1975 woj. lubelskie - profil podstawowy
Zadanie 1.
Na półkuli o danym promieniu \(R\) opisano stożek (środek podstawy stożka znajduje się w środku kuli). Dla jakiej wysokości stożka objętość jego jest najmniejsza. Wyznacz tę objętość.
Zadanie 2.
Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się elipsy \(x^2+4 y^2=4\) z okręgiem o środku w punkcie \(S(0,-1)\) i przechodzącym przez ogniska tej elipsy.
Zadanie 3.
Na egzamin przygotowano 45 tematów, z których zdający losuje 3. Student otrzymuje ocenę bardzo dobrą za rozwiązanie trzech tematów, dobrą za rozwiązanie dwóch, dostateczną za rozwiązanie jednego i niedostateczną, gdy brak rozwiązań. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny co najmniej dostatecznej, a jakie oceny bardzo dobrej, jeśli student przygotowal \(\frac{2}{3}\) tematów?
Zadanie 4.
Dla jakich wartości \(x\) trzy liczby
\(\log 2, \log \left(2^x+3\right), \log \left(2^x+27\right)\) są kolejno pierwszym, trzecim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz różnicę tego ciągu.
Zadanie 5.
Dla jakich wartości \(\alpha, \alpha \in<0 ; 2 \pi>\) równanie
\(2 x^2-2(2 \cos \alpha-1) x+2 \cos ^2 \alpha-5 \cos \alpha+2=0\)
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
1975 woj. lubelskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Dane jest równanie \(m x^2-\left(m^2+1\right) x+m^2+1=0\). Zbadaj sumę pierwiastków rzeczywistych tego równania jako funkcję parametru \(m\). Naszkicuj wykres tej funkcji oraz zbadaj jej ciągłość.
Zadanie 2.
W przędzy zmieszano włókno białe i kolorowe w stosunku \(2: 3\). Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród 5 losowo wybranych włókien:
a) dokładnie 2 kolorowych włókien,
b) co najmniej 2 kolorowych włókien,
c) co najwyżej 2 kolorowych włókien.
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie
\(x y^{\prime}+y=0 .\)
Wyznacz:
a) krzywą calkową przechodzącą przez punkt \(A(-2,4)\),
b) równanie stycznej do krzywej w tym punkcie.
Rozwiązanie zadania zilustruj rysunkiem.
Zadanie 4.
Udowodnij, że między obwodem \(a+b+c\) trójkąta a promieniem \(R\) koła opisanego na trójkącie zachodzi związek
\(a+b+c=8 R \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\)
\((\alpha, \beta, \gamma\) - kąty wewnętrzne trójkąta).
Zadanie 5.
Wyznacz dziedzinę funkcji
\(y=\log _2\left[1-\log _{\frac{1}{2}}\left(x^2-5 x+6\right)\right] .\)
1975 woj. lubelskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji \(y=\) \(=\frac{x^3}{3}-x^2-3 x\), a następnie znajdź kres dolny i kres górny zbioru wartości funkcji dla \(x \in\langle-2 ; 5\rangle\).
Zadanie 2.
W grupie turystów liczącej 9 chłopców i 8 dziewcząt rozlosowano 7 biletów do teatru. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 4 bilety wylosowaly dziewczęta.
Zadanie 3.
Wierzcholkami \(\triangle A B C\) są punkty \(A(-6,-3)\) i \(B(8,-1)\). Trzeci wierzchołek \(C\) leży na prostej przechodzącej przez punkt \(A\) i tworzącej z osią \(O X\) kąt \(45^{\circ}\) oraz na prostej przechodzącej przez \(B\) i tworzącej z osią \(O X\) kąt \(135^{\circ}\).
Wyznacz: a) współrzędne wierzchołka \(C\),
b) miarę kąta \(A B C\),
c) równanie okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\).
Zadanie 4.
Liczby stopni kolejnych kątów wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{10 n^2+2 n+5}{n^2-3}\).
Najmniejszy kąt tego wielokąta ma \(100^{\circ}\). Ile boków ma ten wielokąt?
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie \(\operatorname{tg}^2 x=a\) wiedząc, że liczba \(a\) jest równa pierwiastkowi równania \(\log _3^3 x-2 \log _3^2 x+3=0\).
