Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej \(y=x^2\), styczną do tej krzywej w punkcie \(A(3,9)\) i osią \(O X\).
Dane są funkcje \(f(x)=-\operatorname{ctg} x+1, g(x)=\operatorname{tg} x-1\).
a) Dla jakich wartości \(x\) jest \(f(x)=g(x)\) ?
b) Oblicz miarę kąta utworzonego przez styczne do wykresów funkcji w jednym z punktów przecięcia się wykresów.
Napisz równania stycznych do okręgu \(x^2+y^2-2 x+6 y+5=0\) i prostopadłych do prostej \(x-2 y=0\).
Zbadaj funkcję \(y=x+\frac{1}{x}\) i sporządź jej wykres.
Robotnik obsługuje trzy obrabiarki działające niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny obrabiarka nie wymaga interwencji robotnika jest równa 0,7 dla pierwszej, 0,5 dla drugiej, 0,3 dla trzeciej obrabiarki. Niech \(X\) oznacza liczbę obrabiarek, które nie wymagają w ciaigu godziny interwencji robotnika. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(X\).
Dana jest krzywa o równaniu \(y=(x+1)(2-x)\). Napisz równanie stycznych do krzywej w punktach przecięcia się tej krzywej z osią \(O X\). Znajdź punkt przecięcia się tych stycznych.
Obwód trójkąta równoramiennego wynosi \(18 \mathrm{~cm}\). Jakie powinny być boki tego trójkąta, aby objętość bryly powstałej z jego obrotu dokoła podstawy była największa?
Oblicz długość cięciwy paraboli \(y=x^2-5 x+4\), jaką wyznacza sieczna przechodząca przez punkt \((4,1)\) i nachylona do osi \(O X\) pod katem \(45^{\circ}\).
Dana jest funkcja \(f(x)=\sqrt{2 x^2-x+1}\).
a) Podaj przedziały wzrastania i zmiejszania się funkcji
b) Wyznacz ekstrema funkcji.
Spośród 6 chłopców i 4 dziewcząt trzeba wybrać 5-osobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) W skład delegacji wejdą tylko chłopcy
b) Delegacja składać się będzie z 3 chłopców i 2 dziewcząt.
