Okno ma ksztalt prostokąta zakończonego półkolem. Obwód całego okna wynosi \(4+\pi\). Podaj wymiary części prostokątnej, aby okno przepuszczało jak najwięcej światła.
Wyznacz \(\cos 2 x\) wiedząc, że \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\operatorname{tg} 2 x+7\).
Dla jakich liczb \(m\) i \(p\) parabole będące wykresami funkcji:
\(\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y_1=x^2+(m+2) x+m\),
\(\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y_2=(-m-2) x^2+m x+m+p\),
przecinają oś \(O X w\) tych samych dwóch punktach?
Podaj wszystkie pary liczb \((m, p)\) oraz w każdym z tych przypadków oblicz odległość wierzchołków obu parabol.
Dana jest elipsa \(x^2+3 y^2=4\) i prosta \(x+y-2=0\) przecinająca, elipse w punktach \(A\) i \(B\).
a) Oblicz pole trójkąta, którego jeden bok jest odcinkiem \(\overline{A B}\) a dwa pozostałe zawierają się w stycznych do elipsy w punktach \(A\) i \(B\).
b) Zbadaj, czy w tę elipsę da się wpisać prostokąt tak, aby jeden z jego boków był odcinkiem \(\overline{A B}\).
Na egzamin przygotowano 45 tematów, z których zdający losuje 3. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą za rozwiązanie trzech tematów, dobrą za rozwiązanie dwóch, dostateczną za rozwiązanie jednego i niedostateczną, gdy brak rozwiązań. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny co najmniej dostatecznej, a jakie bdb, jeżeli uczeń przygotował \(\frac{2}{3}\) liczby wszystkich tematów?
Dane są współrzędne wierzchołków trójkąta \(A B C\)
\(A(1,2), B(7,3), C(2,8) \text {. }\)
a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta \(\overline{A D}\).
b) Oblicz pole trójkąta \(A B C\).
c) Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Rozwiąż układ równań
\(\left\{\begin{array}{l}m x-2 y=3 \\3 x+m y=2\end{array}\right.\)
Dla jakich wartości parametru \(m: x<1\) i \(y<0\) ?
W jednym prostokątnym układzie współtzędnych naszkicuj wykresy funkcji:
\(\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y=-x^2+4 x+\frac{9}{4},\)
\(\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y=x+\frac{9}{4} .\)
Oblicz pole figury ograniczonej tymi wykresami.
Z drutu długości \(90 \mathrm{~cm}\) mamy wykonać trójkąt równoramienny, taki aby bryła zakreślona przez jego obrót wokól podstawy miała maksymalną objętość. Jaką długość winny mieć ramiona tego trójkąta?
Kąt ostry równoległoboku jest równy \(60^{\circ}\). Odległości punktu przecięcia się przekątnych równoległoboku od jego boków są odpowiednio równe 3 i 2. Oblicz: a) pole równoległoboku, b) długość przekątnych równoległoboku.
Dana jest krzywa o równaniu \(y=\frac{x^2-3}{x-2}\). Znajdź współrzędne punktów \(A\) i \(B\) należących do tej krzywej, których odcięte są równe wartościom argumentów, dla których istnieje ekstremum tej funkcji. Następnie znajdź równanie prostej prostopadłej do odcinka \(\overline{A B}\) i przechodzącej przez środek tego odcinka.
Rozwiąż równanie
\(4\left(\log _2 \cos x\right)^2+\log _2(1+\cos 2 x)=3 .\)
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(\overline{A C}\) i \(\overline{B C}\) odpowiednio równych \(1,5 \mathrm{~cm}\) i \(2 \mathrm{~cm}\) poprowadzono z wierzchołka kąta prostego wysokość \(\overline{C D}\) oraz dwusieczne \(\overline{C E}\) i \(\overline{C F}\) obydwu kątów, jakie wysokość tworzy z przyprostokątnymi. Oblicz odcinek przeciwprostokątnej zawarty między dwusiecznymi.
