Dane jest równanie
\(x^2-(m+1) x+\frac{6}{5} m=0 .\)
Dla jakich \(m\) jeden pierwiastek tego samego równania jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego samego kąta ostrego?
Napisz równania stycznych do okręgu \(x^2+y^2-2 x+6 y+5=0\) i prostopadłych do prostej \(x-2 y=0\).
W stożek wpisano graniastosłup prosty tak, że podstawa dolna graniastosłupa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy należą do pobocznicy stożka. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości przyprostokątnych wynosi \(3: 1\).
Długość promienia podstawy stożka wynosi \(R\), a miara kąta przy wierzchołku stożka wynosi \(2 \alpha\). Który z graniastosłupów ma największą objętość?
Oblicz pole obszaru ograniczonego łukami parabol
\(y=x^2, y=\frac{x^2}{2} \text { i prostą } y=4 x .\)
Do urny, w której znajdują się dwie kule, wrzucono biała kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia \(z\) urny kuli białej, jeśli wiadomo, że następujące zdarzenia są jednakowo prawdopodobne: przed wrzuceniem nie było \(\mathrm{w}\) urnie ani jednej białej kuli, była jedna biała kula, były dwie białe kule.
Podaj interpretację geometryczną zbiorów \(A \cap B\) oraz \(A-B\),
gdzie:
\(\begin{aligned}
&A=\{x: x \in \boldsymbol{R} \text { i }|x|>3\} \\
&B=\left\{x: x \in \mathbb{R} \text { i } x^2-7 x+10 \leqslant 0\right\}
\end{aligned}\)
Rozwiąż równanie
\(x-\frac{1}{2 x}+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4 x}+\frac{x^3}{4}-\frac{1}{8 x}+\ldots=1 \text {. }\)
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+(2-3 m) x+\left(2 m^2-5 m-3\right)=0\) ma wartość ujemną?
Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych \(x-y+1=0 \text { i } 3 x+2 y-12=0 .\) Punkt \(S(6,4)\) jest środkiem symetrii równoległoboku. Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki. Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3-9 x^2+15 x-7\)
Dane jest równanie kwadratowe
\(m x^2-\left(m^2+1\right) x+m^2+1=0 .\)
Zbadaj sumę pierwiastków tego równania jako funkcję parametru \(m\) i podaj jej wykres.
Wysokość dzieli podstawę trójkąta na dwa odcinki \(36 \mathrm{~cm}\) i \(14 \mathrm{~cm}\). Prostopadle do podstawy poprowadzono prostą, która dzieli trójkąt na dwie części o równych polach.
Jakie są długości odcinków, na które ta prosta dzieli podstawę trójkąta?
Napisz równanie krzywej będącej zbiorem środków okręgów stycznych zewnetrznie do okregu \((x+2)^2+y^2=4\) i stycznych do prostej \(y=0\).
Rozwiąż równanie
\(f^{\prime}(x)=2 f(x)\)
jeżeli \(f(x)=\cos 2 x\) i sporządź wykres tej funkcji.
Dane są proste \(3 x+4 y-5 m+7=0, x-4 y-m-3=0 .\) Jaki warunek musi spełniać \(m\), aby punkt przecięcia tych prostych należał do pierwszej ćwiartki prostokątnego układu współrzędnych?
W stożku pole podstawy, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek i pole powierzchni bocznej stożka tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.
Na odcinku \(A B=a\) obrano punkt \(M\). Na odcinku \(\overline{A M}\) i \(\overline{B M}\) zbudowano kwadrat i trójkąt równoboczny. Wyznacz położenie punktu \(M\) tak, aby suma pól tych dwóch figur osiągała ekstremum.
Wykaż, że styczne do wykresu funkcji o równaniu \(y=\frac{1+3 x^2}{3+x^2}\) \(\mathrm{w}\) punktach \(A\left(x_0, 1\right)\) przecinają się w początku układu współrzędnych.
Z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne losujemy 5 razy po dwie kule. Po każdym losowaniu wylosowaną parę kul wrzucamy do urny. Oblicz prawdopodobieństwo trzykrotnego wylosowania pary kul różnokolorowych.
Rozwiąż nierówność
\(\log \left(2^{2 x-4}+3^2\right)>\log 5+\log \left(2^{x-2}+1\right)\)
\(\mathrm{Z}\) miast \(A\) i \(B\) wyruszyly jednocześnie dwa samochody jadące ze stałymi prędkościami naprzeciw siebie. Do chwili spotkania pierwszy z nich przebył drogę o \(d \mathrm{~km}\) większą niż drugi. Jadąc dalej z tymi samymi prędkościami, pierwszy samochód przebył drogę od \(A\) do \(B\) w \(m\) godzin, drugi zaś w \(n\) godzin. Oblicz odległość między miastami \(A\) i \(B\)
Sześcienny blok ołowiany ma wewnątrz pustą przestrzeń w ksztalcie sześcianu, położoną centralnie i służącą do przechowywania ciała promieniotwórczego. Krawędź wewnętrznego sześcianu wynosi \(6 \mathrm{~cm}\). Pole powierzchni wewnętrznej jest 36 razy mniejsze od pola powierzchni zewnętrznej. Oblicz grubość ścianek.
Dla jakich wartości parametru \(m\) najmniejsza wartość funkcji \(y=(3 m-5) x^2-(2 m-1) x+\frac{1}{4}(3 m-5)\) jest liczbą dodatnią?
Napisz równania stycznych do okregu \(x^2+y^2=25 \mathrm{w}\) punktach przecięcia się tego okregu z parabola \(y^2=4 x+25\).
Udowodnij twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej \(n\) wiekszej od 1 prawdziwa jest nierówność
\(\left(\begin{array}{c}2 n \\2\end{array}\right)>2\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right)\)
Na przeciwprostokątnej \(\overline{A B}\) trójkąta prostokątnego \(A B C\) zbudowano trójkąt równoboczny \(A B X\). Wyznacz kąty trójkąta \(A B C\), jeżeli wiadomo, że pole trójkąta \(A B X\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(A B C\).
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 30, różnica ciągu \(r=-3\), ostatni wyraz ciągu stanowi \(\frac{1}{8}\) sumy wszystkich poprzednich wyrazów. Znajdź ilość wyrazów i sumę ciągu.
Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(k\) funkcja
\(y=x^3-2 k x^2+3 k x-4\)
jest rosnąca.
Znajdź równanie prostopadłej opuszczonej z wierzcholka \(A\) trójkąta \(A(0,0) B(1,2) C(4,-2)\) na środkową \(\overline{B D}\) boku \(\overline{A C}\).
Rozwiąż równanie
\(\log _2\left(9-2^x\right)=3-x\)
