1975 woj. lubelskie - profil podstawowy
Zadanie 1.
Na półkuli o danym promieniu $$R$$ opisano stożek (środek podstawy stożka znajduje się w środku kuli). Dla jakiej wysokości stożka objętość jego jest najmniejsza. Wyznacz tę objętość.
Zadanie 2.
Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się elipsy $$x^2+4 y^2=4$$ z okręgiem o środku w punkcie $$S(0,-1)$$ i przechodzącym przez ogniska tej elipsy.
Zadanie 3.
Na egzamin przygotowano 45 tematów, z których zdający losuje 3. Student otrzymuje ocenę bardzo dobrą za rozwiązanie trzech tematów, dobrą za rozwiązanie dwóch, dostateczną za rozwiązanie jednego i niedostateczną, gdy brak rozwiązań. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny co najmniej dostatecznej, a jakie oceny bardzo dobrej, jeśli student przygotowal $$\frac{2}{3}$$ tematów?
Zadanie 4.
Dla jakich wartości $$x$$ trzy liczby
$$\log 2, \log \left(2^x+3\right), \log \left(2^x+27\right)$$ są kolejno pierwszym, trzecim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz różnicę tego ciągu.
Zadanie 5.
Dla jakich wartości $$\alpha, \alpha \in<0 ; 2 \pi>$$ równanie
$$2 x^2-2(2 \cos \alpha-1) x+2 \cos ^2 \alpha-5 \cos \alpha+2=0$$
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
1975 woj. lubelskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Dane jest równanie $$m x^2-\left(m^2+1\right) x+m^2+1=0$$. Zbadaj sumę pierwiastków rzeczywistych tego równania jako funkcję parametru $$m$$. Naszkicuj wykres tej funkcji oraz zbadaj jej ciągłość.
Zadanie 2.
W przędzy zmieszano włókno białe i kolorowe w stosunku $$2: 3$$. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród 5 losowo wybranych włókien:
a) dokładnie 2 kolorowych włókien,
b) co najmniej 2 kolorowych włókien,
c) co najwyżej 2 kolorowych włókien.
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie
$$x y^{\prime}+y=0 .$$
Wyznacz:
a) krzywą calkową przechodzącą przez punkt $$A(-2,4)$$,
b) równanie stycznej do krzywej w tym punkcie.
Rozwiązanie zadania zilustruj rysunkiem.
Zadanie 4.
Udowodnij, że między obwodem $$a+b+c$$ trójkąta a promieniem $$R$$ koła opisanego na trójkącie zachodzi związek
$$a+b+c=8 R \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$$
$$(\alpha, \beta, \gamma$$ - kąty wewnętrzne trójkąta).
Zadanie 5.
Wyznacz dziedzinę funkcji
$$y=\log _2\left[1-\log _{\frac{1}{2}}\left(x^2-5 x+6\right)\right] .$$
1975 woj. lubelskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji $$y=$$ $$=\frac{x^3}{3}-x^2-3 x$$, a następnie znajdź kres dolny i kres górny zbioru wartości funkcji dla $$x \in\langle-2 ; 5\rangle$$.
Zadanie 2.
W grupie turystów liczącej 9 chłopców i 8 dziewcząt rozlosowano 7 biletów do teatru. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 4 bilety wylosowaly dziewczęta.
Zadanie 3.
Wierzcholkami $$\triangle A B C$$ są punkty $$A(-6,-3)$$ i $$B(8,-1)$$. Trzeci wierzchołek $$C$$ leży na prostej przechodzącej przez punkt $$A$$ i tworzącej z osią $$O X$$ kąt $$45^{\circ}$$ oraz na prostej przechodzącej przez $$B$$ i tworzącej z osią $$O X$$ kąt $$135^{\circ}$$.
Wyznacz: a) współrzędne wierzchołka $$C$$,
b) miarę kąta $$A B C$$,
c) równanie okręgu opisanego na trójkącie $$A B C$$.
Zadanie 4.
Liczby stopni kolejnych kątów wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $$r=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{10 n^2+2 n+5}{n^2-3}$$.
Najmniejszy kąt tego wielokąta ma $$100^{\circ}$$. Ile boków ma ten wielokąt?
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie $$\operatorname{tg}^2 x=a$$ wiedząc, że liczba $$a$$ jest równa pierwiastkowi równania $$\log _3^3 x-2 \log _3^2 x+3=0$$.
