Prawdopodobieństwo — Schemat Bernoulliego
Teoria
Próba Bernoulliego
Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe są tylko dwa wyniki,
będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników nazywa się sukcesem,
a drugi porażką.
Schemat N prób Bernoulliego
Schematem \(N\) prób Bernoulliego nazywamy doświadczenie polegające na
\(N\)-krotnym powtórzeniu ustalonej próby Bernoulliego,
przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich
i nie wpływa na wyniki prób następnych.
Wzór
Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Bernoulliego o \(N\) próbach
sukces otrzyma się dokładnie \(k\) razy (\(0 \le k \le N\)) jest równe:
\(p>0\), \(q>0\), \(p+q=1\), \(p\) – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie, \(q\) – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.
\[
P_N(k)=\binom{N}{k}\,p^k\,q^{N-k},
\]
gdzie:
\(p>0\), \(q>0\), \(p+q=1\), \(p\) – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie, \(q\) – prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów
Jeżeli w schemacie \(N\) prób Bernoulliego liczba \((N+1)p\):
- nie jest liczbą całkowitą – najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita mniejsza od \((N+1)p\),
- jest liczbą całkowitą – najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe \((N+1)p-1\) oraz \((N+1)p\).
Zadania
1
Oblicz prawdopodobieństwo, że w ośmiu rzutach kostką:
a) szóstkę otrzymamy trzy razy,
b) co najwyżej dwa razy wypadnie szóstka,
c) co najmniej raz wypadnie szóstka.
2
Rzucamy sześć razy trzema monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reszki otrzymamy:
a) cztery razy,
b) co najwyżej raz,
c) co najmniej cztery razy.
3
Rzucamy siedem razy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo,
że otrzymamy sumę oczek podzielną przez cztery:
a) jeden raz,
b) co najwyżej dwa razy,
c) co najmniej sześć razy.
4
Z urny, w której znajdują się 4 kule białe i 6 czarnych,
losujemy pięć razy po dwie kule, zwracając za każdym razem parę wylosowanych kul do urny.
Oblicz prawdopodobieństwo, że parę kul różnego koloru otrzymamy:
a) trzy razy,
b) dwa lub trzy razy.
5
W dwunastu rzutach monetą cztery razy wypadł orzeł.
Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł w piątym rzucie tej serii rzutów.
6
W dziesięciu rzutach kostką sześć razy wypadła jedynka.
Oblicz prawdopodobieństwo, że jedynka wypadła w drugim rzucie tej serii rzutów.
Video lekcja — dostępna w abonamencie PREMIUM Zaloguj się
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
