1975 woj. bydgoskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Dane jest równanie
$$x^2-(m+1) x+\frac{6}{5} m=0 .$$
Dla jakich $$m$$ jeden pierwiastek tego samego równania jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego samego kąta ostrego?
Zadanie 2.
Napisz równania stycznych do okręgu $$x^2+y^2-2 x+6 y+5=0$$ i prostopadłych do prostej $$x-2 y=0$$.
Zadanie 3.
W stożek wpisano graniastosłup prosty tak, że podstawa dolna graniastosłupa zawiera się w podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy należą do pobocznicy stożka. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości przyprostokątnych wynosi $$3: 1$$.
Długość promienia podstawy stożka wynosi $$R$$, a miara kąta przy wierzchołku stożka wynosi $$2 \alpha$$. Który z graniastosłupów ma największą objętość?
Zadanie 4.
Oblicz pole obszaru ograniczonego łukami parabol
$$y=x^2, y=\frac{x^2}{2} \text { i prostą } y=4 x .$$
Zadanie 5.
Do urny, w której znajdują się dwie kule, wrzucono biała kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia $$z$$ urny kuli białej, jeśli wiadomo, że następujące zdarzenia są jednakowo prawdopodobne: przed wrzuceniem nie było $$\mathrm{w}$$ urnie ani jednej białej kuli, była jedna biała kula, były dwie białe kule.
Zadanie 1.
$$m=\frac{2}{5}$$
Zadanie 2.
$$y=-2 x+4,=-2 x-6$$
Zadanie 3.
Jeżeli wysokość $$h=\frac{1}{3} R \operatorname{ctg} \alpha$$, jedna z przyprostokątnych podstawy $$a=\frac{4 R}{3 \sqrt{10}}$$, to taki graniastosłup ma największą obiętość.
Zadanie 4.
$$P=\int_0^4 x^2 d X-\int_0^4 \frac{x^2}{2} d x+\int_4^8 4 x d x-\int_4^8 \frac{x^2}{2} d x=32$$
Zadanie 5.
$$P(A)=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}+1 \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
1975 woj. bydgoskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Podaj interpretację geometryczną zbiorów $$A \cap B$$ oraz $$A-B$$,
gdzie:
$$\begin{aligned}
&A=\{x: x \in \boldsymbol{R} \text { i }|x|>3\} \\
&B=\left\{x: x \in \mathbb{R} \text { i } x^2-7 x+10 \leqslant 0\right\}
\end{aligned}$$
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie
$$x-\frac{1}{2 x}+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4 x}+\frac{x^3}{4}-\frac{1}{8 x}+\ldots=1 \text {. }$$
Zadanie 3.
Dla jakich wartości parametru $$m$$ suma odwrotności pierwiastków równania kwadratowego $$x^2+(2-3 m) x+\left(2 m^2-5 m-3\right)=0$$ ma wartość ujemną?
Zadanie 4.
Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych $$x-y+1=0 \text { i } 3 x+2 y-12=0 .$$ Punkt $$S(6,4)$$ jest środkiem symetrii równoległoboku. Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki. Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku.
Zadanie 5.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji $$f(x)=x^3-9 x^2+15 x-7$$
Zadanie 1.
$$A \cap B=(3 ; 5\rangle, A-B=(-\infty ;-3) \cup(5 ; \infty)$$
Zadanie 2.
$$x=-\frac{2}{3}, x=1$$
Zadanie 3.
$$m \in\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{2}{3} ; 3\right)$$
Zadanie 4.
$$A(2,3); C(10,5);B\left(\frac{22}{5} ;-\frac{3}{5}\right);\quad D\left(\frac{38}{5}, \frac{43}{5}\right) .$$
Zadanie 5.
$$f$$ jest ciągła i różniczkowalna w $$D=(-\infty ;+\infty)$$.
$$f^{\prime}(x)=3 x^2-18 x+15$$
$$f^{\prime}(x)=0$$, dla $$x=1, x=5$$,
$$f^{\prime}(x)>0$$, dla $$x \in(-\infty ; 1) \cap(5 ;+\infty)$$
$$f^{\prime}(x)<0$$, dla $$x \in(1 ; 5) .$$
1975 woj. bydgoskie - technika ekonomiczne, rolnicze, spożywcze, gastronomiczne
Zadanie 1.
Dane jest równanie kwadratowe
$$m x^2-\left(m^2+1\right) x+m^2+1=0 .$$
Zbadaj sumę pierwiastków tego równania jako funkcję parametru $$m$$ i podaj jej wykres.
Zadanie 2.
Wysokość dzieli podstawę trójkąta na dwa odcinki $$36 \mathrm{~cm}$$ i $$14 \mathrm{~cm}$$. Prostopadle do podstawy poprowadzono prostą, która dzieli trójkąt na dwie części o równych polach.
