1975 woj. gdańskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Punkty $$A(0,-1)$$ i $$B(-2,1)$$ należą do okreggu $$x^2+y^2-2 x-$$ $$-4 y-5=0$$. Znajdź współrzędne takiego punktu $$C$$ należącego do tego okręgu, by trójkąt $$A B C$$ o podstawie $$\overline{A B}$$ był równoramienny.
Zadanie 2.
Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, że
$$1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1) .$$
Zadanie 3.
Partia detali (części maszyn) składa się z 20% detali wyprodukowanych w zakładzie I, $$30 \%$$ - w zakładzie II i $$50 \%$$ - wakładzie III. Prawdopodobieństwo pojawienia się braku w produkcji I zakładu wynosi 0,05 , II zakładu - 0,01, III zakładu - 0,06. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany losowo z danej partii detal jest brakiem.
Zadanie 4.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i sporządź wykres funkcji
$$f(x)=\frac{a x}{b x^2-1}$$
wiedząc, że $$f(2)=\frac{2}{3}$$ i $$f(-3)=-\frac{3}{8}$$.
Zadanie 5.
Ramię trapezu równoramiennego równa się krótszej jego podstawie i ma długość $$a$$. Jaką miarę musi mieć kąt ostry tego trapezu, aby pole powierzchni powstałej bryly z jego obrotu o kąt $$2 \pi$$ wokół prostej zawierającej krótszą podstawe było największe? Oblicz pole.
1975 woj. gdańskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Punkty $$A(1,-4), B(2,-3)$$ i $$C(-1,0)$$ należą do wykresu trójmianu kwadratowego
$$y=a x^2+b x+c .$$
a) Wyznacz współczynnik $$a, b$$ i $$c$$.
b) Zbadaj dla jakich $$x$$, wartości otrzymanego trójmianu są dodatnie.
Zadanie 2.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres
$$f(x)=x^2(x-3)$$
Zadanie 3.
W trójkącie $$A B C$$ dane są: równanie prostej zawierającej bok $$\overline{A B}: 5 x-3 y+2=0$$, równanic prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $$A: 4 x-3 y+1=0$$ oraz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka $$B: 7 x+2 y-22=0$$. Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta.
Zadanie 4.
Z parku o polu $$13500 \mathrm{~m}^2$$ postanowiono wydzielić prostokątny plac zabaw dla dzieci wewnątrz tego parku. Na ten cel przeznaczono $$15 \%$$ pola powierzchni parku. Jak dobrać wymiary placu zabaw, aby jego obwód był najmniejszy?
Zadanie 5.
W prostokątnym układzie współrzędnych, zilustruj zbiory
$$A \cap B$$ oraz $$A-B$$, gdzie
$$A=\{(x, y): x \in \boldsymbol{R}$$ i $$y \in \boldsymbol{R}$$ i $$x-2 y \leqslant-2\}$$,
$$B=\left\{(x, y): x \in \boldsymbol{R}\right.$$ i $$y \in \boldsymbol{R}$$ i $$\left.x^2+4 y \leqslant 4\right\} .$$
