Poradnik - Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym 〈a,b〉
Uncategorised Odsłon: 677

Poradnik

Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym 〈a,b〉 (metoda algebraiczna)

Postać ogólna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa ma postać ogólną:
f ( x ) = a x 2 + b x + c f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^(2)+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c
Aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w danym przedziale, postępujemy według następujących kroków:

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Obliczamy wartości funkcji dla krańców przedziału, czyli dla x = a x = a x=ax = ax=a i x = b x = b x=bx = bx=b.
f ( a ) oraz f ( b ) f ( a ) oraz f ( b ) f(a)quad"oraz"quad f(b)f(a) \quad \text{oraz} \quad f(b)f(a)orazf(b)

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

Współrzędną p p ppp, czyli wartość x x xxx w wierzchołku paraboli, wyznaczamy ze wzoru:
p = − b 2 a p = − b 2 a p=(-b)/(2a)p = \frac{-b}{2a}p=−b2a

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈a, b〉

Jeśli p p ppp należy do przedziału, obliczamy wartość funkcji w punkcie p p ppp, czyli q = f ( p ) q = f ( p ) q=f(p)q = f(p)q=f(p).

Krok 4: Porównanie wartości

Wybieramy największą i najmniejszą wartość spośród f ( a ) f ( a ) f(a)f(a)f(a), f ( b ) f ( b ) f(b)f(b)f(b) i q q qqq (jeśli q q qqq zostało wyznaczone).

Przykład 1: Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = 2 x 2 + x − 1 f ( x ) = 2 x 2 + x − 1 f(x)=2x^(2)+x-1f(x) = 2x^2 + x - 1f(x)=2x2+x−1 w przedziale 〈-2, 2〉.

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Obliczamy f ( − 2 ) f ( − 2 ) f(-2)f(-2)f(−2) oraz f ( 2 ) f ( 2 ) f(2)f(2)f(2).
f ( − 2 ) = 2 ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) − 1 = 8 − 2 − 1 = 5 f ( − 2 ) = 2 ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) − 1 = 8 − 2 − 1 = 5 f(-2)=2(-2)^(2)+(-2)-1=8-2-1=5f(-2) = 2(-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5f(−2)=2(−2)2+(−2)−1=8−2−1=5
f ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 + 2 − 1 = 8 + 2 − 1 = 9 f ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 + 2 − 1 = 8 + 2 − 1 = 9 f(2)=2(2)^(2)+2-1=8+2-1=9f(2) = 2(2)^2 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9f(2)=2(2)2+2−1=8+2−1=9

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

Obliczamy współrzędną p p ppp:
p = − b 2 a = − 1 4 = − 1 4 p = − b 2 a = − 1 4 = − 1 4 p=(-b)/(2a)=(-1)/(4)=-(1)/(4)p = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}p=−b2a=−14=−14

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈-2, 2〉

Sprawdzamy, czy − 1 4 − 1 4 -(1)/(4)-\frac{1}{4}−14 należy do przedziału 〈-2, 2〉. Ponieważ − 1 4 − 1 4 -(1)/(4)-\frac{1}{4}−14 leży w przedziale, obliczamy wartość f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p).
f ( − 1 4 ) = 2 ( − 1 4 ) 2 + ( − 1 4 ) − 1 = 2 ( 1 16 ) − 1 4 − 1 = 1 8 − 1 4 − 1 = − 1 1 8 f − 1 4 = 2 − 1 4 2 + − 1 4 − 1 = 2 1 16 − 1 4 − 1 = 1 8 − 1 4 − 1 = − 1 1 8 f(-(1)/(4))=2(-(1)/(4))^(2)+(-(1)/(4))-1=2((1)/(16))-(1)/(4)-1=(1)/(8)-(1)/(4)-1=-1(1)/(8)f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) - 1 = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1 = -1 \frac{1}{8}f(−14)=2(−14)2+(−14)−1=2(116)−14−1=18−14−1=−118