Jakie są długości odcinków, na które ta prosta dzieli podstawę trójkąta?
Zadanie 3.
Napisz równanie krzywej będącej zbiorem środków okręgów stycznych zewnetrznie do okregu $$(x+2)^2+y^2=4$$ i stycznych do prostej $$y=0$$.
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie
$$f^{\prime}(x)=2 f(x)$$
jeżeli $$f(x)=\cos 2 x$$ i sporządź wykres tej funkcji.
Zadanie 5.
Dane są proste $$3 x+4 y-5 m+7=0, x-4 y-m-3=0 .$$ Jaki warunek musi spełniać $$m$$, aby punkt przecięcia tych prostych należał do pierwszej ćwiartki prostokątnego układu współrzędnych?
1975 woj. bydgoskie - technika mechaniczne i elektryczne
Zadanie 1.
W stożku pole podstawy, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek i pole powierzchni bocznej stożka tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.
Zadanie 2.
Na odcinku $$A B=a$$ obrano punkt $$M$$. Na odcinku $$\overline{A M}$$ i $$\overline{B M}$$ zbudowano kwadrat i trójkąt równoboczny. Wyznacz położenie punktu $$M$$ tak, aby suma pól tych dwóch figur osiągała ekstremum.
Zadanie 3.
Wykaż, że styczne do wykresu funkcji o równaniu $$y=\frac{1+3 x^2}{3+x^2}$$ $$\mathrm{w}$$ punktach $$A\left(x_0, 1\right)$$ przecinają się w początku układu współrzędnych.
Zadanie 4.
Z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne losujemy 5 razy po dwie kule. Po każdym losowaniu wylosowaną parę kul wrzucamy do urny. Oblicz prawdopodobieństwo trzykrotnego wylosowania pary kul różnokolorowych.
Zadanie 5.
Rozwiąż nierówność
$$\log \left(2^{2 x-4}+3^2\right)>\log 5+\log \left(2^{x-2}+1\right)$$
1975 woj. bydgoskie - technika budowlane, drzewne i chemiczne
Zadanie 1.
$$\mathrm{Z}$$ miast $$A$$ i $$B$$ wyruszyly jednocześnie dwa samochody jadące ze stałymi prędkościami naprzeciw siebie. Do chwili spotkania pierwszy z nich przebył drogę o $$d \mathrm{~km}$$ większą niż drugi. Jadąc dalej z tymi samymi prędkościami, pierwszy samochód przebył drogę od $$A$$ do $$B$$ w $$m$$ godzin, drugi zaś w $$n$$ godzin. Oblicz odległość między miastami $$A$$ i $$B$$
Zadanie 2.
Sześcienny blok ołowiany ma wewnątrz pustą przestrzeń w ksztalcie sześcianu, położoną centralnie i służącą do przechowywania ciała promieniotwórczego. Krawędź wewnętrznego sześcianu wynosi $$6 \mathrm{~cm}$$. Pole powierzchni wewnętrznej jest 36 razy mniejsze od pola powierzchni zewnętrznej. Oblicz grubość ścianek.
Zadanie 3.
Dla jakich wartości parametru $$m$$ najmniejsza wartość funkcji $$y=(3 m-5) x^2-(2 m-1) x+\frac{1}{4}(3 m-5)$$ jest liczbą dodatnią?
Zadanie 4.
Napisz równania stycznych do okregu $$x^2+y^2=25 \mathrm{w}$$ punktach przecięcia się tego okregu z parabola $$y^2=4 x+25$$.
Zadanie 5.
Udowodnij twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej $$n$$ wiekszej od 1 prawdziwa jest nierówność
$$\left(\begin{array}{c}2 n \\2\end{array}\right)>2\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right)$$
1975 woj. bydgoskie - technika dla pracujących
Zadanie 1.
Na przeciwprostokątnej $$\overline{A B}$$ trójkąta prostokątnego $$A B C$$ zbudowano trójkąt równoboczny $$A B X$$. Wyznacz kąty trójkąta $$A B C$$, jeżeli wiadomo, że pole trójkąta $$A B X$$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $$A B C$$.
Zadanie 2.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 30, różnica ciągu $$r=-3$$, ostatni wyraz ciągu stanowi $$\frac{1}{8}$$ sumy wszystkich poprzednich wyrazów. Znajdź ilość wyrazów i sumę ciągu.
Zadanie 3.
Zbadaj, dla jakich wartości parametru $$k$$ funkcja
$$y=x^3-2 k x^2+3 k x-4$$
jest rosnąca.
Zadanie 4.
Znajdź równanie prostopadłej opuszczonej z wierzcholka $$A$$ trójkąta $$A(0,0) B(1,2) C(4,-2)$$ na środkową $$\overline{B D}$$ boku $$\overline{A C}$$.
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie
$$\log _2\left(9-2^x\right)=3-x$$
