1975 woj. kieleckie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Okno ma ksztalt prostokąta zakończonego półkolem. Obwód całego okna wynosi $$4+\pi$$. Podaj wymiary części prostokątnej, aby okno przepuszczało jak najwięcej światła.
Zadanie 2.
Wyznacz $$\cos 2 x$$ wiedząc, że $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\operatorname{tg} 2 x+7$$.
Zadanie 3.
Dla jakich liczb $$m$$ i $$p$$ parabole będące wykresami funkcji:
$$\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y_1=x^2+(m+2) x+m$$,
$$\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y_2=(-m-2) x^2+m x+m+p$$,
przecinają oś $$O X w$$ tych samych dwóch punktach?
Podaj wszystkie pary liczb $$(m, p)$$ oraz w każdym z tych przypadków oblicz odległość wierzchołków obu parabol.
Zadanie 4.
Dana jest elipsa $$x^2+3 y^2=4$$ i prosta $$x+y-2=0$$ przecinająca, elipse w punktach $$A$$ i $$B$$.
a) Oblicz pole trójkąta, którego jeden bok jest odcinkiem $$\overline{A B}$$ a dwa pozostałe zawierają się w stycznych do elipsy w punktach $$A$$ i $$B$$.
b) Zbadaj, czy w tę elipsę da się wpisać prostokąt tak, aby jeden z jego boków był odcinkiem $$\overline{A B}$$.
Zadanie 5.
Na egzamin przygotowano 45 tematów, z których zdający losuje 3. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą za rozwiązanie trzech tematów, dobrą za rozwiązanie dwóch, dostateczną za rozwiązanie jednego i niedostateczną, gdy brak rozwiązań. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny co najmniej dostatecznej, a jakie bdb, jeżeli uczeń przygotował $$\frac{2}{3}$$ liczby wszystkich tematów?
1975 woj. kieleckie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Dane są współrzędne wierzchołków trójkąta $$A B C$$
$$A(1,2), B(7,3), C(2,8) \text {. }$$
a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta $$\overline{A D}$$.
b) Oblicz pole trójkąta $$A B C$$.
c) Oblicz miary kątów tego trójkąta.
Zadanie 2.
Rozwiąż układ równań
$$\left\{\begin{array}{l}m x-2 y=3 \\3 x+m y=2\end{array}\right.$$
Dla jakich wartości parametru $$m: x<1$$ i $$y<0$$ ?
Zadanie 3.
W jednym prostokątnym układzie współtzędnych naszkicuj wykresy funkcji:
$$\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y=-x^2+4 x+\frac{9}{4},$$
$$\boldsymbol{R} \ni x \rightarrow y=x+\frac{9}{4} .$$
Oblicz pole figury ograniczonej tymi wykresami.
Zadanie 4.
Z drutu długości $$90 \mathrm{~cm}$$ mamy wykonać trójkąt równoramienny, taki aby bryła zakreślona przez jego obrót wokól podstawy miała maksymalną objętość. Jaką długość winny mieć ramiona tego trójkąta?
Zadanie 5.
Kąt ostry równoległoboku jest równy $$60^{\circ}$$. Odległości punktu przecięcia się przekątnych równoległoboku od jego boków są odpowiednio równe 3 i 2. Oblicz: a) pole równoległoboku, b) długość przekątnych równoległoboku.
1975 woj. kieleckie - technikum
Zadanie 1.
Dana jest krzywa o równaniu $$y=\frac{x^2-3}{x-2}$$. Znajdź współrzędne punktów $$A$$ i $$B$$ należących do tej krzywej, których odcięte są równe wartościom argumentów, dla których istnieje ekstremum tej funkcji. Następnie znajdź równanie prostej prostopadłej do odcinka $$\overline{A B}$$ i przechodzącej przez środek tego odcinka.
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie
$$4\left(\log _2 \cos x\right)^2+\log _2(1+\cos 2 x)=3 .$$
Zadanie 3.
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $$\overline{A C}$$ i $$\overline{B C}$$ odpowiednio równych $$1,5 \mathrm{~cm}$$ i $$2 \mathrm{~cm}$$ poprowadzono z wierzchołka kąta prostego wysokość $$\overline{C D}$$ oraz dwusieczne $$\overline{C E}$$ i $$\overline{C F}$$ obydwu kątów, jakie wysokość tworzy z przyprostokątnymi. Oblicz odcinek przeciwprostokątnej zawarty między dwusiecznymi.
Zadanie 4.
