1975 woj. krakowskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
W skrzynce znajduje się 40 sztuk towaru, w tym trzy sztuki są wadliwe. Wyjmujemy losowo dwie sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy sztuki dobre?
Zadanie 2.
Dane są wierzchołki trójkąta $$A B C$$ :
$$A(5,8), B(-2,9), C(-4,5) \text {. }$$
Sprawdź, czy punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych oraz środek koła opisanego na tym trójkącie należy do jednej prostej?
Zadanie 3.
Dane są dwa wektory $$\overrightarrow{O M}=\vec{a}$$ i $$\overrightarrow{O N}=\vec{b}$$ wyznaczające trójkąt $$O M N$$, przy czym $$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1 \mathrm{i}|\Varangle(\vec{a}, \vec{b})|=\frac{\pi}{3}$$.
Na boku $$\overline{O M}$$ odłożono odcinek $$\overline{O K}$$ taki, że $$O K=\frac{1}{4} O M$$ oraz na boku $$\overline{O N}$$ - odcinek $$\overline{O L}$$ taki, że $$O L=\frac{2}{7} O N$$. Wykaż, że wektor $$\overrightarrow{N K}$$ jest prostopadly do wektora $$\overrightarrow{M L}$$.
Zadanie 4.
Okno winno posiadać kształt prostokąta zakończonego półkolem. Obwód okna ma wynosić $$10 \mathrm{~m}$$. Dobierz tak wymiary okna, aby przepuszczało maksymalną ilość światła.
Zadanie 5.
Dla jakich wartości $$m$$ równanic
$$x^2-2 x+\log _{0,5} m=0$$
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
1975 woj. krakowskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Oblicz pracę, jaką należy wykonać przeciw sile ciążenia, aby rakietę o masie $$2000 \mathrm{~kg}$$ wynieść z powierzchni Ziemi na wysokość $$600 \mathrm{~km}$$. Promień Ziemi przyjąć $$6400 \mathrm{~km}$$.
Zadanie 2.
Dane są równania krzywych $$f(x)=x^3$$ oraz $$g(x)=x^2-4 x+4$$ Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez oś $$O X$$ i styczne do tych krzywych $$\mathrm{w}$$ ich wspólnym punkcie. Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 3.
Przez punkt $$(-1,1)$$ poprowadź prostą tak, by środek jej odcinka zawartego między prostymi $$x+2 y-1=0$$ i $$x+2 y-3=0$$ należał do prostej $$x-y-1=0$$. Napisz równanie symetralnej tego odcinka.
Zadanie 4.
Kula jest styczna do pobocznicy stożka ściętego i do obu płaszczyzn jego podstaw. Tworząca stożka ściętego nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym $$\alpha$$. Wyraź stosunek pola powierzchni bocznej stożka ściętego do pola powierzchni kuli jako funkcję $$\propto$$ i zbadaj jej przebieg zmienności w przedziale $$\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$$.
Zadanie 5.
Spośród 20 pytań egzaminacyjnych student zna odpowiedź na 12 pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student zda egzamin, jeżeli obowiązuje następująca zasada: losuje się dwa pytania i w przypadku dobrej odpowiedzi na obydwa - egzamin kończy się oceną pozytywną, w przypadku zaś, gdy jedna odpowiedź była dobra, a druga zła, losuje się trzecie pytanie, na które tylko dobra odpowiedź daje podstawę do pozytywnej oceny całego egzaminu.
1975 woj. krakowskie - profil biologiczno - chemiczny i licea pedagogiczne dla wychowawczyń przedszkoli
Zadanie 1.
Rozwiąż układ równań
$$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-4=0 \\x+y-m=0 .\end{array}\right.$$
a) Przeprowadź dyskusję istnienia oraz liczby pierwiastków w zależności od parametru $$m$$.
b) Podaj ilustrację geometryczną.
Zadanie 2.
Udowodnij, że liczba postaci $$3^{4 n+2}+1$$ jest podzielna przez 10 , gdzie $$n \in \boldsymbol{N}$$.
Zadanie 3.
Dane są punkty: $$A(-4,6), B(8,-10), C(10,4)$$.
a) Znajdź punkt $$D$$, aby czworokąt $$A B C D$$ był równoległobokiem i oblicz pole powierzchni tego równoległoboku.
b) Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie $$A B C$$.
c) Znajdź równanie obrazu tego okręgu w przekształceniu $$P T_\omega$$, gdzie $$\vec{w}=[-2,2]$$, zaś $$P$$ jest powinowactwem prostokątnym o osi $$O X$$ i skali $$s=\frac{3}{5}$$.
Zadanie 4.
Robotnik obsługuje trzy obrabiarki pracujące automatycznie niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu 1 godziny obrabiarka nie wymaga interwencji robotnika, jest równe 0,9 dla pierwszej, 0,8 dla drugiej i 0,7 dla trzeciej obrabiarki. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję liczby obrabiarek, które nie potrzebują interwencii robotnika w ciągu godziny.
Zadanie 5.
W stożek o promieniu podstawy $$r$$ i wysokości $$h$$ wpisano ostroshup prawidłowy trójkątny tak, że wierzchołek tego ostrosłupa pokrywa się ze środkiem podstawy stożka, a pozostałe wierzchołki należą do pobocznicy stożka. Oblicz maksymalną objętość tego ostrosłupa.
