Dla jakich wartości parametru \(m\), pierwiastki równania
\(
\frac{m x}{m-1}+\frac{m+1}{x}=x+1
\)
speiniają nierówność \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<2 m+1\) ?
Punkty \(A(7,7), B(0,8), C(-2,4)\) są wierzchołkami trójkąta \(A B C\).
a) Oblicz pole i miary kątów trójkąta \(A B C\).
b) Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\).
c) Napisz równanie stycznej w punkcie \(M(3,9)\) do okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\).
W trapezie \(A B C D\) dane są \(A C=a, kąt D A C=kąt A B C=\alpha\). Proste \(A D\) i \(B C\), w których zawierają się ramiona trapezu, są prostopadłe. Oblicz pole trapezu.
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy \(18 \mathrm{~cm}\). Jakie powinny być boki tego trójkąta, by objętość bryly powstałej z jego obrotu dokoła podstawy była największa?
Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest \(6\) kobiet, otrzymała \(5\) biletów do teatru. Bilety rozdzieliło się drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów znajdą się dokładnie \(3\) kobiety.
Dla jakich wartości parametru \(a\) równanie
\(
3 x^2-x \log a+1=0
\)
ma pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek \(x_1^2+x_2^2=1\) ?
Znajdź równania stycznych do okręgu
\(
x^2+y^2-8 x-10 y+28=0
\)
i nachylonych do prostej \(5 x-y+3=0\) pod kątem \(\frac{\pi}{4}\).
W półokrąg o promieniu \(R\) wpisano trapez, którego podstawą jest średnica okręgu. Dla jakiego kąta przy podstawie trapezu pole trapezu jest największe?
Przekątne \(\overline{A C}\) i \(\overline{B D}\) trapezu \(A B C D\) o podstawach \(\overline{A B}\) i \(\overline{D C}\) przecinają się w punkcie \(O\). Mając dane pola \(P_1\) i \(P_2\) trójkątów \(A B O\) i \(C D O\) oblicz pole trapezu.
Dziesięciu chłopców wybrało się na wycieczkę rowerową jadąc gęsiego. Janek i Franek oraz Bronek znajdują się w grupie chłopców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) Janka, Franka i Bronka nikt nie przedziela,
b) Janek i Franek znajdują się obok siebie, a Bronka od Janka i Franka przedziela co najmniej jeden chłopak.
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie
\(
x^2+(2 m-3) x+2 m+5=0
\)
ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków?
Punkty \(A(6,-1), B(6,-5)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(A B C\), w którym \(A B=A C\). Wysokość \(\overline{A D}\) trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-7\).
a) Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
b) Oblicz pole trójkąta \(A B C\).
c) Oblicz długość boku \(\overline{B C}\).
Zbadaj przebieg funkcji \(f(x)=x^4-10 x^2+9\) i sporządź jej wykres.
Osiem osób posadzono przy okrągłym stole. Przyjmując, że wszystkie sposoby, w jakie można to zrobić, są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ustalone dwie osoby będą siedziaty obok siebie.
Rozwiąż równanie \(3 \sin x=2 \cos ^2 x\).
