 \).
\[ K_n = 10000 \cdot (1 + 0,02)^4 \]
Metoda II (Wzór z m):
\( m = 2 \). Podstawiamy do wzoru:
\[ K_n = 10000 \cdot \left( 1 + \frac{4}{2 \cdot 100} \right)^{2 \cdot 2} \approx 10824,32 \text{ zł} \]
4 Jak Zadanie 3, ale uwzględnij 20% podatku. Kapitalizacja półroczna.
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ K_n = 10000 \cdot \left( 1 + 0,8 \cdot \frac{4}{2 \cdot 100} \right)^4 = 10000 \cdot (1,016)^4 \approx 10655,91 \text{ zł} \]
5 Lokata 10 000 zł na 2 lata, 4% rocznie, kapitalizacja kwartalna, podatek 20%.
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( m = 4 \). Liczba kapitalizacji: \( 2 \cdot 4 = 8 \).
\[ K_n = 10000 \cdot \left( 1 + 0,8 \cdot \frac{4}{400} \right)^8 = 10000 \cdot (1,008)^8 \approx 10658,10 \text{ zł} \]
6 Oprocentowanie 12% rocznie, kapitalizacja miesięczna. Ile pieniędzy po roku z wpłaty 1000 zł?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\( m = 12, n = 1, p = 12 \).
\[ K_n = 1000 \cdot (1 + \frac{12}{1200})^{12} = 1000 \cdot (1,01)^{12} \approx 1126,83 \text{ zł} \]
7Kwota 1000 zł wzrosła po 2 latach do 1210 zł (kapit. roczna). Oblicz stopę \(p\).
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ 1210 = 1000 \cdot (1+r)^2 \implies 1,21 = (1+r)^2 \]
\[ 1,1 = 1+r \implies r=0,1 \implies \mathbf{10\%} \]
8 Ile wynoszą same odsetki (bez kapitału) po 2 latach z 5000 zł na 4% (kapit. roczna)?
🔍 Zobacz rozwiązanie
Kapitał: \( 5000 \cdot 1,04^2 = 5408 \).
Zysk: \( 5408 - 5000 = \mathbf{408 \text{ zł}} \).
Zysk: \( 5408 - 5000 = \mathbf{408 \text{ zł}} \).
9 Lokata 2000 zł na rok, 8% rocznie, kapitalizacja kwartalna. Zapisz wyrażenie.
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ 2000 \cdot (1 + \frac{8}{400})^4 = 2000 \cdot (1,02)^4 \]
10 Jaką kwotę należy wpłacić na lokatę 5% (kapit. roczna), aby po 2 latach mieć 11 025 zł?
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ 11025 = K_0 \cdot 1,05^2 \implies 11025 = K_0 \cdot 1,1025 \]
\[ K_0 = 11025 : 1,1025 = \mathbf{10 0 0 0 \text{ zł}} \]
Lekcja video
Obejrzyj szczegółowe wyjaśnienie modyfikacji wzoru na procent składany oraz kapitalizację odsetek:
Autor: Tomasz Grębski
