Algebra • wzory skróconego mnożenia • przekształcenia
Najważniejsze wzory algebraiczne
Wzory algebraiczne to nie tylko lista do zapamiętania. To narzędzia, które pozwalają
szybko przekształcać wyrażenia, rozkładać je na czynniki, upraszczać rachunki
i zauważać ukrytą strukturę zadania.
Poniższe zestawienie porządkuje najczęściej używane wzory: kwadraty sum i różnic,
różnicę kwadratów, wzory z sześcianami, zależności dla trzech składników oraz kilka
przydatnych tożsamości wyższych stopni.
Warto uczyć się ich nie jako oderwanych formuł, lecz jako schematów myślenia:
rozpoznaj postać, wybierz wzór, zastosuj go i sprawdź, czy kierunek przekształcenia ma sens.
1 Podstawowe wzory
Kwadrat sumy
\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
Kwadrat różnicy
\[
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]
Ważne: środkowy składnik nie znika. Bardzo częsty błąd to zapis
\((a+b)^2 = a^2+b^2\), który jest niepoprawny.
2 Wzory przekształcone
Suma kwadratów przez kwadrat sumy
\[
a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab
\]
Suma kwadratów przez kwadrat różnicy
\[
a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab
\]
Związek dwóch kwadratów
\[
2(a^2+b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2
\]
3 Różnica kwadratów sumy i różnicy
Różnica kwadratów
\[
(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab
\]
Iloczyn \(ab\)
\[
ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2
\]
Kwadrat sumy przez kwadrat różnicy
\[
(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab
\]
Kwadrat różnicy przez kwadrat sumy
\[
(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab
\]
5 Sześcian sumy i różnicy
Sześcian sumy
\[
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
Sześcian różnicy
\[
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]
6 Suma i różnica sześcianów
Suma sześcianów
\[
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
\]
Różnica sześcianów
\[
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
\]
7 Przydatne postacie równoważne
Suma sześcianów przez sześcian sumy
\[
a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)
\]
Różnica sześcianów przez sześcian różnicy
\[
a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)
\]
Inna postać sześcianu sumy
\[
(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)
\]
Inna postać sześcianu różnicy
\[
(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)
\]
8 Kwadraty trójmianów
Kwadrat sumy trzech składników
\[
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
\]
Kwadrat wyrażenia \(a+b-c\)
\[
(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca
\]
Kwadrat wyrażenia \(a-b-c\)
\[
(a-b-c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca
\]
9 Przekształcenia pomocnicze
Suma kwadratów przez kwadrat sumy
\[
a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)
\]
Suma iloczynów parami
\[
2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)
\]
11 Czwarte potęgi
Suma czwartych potęg
\[
a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2
\]
Ta sama zależność w innej postaci
\[
a^4+b^4 = \left[(a+b)^2-2ab\right]^2 - 2(ab)^2
\]
Różnica czwartych potęg
\[
a^4-b^4 = (a^2+b^2)(a+b)(a-b)
\]
12 Inne przydatne rozkłady
Rozkład przez sumę i różnicę
\[
a^4+a^2b^2+b^4 =
(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)
\]
Szczególny przypadek
\[
a^4+a^2+1=(a^2+a+1)(a^2-a+1)
\]
Różnica ósmych potęg
\[
a^8-b^8=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)
\]
1. Nie tylko pamięć
Nie wystarczy przepisać wzór. Trzeba wiedzieć, kiedy warto go zastosować
i w którą stronę go przekształcić.
2. Rozpoznawanie postaci
W zadaniach najważniejsze jest zauważenie schematu:
suma, różnica, kwadrat, sześcian albo rozkład na czynniki.
3. Sprawdzanie przez rozwinięcie
Jeśli masz wątpliwość, rozwiń prawą stronę wzoru i sprawdź,
czy otrzymujesz lewą stronę.