Krok 4: Porównanie wartości

Wybieramy największą i najmniejszą wartość spośród f ( − 2 ) = 5 f ( − 2 ) = 5 f(-2)=5f(-2) = 5f(−2)=5, f ( 2 ) = 9 f ( 2 ) = 9 f(2)=9f(2) = 9f(2)=9 oraz f ( − 1 4 ) = − 1 1 8 f − 1 4 = − 1 1 8 f(-(1)/(4))=-1(1)/(8)f\left(-\frac{1}{4}\right) = -1 \frac{1}{8}f(−14)=−118.
Ostatecznie mamy:
f max = 9 dla x = 2 f max = 9 dla x = 2 f_("max")=9quad"dla"quad x=2f_{\text{max}} = 9 \quad \text{dla} \quad x = 2fmax=9dlax=2
f min = − 1 1 8 dla x = − 1 4 f min = − 1 1 8 dla x = − 1 4 f_("min")=-1(1)/(8)quad"dla"quad x=-(1)/(4)f_{\text{min}} = -1 \frac{1}{8} \quad \text{dla} \quad x = -\frac{1}{4}fmin=−118dlax=−14

Przykład 2: Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = x 2 + 2 x − 1 f ( x ) = x 2 + 2 x − 1 f(x)=x^(2)+2x-1f(x) = x^2 + 2x - 1f(x)=x2+2x−1 w przedziale 〈2, 4〉.

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Obliczamy f ( 2 ) f ( 2 ) f(2)f(2)f(2) oraz f ( 4 ) f ( 4 ) f(4)f(4)f(4).
f ( 2 ) = ( 2 ) 2 + 2 ( 2 ) − 1 = 4 + 4 − 1 = 7 f ( 2 ) = ( 2 ) 2 + 2 ( 2 ) − 1 = 4 + 4 − 1 = 7 f(2)=(2)^(2)+2(2)-1=4+4-1=7f(2) = (2)^2 + 2(2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7f(2)=(2)2+2(2)−1=4+4−1=7
f ( 4 ) = ( 4 ) 2 + 2 ( 4 ) − 1 = 16 + 8 − 1 = 23 f ( 4 ) = ( 4 ) 2 + 2 ( 4 ) − 1 = 16 + 8 − 1 = 23 f(4)=(4)^(2)+2(4)-1=16+8-1=23f(4) = (4)^2 + 2(4) - 1 = 16 + 8 - 1 = 23f(4)=(4)2+2(4)−1=16+8−1=23

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

Obliczamy współrzędną p p ppp:
p = − b 2 a = − 2 2 = − 1 p = − b 2 a = − 2 2 = − 1 p=(-b)/(2a)=(-2)/(2)=-1p = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1p=−b2a=−22=−1

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈2, 4〉

Ponieważ p = − 1 p = − 1 p=-1p = -1p=−1 nie należy do przedziału 〈2, 4〉, nie obliczamy q q qqq.

Krok 4: Porównanie wartości

Wybieramy największą i najmniejszą wartość spośród f ( 2 ) = 7 f ( 2 ) = 7 f(2)=7f(2) = 7f(2)=7 oraz f ( 4 ) = 23 f ( 4 ) = 23 f(4)=23f(4) = 23f(4)=23.
Ostatecznie mamy:
f max = 23 dla x = 4 f max = 23 dla x = 4 f_("max")=23quad"dla"quad x=4f_{\text{max}} = 23 \quad \text{dla} \quad x = 4fmax=23dlax=4
f min = 7 dla x = 2 f min = 7 dla x = 2 f_("min")=7quad"dla"quad x=2f_{\text{min}} = 7 \quad \text{dla} \quad x = 2fmin=7dlax=2

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

(pamiętaj, że jeśli masz kłopoty z postacią iloczynową, możesz zawsze zamienić ją na postać ogólną)

Przykład 3 Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = ( x − 1 ) ( x + 3 ) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x + 3 ) f(x)=(x-1)(x+3)f(x) = (x - 1)(x + 3)f(x)=(x−1)(x+3) w przedziale 〈-4, 2〉.

