1990 woj. krakowskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Obliczyć sumę wyrazów nieskończonego ciagu geometrycznego, w którym $$ a_1=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)}, q=\sin 2 \alpha, \mathrm{gdy}$$ $$\sin \alpha=\frac{3}{5}$$
Zadanie 2.
Wyznacz przedzialy monotoniczności oraz wartości ekstremalne funkcji
$$f(x)=\frac{x^2+2 x+4}{x+2}+\frac{8}{x^2-4} .$$
Zadanie 3.
Dane sa punkty $$A=(0 ; 1), B=(4 ; 3)$$ oraz $$M=(3 ; 5)$$. Na prostej $$l$$ przechodzącej przez punkt $$M$$ i równoleglej do prostej $$A B$$ znaleźć punkt $$C$$ równoodległy od punktów $$A$$ i $$B$$. Wykazać, że trójkat $$A B C$$ jest prostokątny i napisać równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 4.
Podstawą ostroshupa jest trójkąt równoboczny o boku $$a$$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, zaś pozostałe dwie są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem $$\beta$$. Która ze ścian bocznych ma największe pole? Odpowiedź uzasadnić oraz obliczyć to pole.
Zadanie 5.
Ze zbioru $$Z=\left\{x: x \in C\right.$$ i $$\log \frac{x^2-3 x-9}{x-4} \geqslant 0$$ i $$\left.x<5\right\}$$ losujemy kolejno bez zwracania liczby $$a$$ i $$b$$ i na plaszczyźnie zaznaczamy punkt $$P=(a ; b)$$. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń: $$A-$$ otrzymany punkt należy do wykresu $$y=|x-1|, B-$$ współrzędne punktu $$P$$ spelniaja warunek $$a+\mathrm{b}=3$$. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory $$\Omega$$, $$A$$ i $$B$$