W punktach przecięcia paraboli \(y=-x^2+5 x-4\) z osią \(O X\) poprowadzono styczne do tej krzywej.
a) Znajdź równania stycznych.
b) Znajdź współrzędne punktu przecięcia się tych stycznych.
c) Oblicz pole obszaru ograniczonego stycznymi i daną parabolą.
W urnie są 4 kule białe i 6 kul czarnych. Losujemy 4 razy po 5 kul i po każdym losowaniu wrzucamy je do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 razy wylosujemy 5 takich kul, wśród których będą 3 kule czarne.
Dane są trzy wierzchołki kwadratu \(A B C D: A(0,6) ; B(2,0)\); \(C(8,2)\).
a) Oblicz współrzędne wierzchołka \(D\).
b) Napisz równania przekątnych tego kwadratu.
c) Znajdź równanie okręgu opisanego na tym kwadracie.
d) Oblicz pole kwadratu.
Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji:
\(y=-\frac{1}{4} x^2+2 x \text { i } y=\frac{1}{4} x+\frac{3}{2} .\)
Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji:
\(y=-\frac{1}{4} x^2+2 x \text { i } y=\frac{1}{4} x+\frac{3}{2} .\)
3. Rozwiąż równanie
\(x^4+3-\left|3 x^3+x\right|=0 .\)
Między liczby 3 i \(x\) wstawiono liczbę \(y\) tak, że liczby \(3, y, x\) tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli liczbę \(y\) pomniejszymy o 6 , to liczby 3 , \(y-6, x\) utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
Na egzamin przygotowano 30 zadań, z których uczeń losuje 3 i otrzymuje ocenę pozytywną, jeśli rozwiąże co najmniej 2 zadania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że uczeń zda egzamin, jeśli opanował umie ętność rozwiązania \(\frac{2}{3}\) zadań.
Napisz równanie okręgu, którego środek należy do prostej o równaniu \(x-y+2=0\) i który przechodzi przez punkty \(A(3,0)\) i \(B(-1,2)\). Wyznacz na okręgu taki punkt \(C\), aby \(\overrightarrow{A C} \circ \overrightarrow{A B}=0\).
Dla jakich wartości \(x\) liczby: \(\log 3, \log \left(3^{x+1}+6\right), \log \left(3^{x+2}+18\right)\) tworzą ciąg arytmetyczny?
Rozwiąż układ równań
\(\left\{\begin{array}{l}m x+(2 m-1) y=3 m \\x+m y=m\end{array}\right.\)
Dla jakich wartości parametru \(m\) rozwiązanie tego układu jest parą liczb o różnych znakach?
W stożek obrotowy o promieniu podstawy \(R\) i wysokości \(H\) wpisz walec obrotowy tak, aby objętość walca była największa.
Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech kupionych losów
a) dokładnie jeden wygrywa,
b) przynajmniej jeden wygrywa.
Napisz równania stycznych do okręgu \(x^2+y^2=25\) przechodzących przez punkt \(A(7,1)\) leżący poza okręgiem.
Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi \(4 \mathrm{~cm}\), a kąt między nimi zawarty jest równy \(60^{\circ}\). Znajdź najmniejszą wartość obwodu trójkąta.
Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi \(4 \mathrm{~cm}\), a kąt między nimi zawarty jest równy \(60^{\circ}\). Znajdź najmniejszą wartość obwodu trójkąta.
3. Rozwiąż nierówność
\(\frac{1-2 x}{1+x}-\frac{1+x}{1+2 x}>1 .\)
Naszkicuj wykresy funkcji:
\(\begin{aligned}y &=-x^2+2 x+3 \\\text { i } y &=x+1\end{aligned}\)
oraz oblicz pole figury ograniczonej tymi wykresami.
W urnie jest 6 kul białych i 3 kule czarne. Wyciągamy losowo jednaz kulę, zatrzymujemy ją, a następnie wyciągamy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wyciągniemy dwie kule białe?
b) wyciągniemy dwie kule czarne?