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Zaczynamy od obliczenia wartości funkcji na końcach przedziału x = − 4 x = − 4 x=-4x = -4x=−4 oraz x = 2 x = 2 x=2x = 2x=2.
f ( − 4 ) = ( − 4 − 1 ) ( − 4 + 3 ) = ( − 5 ) ( − 1 ) = 5 f ( − 4 ) = ( − 4 − 1 ) ( − 4 + 3 ) = ( − 5 ) ( − 1 ) = 5 f(-4)=(-4-1)(-4+3)=(-5)(-1)=5f(-4) = (-4 - 1)(-4 + 3) = (-5)(-1) = 5f(−4)=(−4−1)(−4+3)=(−5)(−1)=5
f ( 2 ) = ( 2 − 1 ) ( 2 + 3 ) = ( 1 ) ( 5 ) = 5 f ( 2 ) = ( 2 − 1 ) ( 2 + 3 ) = ( 1 ) ( 5 ) = 5 f(2)=(2-1)(2+3)=(1)(5)=5f(2) = (2 - 1)(2 + 3) = (1)(5) = 5f(2)=(2−1)(2+3)=(1)(5)=5

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

Ponieważ funkcja jest w postaci iloczynowej, najpierw wyznaczamy miejsca zerowe: x 1 = 1 x 1 = 1 x_(1)=1x_1 = 1x1=1 oraz x 2 = − 3 x 2 = − 3 x_(2)=-3x_2 = -3x2=−3. Współrzędna p p ppp wierzchołka paraboli znajduje się w połowie drogi między miejscami zerowymi:
p = x 1 + x 2 2 = 1 + ( − 3 ) 2 = − 2 2 = − 1 p = x 1 + x 2 2 = 1 + ( − 3 ) 2 = − 2 2 = − 1 p=(x_(1)+x_(2))/(2)=(1+(-3))/(2)=(-2)/(2)=-1p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1p=x1+x22=1+(−3)2=−22=−1

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈-4, 2〉

p = − 1 p = − 1 p=-1p = -1p=−1 należy do przedziału 〈-4, 2〉, więc obliczamy wartość funkcji w punkcie p p ppp.
f ( − 1 ) = ( − 1 − 1 ) ( − 1 + 3 ) = ( − 2 ) ( 2 ) = − 4 f ( − 1 ) = ( − 1 − 1 ) ( − 1 + 3 ) = ( − 2 ) ( 2 ) = − 4 f(-1)=(-1-1)(-1+3)=(-2)(2)=-4f(-1) = (-1 - 1)(-1 + 3) = (-2)(2) = -4f(−1)=(−1−1)(−1+3)=(−2)(2)=−4

Krok 4: Porównanie wartości

Mamy teraz trzy wartości do porównania: f ( − 4 ) = 5 f ( − 4 ) = 5 f(-4)=5f(-4) = 5f(−4)=5, f ( 2 ) = 5 f ( 2 ) = 5 f(2)=5f(2) = 5f(2)=5 oraz f ( − 1 ) = − 4 f ( − 1 ) = − 4 f(-1)=-4f(-1) = -4f(−1)=−4. Wybieramy największą i najmniejszą wartość.
Ostatecznie mamy:
f max = 5 dla x = − 4 i x = 2 f max = 5 dla x = − 4 i x = 2 f_("max")=5quad"dla"quad x=-4quad"i"quad x=2f_{\text{max}} = 5 \quad \text{dla} \quad x = -4 \quad \text{i} \quad x = 2fmax=5dlax=−4ix=2
f min = − 4 dla x = − 1 f min = − 4 dla x = − 1 f_("min")=-4quad"dla"quad x=-1f_{\text{min}} = -4 \quad \text{dla} \quad x = -1fmin=−4dlax=−1

Przykład 4 Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 4 ) f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 4 ) f(x)=(x-2)(x+4)f(x) = (x - 2)(x + 4)f(x)=(x−2)(x+4) w przedziale 〈1, 5〉.

