Układy równań

Uncategorised Odsłon: 712

Wprowadzimy pomocnicze oznaczenia dla symetrycznych wyrażeń:
- $S = x + y + z$,
- $P = xy + xz + yz$,
- $Q = xyz$.

Wówczas nasz układ równań możemy wyrazić za pomocą $S$, $P$, i $Q$.

### 1. Pierwsze równanie:
Mamy $S = 9$, więc:
$$x + y + z = 9$$

### 2. Drugie równanie:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$$
To równanie możemy przepisać jako:
$$\frac{xy + xz + yz}{xyz} = 1$$
Podstawiając $P = xy + xz + yz = 27$ oraz oznaczając $Q = xyz$, mamy:
$$\frac{27}{Q} = 1$$
Stąd $Q = 27$.

### 3. Trzecie równanie:
Trzecie równanie pozostaje:
$$xy + xz + yz = 27$$

### 4. Układ równań sprowadzony do wielomianu

Teraz możemy wyrazić $x$, $y$, i $z$ jako pierwiastki wielomianu:
$$t^3 - St^2 + Pt - Q = 0$$
Podstawiamy wartości $S = 9$, $P = 27$, $Q = 27$:
$$t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = 0$$

### 5. Rozwiązanie wielomianu
Rozwiązujemy równanie:
$$t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = 0$$

Sprawdźmy, czy $t = 3$ jest pierwiastkiem:
$$3^3 - 9 \cdot 3^2 + 27 \cdot 3 - 27 = 27 - 81 + 81 - 27 = 0$$
Zatem $t = 3$ jest pierwiastkiem.

Dzielimy wielomian przez $t - 3$:
$$t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = (t - 3)(t^2 - 6t + 9)$$

Teraz rozkładamy dalej:
$$t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2$$

Zatem mamy:
$$(t - 3)^3 = 0$$

### 6. Wnioski
Jedynym pierwiastkiem równania jest $t = 3$, co oznacza, że $x = y = z = 3$.

### Odpowiedź
Rozwiązaniem układu jest:
$$(x, y, z) = (3, 3, 3)$$

Aby rozwiązać ten układ, wykorzystamy wprowadzenie podstawowych symetrycznych wyrażeń.

### 1. Przekształcenie drugiego równania

Drugie równanie możemy przepisać w postaci:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + xz + yz}{xyz} = 1$$

Stąd, korzystając z trzeciego równania $xyz = -1$, otrzymujemy:
$$\frac{xy + xz + yz}{-1} = 1$$
czyli
$$xy + xz + yz = -1$$

Zatem nasz układ przyjmuje postać:
$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ xy + xz + yz = -1 \\ xyz = -1 \end{cases}$$

### 2. Utworzenie wielomianu

Teraz możemy wyrazić $x$, $y$, i $z$ jako pierwiastki wielomianu:
$$t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = 0$$

Podstawiając wartości $x + y + z = 1$, $xy + xz + yz = -1$, oraz $xyz = -1$, otrzymujemy równanie:
$$t^3 - t^2 - t + 1 = 0$$

### 3. Rozwiązanie wielomianu

Spróbujmy znaleźć pierwiastki wielomianu $t^3 - t^2 - t + 1 = 0$ za pomocą podstawienia $t = 1$:

$$1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$$

Zatem $t = 1$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy teraz podzielić wielomian przez $t - 1$, aby znaleźć pozostałe pierwiastki.

Dzielimy:
$$t^3 - t^2 - t + 1 = (t - 1)(t^2 - 1)$$
$$t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)$$

Zatem mamy:
$$t^3 - t^2 - t + 1 = (t - 1)^2(t + 1) = 0$$

Pierwiastkami równania są więc:
$$t = 1 \quad \text{(podwójny pierwiastek)} \quad \text{i} \quad t = -1$$

### 4. Wnioski

Mamy trzy wartości: $t = 1, 1, -1$, co oznacza, że $x$, $y$, i $z$ mogą być równe $1$, $1$, oraz $-1$ (w dowolnej kolejności).

### Odpowiedź

Rozwiązania układu to:
$$(x, y, z) = (1, 1, -1), \; (1, -1, 1), \; (-1, 1, 1)$$

Zakładamy, że $x \neq 0$, ponieważ w przeciwnym przypadku wszystkie równania wynosiłyby $0$, co nie jest zgodne z danymi.

Możemy więc podzielić każde równanie przez $x$, aby uprościć układ:

$$\begin{cases} x + y = \frac{3}{x} \\ x + z = \frac{1}{x} \\ y + z = \frac{2}{x} \end{cases}$$

### 1. Wyznaczenie $y$ i $z$

Z pierwszego równania wyznaczmy $y$:
$$y = \frac{3}{x} - x$$

Z drugiego równania wyznaczmy $z$:
$$z = \frac{1}{x} - x$$

### 2. Podstawienie do trzeciego równania

Podstawmy wyrażenia dla $y$ i $z$ do trzeciego równania:
$$\left(\frac{3}{x} - x\right) + \left(\frac{1}{x} - x\right) = \frac{2}{x}$$

Uprośćmy lewą stronę:
$$\frac{3}{x} - x + \frac{1}{x} - x = \frac{2}{x}$$

Zredukujmy wyrazy podobne:
$$\frac{4}{x} - 2x = \frac{2}{x}$$

Przenieśmy $\frac{2}{x}$ na lewą stronę:
$$\frac{4}{x} - \frac{2}{x} = 2x$$

Uprośćmy:
$$\frac{2}{x} = 2x$$

Pomnóżmy obie strony przez $x$ (zakładając, że $x \neq 0$):
$$2 = 2x^2$$

Dzielimy przez 2:
$$1 = x^2$$

Zatem $x = 1$ lub $x = -1$.

### 3. Przypadki dla $x$

#### Przypadek 1: $x = 1$

Podstawiamy $x = 1$ do równań dla $y$ i $z$:

1. $y = \frac{3}{1} - 1 = 3 - 1 = 2$
2. $z = \frac{1}{1} - 1 = 1 - 1 = 0$

Dla $x = 1$, otrzymujemy $y = 2$ i $z = 0$. Zatem jedno rozwiązanie to:
$$(x, y, z) = (1, 2, 0)$$

#### Przypadek 2: $x = -1$

Podstawiamy $x = -1$ do równań dla $y$ i $z$:

1. $y = \frac{3}{-1} - (-1) = -3 + 1 = -2$
2. $z = \frac{1}{-1} - (-1) = -1 + 1 = 0$

Dla $x = -1$, otrzymujemy $y = -2$ i $z = 0$. Drugie rozwiązanie to:
$$(x, y, z) = (-1, -2, 0)$$

### Odpowiedź

Rozwiązania układu to:
$$(x, y, z) = (1, 2, 0) \quad \text{oraz} \quad (x, y, z) = (-1, -2, 0)$$