W punktach przecięcia paraboli $$y=-x^2+5 x-4$$ z osią $$O X$$ poprowadzono styczne do tej krzywej.
a) Znajdź równania stycznych.
b) Znajdź współrzędne punktu przecięcia się tych stycznych.
c) Oblicz pole obszaru ograniczonego stycznymi i daną parabolą.
Zadanie 5.
W urnie są 4 kule białe i 6 kul czarnych. Losujemy 4 razy po 5 kul i po każdym losowaniu wrzucamy je do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 razy wylosujemy 5 takich kul, wśród których będą 3 kule czarne.
1975 woj. kieleckie - licea ekonomiczne i licea zawodowe
Zadanie 1.
Dane są trzy wierzchołki kwadratu $$A B C D: A(0,6) ; B(2,0)$$; $$C(8,2)$$.
a) Oblicz współrzędne wierzchołka $$D$$.
b) Napisz równania przekątnych tego kwadratu.
c) Znajdź równanie okręgu opisanego na tym kwadracie.
d) Oblicz pole kwadratu.
Zadanie 2.
Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji:
$$y=-\frac{1}{4} x^2+2 x \text { i } y=\frac{1}{4} x+\frac{3}{2} .$$
Zadanie 3.
Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji:
$$y=-\frac{1}{4} x^2+2 x \text { i } y=\frac{1}{4} x+\frac{3}{2} .$$
3. Rozwiąż równanie
$$x^4+3-\left|3 x^3+x\right|=0 .$$
Zadanie 4.
Między liczby 3 i $$x$$ wstawiono liczbę $$y$$ tak, że liczby $$3, y, x$$ tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli liczbę $$y$$ pomniejszymy o 6 , to liczby 3 , $$y-6, x$$ utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
Zadanie 5.
Na egzamin przygotowano 30 zadań, z których uczeń losuje 3 i otrzymuje ocenę pozytywną, jeśli rozwiąże co najmniej 2 zadania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że uczeń zda egzamin, jeśli opanował umie ętność rozwiązania $$\frac{2}{3}$$ zadań.
1975 woj. kieleckie - technika i licea dla pracujących
Zadanie 1.
Napisz równanie okręgu, którego środek należy do prostej o równaniu $$x-y+2=0$$ i który przechodzi przez punkty $$A(3,0)$$ i $$B(-1,2)$$. Wyznacz na okręgu taki punkt $$C$$, aby $$\overrightarrow{A C} \circ \overrightarrow{A B}=0$$.
Zadanie 2.
Dla jakich wartości $$x$$ liczby: $$\log 3, \log \left(3^{x+1}+6\right), \log \left(3^{x+2}+18\right)$$ tworzą ciąg arytmetyczny?
Zadanie 3.
Rozwiąż układ równań
$$\left\{\begin{array}{l}m x+(2 m-1) y=3 m \\x+m y=m\end{array}\right.$$
Dla jakich wartości parametru $$m$$ rozwiązanie tego układu jest parą liczb o różnych znakach?
Zadanie 4.
W stożek obrotowy o promieniu podstawy $$R$$ i wysokości $$H$$ wpisz walec obrotowy tak, aby objętość walca była największa.
Zadanie 5.
Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech kupionych losów
a) dokładnie jeden wygrywa,
b) przynajmniej jeden wygrywa.
1975 woj. kieleckie - technika i licea ekonomiczne dla pracujących
Zadanie 1.
Napisz równania stycznych do okręgu $$x^2+y^2=25$$ przechodzących przez punkt $$A(7,1)$$ leżący poza okręgiem.
Zadanie 2.
Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi $$4 \mathrm{~cm}$$, a kąt między nimi zawarty jest równy $$60^{\circ}$$. Znajdź najmniejszą wartość obwodu trójkąta.
Zadanie 3.
Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi $$4 \mathrm{~cm}$$, a kąt między nimi zawarty jest równy $$60^{\circ}$$. Znajdź najmniejszą wartość obwodu trójkąta.
3. Rozwiąż nierówność
$$\frac{1-2 x}{1+x}-\frac{1+x}{1+2 x}>1 .$$
Zadanie 4.
Naszkicuj wykresy funkcji:
$$\begin{aligned}y &=-x^2+2 x+3 \\\text { i } y &=x+1\end{aligned}$$
oraz oblicz pole figury ograniczonej tymi wykresami.
Zadanie 5.
W urnie jest 6 kul białych i 3 kule czarne. Wyciągamy losowo jednaz kulę, zatrzymujemy ją, a następnie wyciągamy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wyciągniemy dwie kule białe?
b) wyciągniemy dwie kule czarne?