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Zaczynamy od obliczenia wartości funkcji na końcach przedziału x = 1 x = 1 x=1x = 1x=1 oraz x = 5 x = 5 x=5x = 5x=5.
f ( 1 ) = ( 1 − 2 ) ( 1 + 4 ) = ( − 1 ) ( 5 ) = − 5 f ( 1 ) = ( 1 − 2 ) ( 1 + 4 ) = ( − 1 ) ( 5 ) = − 5 f(1)=(1-2)(1+4)=(-1)(5)=-5f(1) = (1 - 2)(1 + 4) = (-1)(5) = -5f(1)=(1−2)(1+4)=(−1)(5)=−5
f ( 5 ) = ( 5 − 2 ) ( 5 + 4 ) = ( 3 ) ( 9 ) = 27 f ( 5 ) = ( 5 − 2 ) ( 5 + 4 ) = ( 3 ) ( 9 ) = 27 f(5)=(5-2)(5+4)=(3)(9)=27f(5) = (5 - 2)(5 + 4) = (3)(9) = 27f(5)=(5−2)(5+4)=(3)(9)=27

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

Wyznaczamy współrzędną p p ppp tak samo jak poprzednio, korzystając z miejsc zerowych x 1 = 2 x 1 = 2 x_(1)=2x_1 = 2x1=2 oraz x 2 = − 4 x 2 = − 4 x_(2)=-4x_2 = -4x2=−4.
p = x 1 + x 2 2 = 2 + ( − 4 ) 2 = − 2 2 = − 1 p = x 1 + x 2 2 = 2 + ( − 4 ) 2 = − 2 2 = − 1 p=(x_(1)+x_(2))/(2)=(2+(-4))/(2)=(-2)/(2)=-1p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1p=x1+x22=2+(−4)2=−22=−1

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈1, 5〉

p = − 1 p = − 1 p=-1p = -1p=−1 nie należy do przedziału 〈1, 5〉, więc nie obliczamy q q qqq.

Krok 4: Porównanie wartości

Porównujemy wartości f ( 1 ) = − 5 f ( 1 ) = − 5 f(1)=-5f(1) = -5f(1)=−5 oraz f ( 5 ) = 27 f ( 5 ) = 27 f(5)=27f(5) = 27f(5)=27.
Ostatecznie mamy:
f max = 27 dla x = 5 f max = 27 dla x = 5 f_("max")=27quad"dla"quad x=5f_{\text{max}} = 27 \quad \text{dla} \quad x = 5fmax=27dlax=5
f min = − 5 dla x = 1 f min = − 5 dla x = 1 f_("min")=-5quad"dla"quad x=1f_{\text{min}} = -5 \quad \text{dla} \quad x = 1fmin=−5dlax=1

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

(pamiętaj, że jeśli masz kłopoty z postacią kanoniczną, możesz zawsze zamienić ją na postać ogólną)

Przykład 5 Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = 2 ( x − 1 ) 2 − 3 f ( x ) = 2 ( x − 1 ) 2 − 3 f(x)=2(x-1)^(2)-3f(x) = 2(x - 1)^2 - 3f(x)=2(x−1)2−3 w przedziale 〈0, 3〉.

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Zaczynamy od obliczenia wartości funkcji na końcach przedziału x = 0 x = 0 x=0x = 0x=0 oraz x = 3 x = 3 x=3x = 3x=3.
f ( 0 ) = 2 ( 0 − 1 ) 2 − 3 = 2 ( 1 ) − 3 = 2 − 3 = − 1 f ( 0 ) = 2 ( 0 − 1 ) 2 − 3 = 2 ( 1 ) − 3 = 2 − 3 = − 1 f(0)=2(0-1)^(2)-3=2(1)-3=2-3=-1f(0) = 2(0 - 1)^2 - 3 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1f(0)=2(0−1)2−3=2(1)−3=2−3=−1
f ( 3 ) = 2 ( 3 − 1 ) 2 − 3 = 2 ( 2 ) 2 − 3 = 2 ( 4 ) − 3 = 8 − 3 = 5 f ( 3 ) = 2 ( 3 − 1 ) 2 − 3 = 2 ( 2 ) 2 − 3 = 2 ( 4 ) − 3 = 8 − 3 = 5 f(3)=2(3-1)^(2)-3=2(2)^(2)-3=2(4)-3=8-3=5f(3) = 2(3 - 1)^2 - 3 = 2(2)^2 - 3 = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5f(3)=2(3−1)2−3=2(2)2−3=2(4)−3=8−3=5

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

W postaci kanonicznej współrzędna p p ppp jest wyraźnie widoczna jako liczba stojąca obok x x xxx w nawiasie. Tutaj p = 1 p = 1 p=1p = 1p=1.

