test1
Uncategorised Odsłon: 656

Funkcje • wykresy • piękno matematyki

Piękno funkcji potęgowych i pierwiastkowych

Jeden rysunek, a tyle matematyki: potęgi, pierwiastki, funkcje odwrotne, symetria względem prostej \(y=x\), przedział \([0,1]\) i cała rodzina funkcji zapisana jednym wzorem: \(y=x^a\).

1 Interaktywny wykres

Rodzina funkcji \(y=x^a\) dla \(0\leq x\leq 1\)

Warto zauważyć: wszystkie wykresy przechodzą przez punkty \((0,0)\) oraz \((1,1)\), ponieważ \(0^a=0\) i \(1^a=1\) dla dodatnich wykładników.

2 Co naprawdę widać na tym rysunku?

Na rysunku widzimy dwie rodziny funkcji: funkcje potęgowe oraz funkcje pierwiastkowe. Wszystkie startują z punktu \((0,0)\) i spotykają się w punkcie \((1,1)\).

\[ y=x,\quad y=x^2,\quad y=x^3,\quad y=x^4,\quad \ldots,\quad y=x^{10} \]

\[ y=\sqrt{x},\quad y=\sqrt[3]{x},\quad y=\sqrt[4]{x},\quad \ldots,\quad y=\sqrt[10]{x} \]

Wszystkie te funkcje można zapisać wspólnym wzorem:

\[ y=x^a \]

3 Dlaczego potęgi „uciekają” w dół?

Dla liczb z przedziału \((0,1)\) kolejne potęgi są coraz mniejsze. Weźmy na przykład liczbę \(0{,}5\):

\[ 0{,}5^2=0{,}25,\qquad 0{,}5^3=0{,}125,\qquad 0{,}5^{10}\approx 0{,}00098 \]

Dlatego wykresy funkcji \(y=x^2\), \(y=x^3\), \(y=x^4\) i kolejnych leżą poniżej prostej \(y=x\).

Funkcja	Wartość dla \(x=0{,}5\)	Położenie na wykresie
\(y=x\)	\(0{,}5\)	prosta graniczna
\(y=x^2\)	\(0{,}25\)	poniżej \(y=x\)
\(y=x^3\)	\(0{,}125\)	jeszcze niżej
\(y=x^{10}\)	\(\approx 0{,}00098\)	prawie przy osi \(OX\)

Uczniowska intuicja: liczba mniejsza od \(1\) podnoszona do coraz większych potęg staje się coraz mniejsza.

4 Dlaczego pierwiastki „uciekają” w górę?

Funkcje pierwiastkowe zachowują się odwrotnie. Dla liczb z przedziału \((0,1)\) pierwiastek jest większy od samej liczby.

\[ \sqrt{0{,}5}\approx 0{,}707,\qquad \sqrt[3]{0{,}5}\approx 0{,}794,\qquad \sqrt[10]{0{,}5}\approx 0{,}933 \]

Dlatego wykresy pierwiastków znajdują się nad prostą \(y=x\).

\[ x \lt \sqrt{x} \lt \sqrt[3]{x} \lt \sqrt[4]{x} \lt \ldots \lt \sqrt[10]{x} \quad \text{dla } 0 \lt x \lt 1 \]

Inny zapis: \[ \sqrt{x}=x^{\frac12},\qquad \sqrt[3]{x}=x^{\frac13},\qquad \sqrt[10]{x}=x^{\frac1{10}}. \]

5 Funkcje odwrotne i symetria

Funkcja \(y=x^2\), ograniczona do \(x\geq 0\), ma funkcję odwrotną \(y=\sqrt{x}\). Podobnie funkcja \(y=x^3\) ma funkcję odwrotną \(y=\sqrt[3]{x}\).

\[ y=x^n \quad \Longleftrightarrow \quad y=\sqrt[n]{x} \]

Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej:

\[ y=x \]

Potęgowanie

\(y=x^2,\ y=x^3,\ y=x^4,\ldots\)

W przedziale \((0,1)\) wykresy leżą pod prostą \(y=x\).

Pierwiastkowanie

\(y=\sqrt{x},\ y=\sqrt[3]{x},\ y=\sqrt[4]{x},\ldots\)

W przedziale \((0,1)\) wykresy leżą nad prostą \(y=x\).

6 Jak wykorzystać ten rysunek na lekcji?

Taka grafika świetnie nadaje się do rozmowy z uczniami o funkcjach. Można rozpocząć od prostego pytania:

Co widzicie? Kolorowe krzywe, punkt wspólny, prostą \(y=x\), symetrię, potęgi, pierwiastki i całą rodzinę funkcji.

Dlaczego wszystkie wykresy przechodzą przez punkty \((0,0)\) i \((1,1)\)?

Dlaczego wykresy potęg leżą poniżej prostej \(y=x\)?

Dlaczego wykresy pierwiastków leżą powyżej prostej \(y=x\)?

Które wykresy są względem siebie symetryczne?

Propozycja krótkiego zadania

Dla liczby \(x=0{,}5\) oblicz:

\[ x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad \sqrt{x},\quad \sqrt[3]{x},\quad \sqrt[4]{x} \]

Następnie uporządkuj otrzymane wyniki od najmniejszego do największego.

\[ x^4 \lt x^3 \lt x^2 \lt x \lt \sqrt{x} \lt \sqrt[3]{x} \lt \sqrt[4]{x} \]

7 Zakończenie

Grafika przedstawiająca funkcje potęgowe i pierwiastkowe pokazuje, że matematyka może być jednocześnie ścisła i piękna. Nie widzimy tu przypadkowych krzywych, lecz uporządkowaną rodzinę funkcji.

Wszystkie wykresy spotykają się w punktach \((0,0)\) i \((1,1)\). Prosta \(y=x\) dzieli je na dwa światy: potęgi i pierwiastki.