1975 woj. katowickie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Para $$(x, y)$$ jest rozwiązaniem układu:
$$\left\{\begin{aligned}x-y &=-1-m \\2 x-y &=2 m .\end{aligned}\right.$$
Dla jakich wartości $$m$$ punkt $$P(x, y)$$ należy do wnętrza koła o promieniu długości $$r \sqrt{5}$$ i środku w początku układu współrzędnych?
Zadanie 2.
Dane są trzy kolejne wierzcholki prostokąta $$A B C D$$ :
$$A(-5,-3), B(-2,0), C(-7,5) \text {. }$$
a) Napisz równanie okregu opisanego na tym prostokącie.
b) Napisz równanie prostej stycznej do tego okregu w punkcie $$D$$.
Zadanie 3.
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy a.
a) Przy jakich długościach boków pole trójkąta jest największe?
b) Podaj największą wartośćc pola trójkąta dla $$a=3+2 \sqrt{3}$$.
Zadanie 4.
Punkt $$A$$ należy do obszaru kąta o mierze stopniowej $$60 .$$
Odległości tego punktu od ramion kąta są równe $$a=2, b=$$
$$=\sqrt{3}-1$$. Znajdź odległość punktu $$A$$ od wierzchołka kąta.
Zadanie 5.
Z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwie (bez zwrotu).
a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
$$A$$ - suma wylosowanych licab jest większa od $$8 .$$
$$B$$ - za pierwszym razem wylosowano liczbę parzysta.
b) Sprawdź niezależność zdarzeń $$A$$ i $$B$$.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 8, jeżeli za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą?
1975 woj. katowickie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Dany jest wielomian
$$W(x)=x^3+a x^2-b x-6 .$$
Liczby 1 i 2 są pierwiastkami tego wielomianu.
a) Wyznacz współczynniki $$a$$ i $$b$$.
b) Przy wyznaczonych $$a$$ i $$b$$ rozwiąż nierówność $$W(x)>0$$.
Zadanie 2.
Dla jakich wartości $$\alpha$$ równanie:
$$\frac{x+1}{2 x-1}-\frac{2 x+1}{x-1}=\cos \alpha$$
ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?
Zadanie 3.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji $$f(x)=\frac{1}{2} x^3-\frac{3}{2} x$$ określonej w przedziale $$\langle-3 ; 3\rangle$$.
Zadanie 4.
Wierzchołkami trójkąta są punkty
$$A(-1,3), B(-2,0), C(2,-3) \text {. }$$
a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną $$\mathrm{z}$$ wierzchołka $$A$$.
b) Wyznacz współrzędne punktu $$D$$ równoległoboku $$A B C D$$ i oblicz jego pole.
Zadanie 5.
Wierzcholki kwadratu $$K L M N$$ należą do boków kwadratu $$A B C D$$. Oblicz stosunek odcinków, na które punkty $$K, L, M, N$$ dzielą każdy z boków kwadratu $$A B C D$$ wiedząc, że stosunek pól tych kwadratów jest $$\frac{3}{4}$$ i $$A B=10 \mathrm{~cm}$$.