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈0, 3〉

p = 1 p = 1 p=1p = 1p=1 należy do przedziału 〈0, 3〉, więc obliczamy wartość funkcji w punkcie p p ppp.
f ( 1 ) = 2 ( 1 − 1 ) 2 − 3 = 2 ( 0 ) − 3 = − 3 f ( 1 ) = 2 ( 1 − 1 ) 2 − 3 = 2 ( 0 ) − 3 = − 3 f(1)=2(1-1)^(2)-3=2(0)-3=-3f(1) = 2(1 - 1)^2 - 3 = 2(0) - 3 = -3f(1)=2(1−1)2−3=2(0)−3=−3

Krok 4: Porównanie wartości

Mamy trzy wartości: f ( 0 ) = − 1 f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1f(0) = -1f(0)=−1, f ( 3 ) = 5 f ( 3 ) = 5 f(3)=5f(3) = 5f(3)=5 oraz f ( 1 ) = − 3 f ( 1 ) = − 3 f(1)=-3f(1) = -3f(1)=−3. Porównujemy je.
Ostatecznie mamy:
f max = 5 dla x = 3 f max = 5 dla x = 3 f_("max")=5quad"dla"quad x=3f_{\text{max}} = 5 \quad \text{dla} \quad x = 3fmax=5dlax=3
f min = − 3 dla x = 1 f min = − 3 dla x = 1 f_("min")=-3quad"dla"quad x=1f_{\text{min}} = -3 \quad \text{dla} \quad x = 1fmin=−3dlax=1

Przykład 6 Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = − ( x + 2 ) 2 + 4 f ( x ) = − ( x + 2 ) 2 + 4 f(x)=-(x+2)^(2)+4f(x) = -(x + 2)^2 + 4f(x)=−(x+2)2+4 w przedziale 〈0, 3〉.

Krok 1: Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału

Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału x = 0 x = 0 x=0x = 0x=0 oraz x = 3 x = 3 x=3x = 3x=3.
f ( 0 ) = − ( 0 + 2 ) 2 + 4 = − ( 2 ) 2 + 4 = − 4 + 4 = 0 f ( 0 ) = − ( 0 + 2 ) 2 + 4 = − ( 2 ) 2 + 4 = − 4 + 4 = 0 f(0)=-(0+2)^(2)+4=-(2)^(2)+4=-4+4=0f(0) = -(0 + 2)^2 + 4 = -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0f(0)=−(0+2)2+4=−(2)2+4=−4+4=0
f ( 3 ) = − ( 3 + 2 ) 2 + 4 = − ( 5 ) 2 + 4 = − 25 + 4 = − 21 f ( 3 ) = − ( 3 + 2 ) 2 + 4 = − ( 5 ) 2 + 4 = − 25 + 4 = − 21 f(3)=-(3+2)^(2)+4=-(5)^(2)+4=-25+4=-21f(3) = -(3 + 2)^2 + 4 = -(5)^2 + 4 = -25 + 4 = -21f(3)=−(3+2)2+4=−(5)2+4=−25+4=−21

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej p p ppp wierzchołka paraboli

W postaci kanonicznej współrzędna p p ppp wynika z przesunięcia funkcji. Tutaj p = − 2 p = − 2 p=-2p = -2p=−2.

Krok 3: Sprawdzenie, czy p p ppp należy do przedziału 〈0, 3〉

Ponieważ p = − 2 p = − 2 p=-2p = -2p=−2 nie należy do przedziału 〈0, 3〉, nie obliczamy wartości q q qqq.

Krok 4: Porównanie wartości

Porównujemy wartości (f(0) =
0) oraz f ( 3 ) = − 21 f ( 3 ) = − 21 f(3)=-21f(3) = -21f(3)=−21.
Ostatecznie mamy:
f max = 0 dla x = 0 f max = 0 dla x = 0 f_("max")=0quad"dla"quad x=0f_{\text{max}} = 0 \quad \text{dla} \quad x = 0fmax=0dlax=0
f min = − 21 dla x = 3 f min = − 21 dla x = 3 f_("min")=-21quad"dla"quad x=3f_{\text{min}} = -21 \quad \text{dla} \quad x = 3fmin=−21dlax=3

Related Articles

Wartość bezwzględna

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA