Zadanie 1 – wyznacz ekstrema i maksymalne przedziały monotoniczności funkcji
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji
Pierwszym krokiem jest określenie dziedziny funkcji. Funkcja zawiera mianownik, dlatego wyrażenie znajdujące się w mianowniku nie może być równe zero, ponieważ dzielenie przez zero nie jest dozwolone.
\[ x-1\neq0 \]Po rozwiązaniu otrzymujemy
\[ x\neq1 \]Dziedziną funkcji jest więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 1
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\} \]2. Obliczenie pochodnej funkcji
Aby wyznaczyć pochodną funkcji
\[ y=\frac{x^3}{x-1} \]stosujemy wzór na pochodną ilorazu.
\[ (x^3)'=3x^2 \] \[ (x-1)'=1 \]Podstawiamy do wzoru
W liczniku można wyłączyć \(x^2\) przed nawias
\[ y'=\frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2} \]3. Dziedzina pochodnej i warunek konieczny
Dziedzina pochodnej jest taka sama jak dziedzina funkcji
\[ D_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{1\} \]Aby znaleźć miejsca, w których funkcja może mieć ekstremum, stosujemy warunek konieczny
\[ f'(x)=0 \] \[ \frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}=0 \]Po pomnożeniu przez mianownik
\[ x^2(2x-3)=0 \]Stąd otrzymujemy
\[ x=0 \] \[ x=\frac32 \]Są to punkty krytyczne funkcji.
4. Badanie znaku pochodnej i maksymalne przedziały monotoniczności
Badamy znak pochodnej
\[ \frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2} \]Wyrażenia \(x^2\) oraz \((x-1)^2\) są zawsze nieujemne, dlatego o znaku pochodnej decyduje wyrażenie
\[ 2x-3 \]Rozwiązujemy nierówność
\[ 2x-3>0 \] \[ x>\frac32 \]Oznacza to, że pochodna jest dodatnia dla \(x>\frac32\), a ujemna dla \(x<\frac32\).
Uwzględniając punkty krytyczne oraz punkt wyłączony z dziedziny funkcji otrzymujemy maksymalne przedziały monotoniczności
\[ (-\infty,0),\quad (0,1),\quad (1,\tfrac32),\quad (\tfrac32,\infty) \]5. Tabelka zmienności funkcji
| \(x\) | \((-\infty,0)\) | \(0\) | \((0,1)\) | \(1\) | \((1,\tfrac32)\) | \(\tfrac32\) | \((\tfrac32,\infty)\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(\times\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | ↘ | ↘ | × | ↘ | MIN | ↗ | |
| wartość | \(0\) | nie istnieje | \(\frac{27}{4}\) |
Odpowiedź
Funkcja jest malejąca w przedziałach
\[ (-\infty,0],\quad [0,1),\quad (1,\tfrac32] \]Funkcja jest rosnąca w przedziale
\[ [\tfrac32,\infty) \]Funkcja posiada minimum lokalne
\[ \left(\tfrac32,\frac{27}{4}\right) \]