1. \(y=\left\{\begin{array}{l}0 \text { dla } 0 \leqslant x \leqslant 1000 \\ \frac{1}{5} x-200 \text { dla } 1000<x \leqslant 11000 \\ \frac{3}{10} x-1300 \text { dla } x>11000\end{array}\right.\)
2. Rozwiązaniem danego układu równań jest dokładnie jedna para liczb \(x=\frac{m^{2}+m-2}{m^{2}+4}\), \(y=\frac{-3 m-2}{2\left(m^{2}+4\right)}\) dla dowolnej wartości parametru \(m\). Warunki \(x>0\) i \(y<0\) są spełnione dla \(m \in(1 ;+\infty)\).
3. 150 zl .Wskazówka. Zależność zysku od ustalonej ceny aparatu można opisać wzorem
\[
f(n)=(40+n)(160-n)-(40+n) \cdot 100=-n^{2}+20 n+2400, \text { gdzie } n \in N_{+} \mathrm{i} n<60
\]
4. a) \(m \in(-1 ; 1-\sqrt{2}) \cup(1 ; 1+\sqrt{2})\).
b) \(y=x+\frac{3}{4}\) i \(y=-x+\frac{3}{4}\).
5. a) \(m \in\left(0 ; \frac{1}{5}\right) \cup(1 ; 2)\).
b) \(m \in\{0,3,4\}\).
6. \(m \in(9 ;+\infty)\).
7. \(m \in\left(-\frac{1}{2} ; 0\right\rangle \cup\{4\}\).
Wskazówka. Równanie \(m x^{4}-(m+2) x^{2}+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0\) ma dwa rozwiązania, gdy równanie \(m t^{2}-(m+2) t+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0\), gdzie \(t \geqslant 0\left(t=x^{2}\right)\), ma jedno rozwiązanie dodatnie.
8. \(m \in\left\langle-\frac{13}{3} ;-3\right) \cup\left(\frac{7}{3} ;+\infty\right)\).
Wskazówka. Wielomian \(W\) można zapisać w postaci
\[
W(x)=(x+1)\left((m-4) x^{2}-(2 m+2) x+m+3\right)
\]
9. \(a=-7, b=14, c=-8, x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4\).
10. \(m \in(2 ; 3)\).
11. a) \(m \in(-\infty ;-2) \cup(2 ;+\infty)\).
12. a) \(a_{3}\).
b) \(a_{1}<1, a_{2}<1, a_{3}>1, a_{4}<1, a_{5}<1, a_{6}>1\).
c) \(x \in\left\langle 2^{0,1} ; 2\right\rangle \cup\left\{\log _{\pi} 3\right\}\).
13. a) \(x \in(-\infty ; 3\rangle\).
b) Wskazówka. Rozważmy nierówność
\[
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c)-f(2 a)-f(2 b)-f(2 c) \leqslant 0
\]
Korzystając z równości \(f(x)=\frac{1}{x}\), przekształcamy lewą stronę:
\[
\begin{gathered}
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c)-f(2 a)-f(2 b)-f(2 c)= \\
=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}-\frac{1}{2 a}-\frac{1}{2 b}-\frac{1}{2 c}= \\
=\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{4 a}-\frac{1}{4 b}\right)+\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{4 a}-\frac{1}{4 c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{4 b}-\frac{1}{4 c}\right)= \\
=\frac{-(a-b)^{2}}{4 a b(a+b)}+\frac{-(a-c)^{2}}{4 a c(a+c)}+\frac{-(b-c)^{2}}{4 b c(b+c)}= \\
=-\left(\frac{(a-b)^{2}}{4 a b(a+b)}+\frac{(a-c)^{2}}{4 a c(a+c)}+\frac{(b-c)^{2}}{4 b c(b+c)}\right) \leqslant 0 .
\end{gathered}
\]
14. Rozwiązaniem równania jest \(x=0\). Ponieważ rozwiązanie to należy do zbiorów \(A\) i \(B\), więc należy ono także do zbioru \(A \cap B\).
Uwaga. Zauważ, że nie jest konieczne wyznaczanie zbioru \(A \cap B\).
15. \(A=\langle-2 ;+\infty), B=(1 ; 2), C=(-2 ; 2)\).
a) \((A \backslash B) \cap(A \cup B)=A \backslash B=\langle-2 ; 1\rangle \cup\langle 2 ;+\infty)\).
b) \((A \backslash B) \cap C=(-2 ; 1\rangle\).
Wskazówka. Sprawdź, że \(2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\), następnie w nierówności podstaw \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=t\) \((t>0)\).
16. \(A=(-\infty ; 6), \quad B=(2 ;+\infty), \quad A \cap B=(2 ; 6)\).
17. a) \(p=\frac{5}{12}, \quad A=\left(-\infty ; \frac{7}{3}\right) \cup\left(\frac{17}{2} ;+\infty\right), B=\left(-1 ; \frac{4}{5}\right\rangle \cup(1 ;+\infty), \quad C=(2 ; 3) \cup(3 ; 4)\).
b) \(2,6,7,8,9,10\).
18. \(A=(-3 ;-1) \cup(1 ;+\infty), B=\left(\frac{9}{2} ; 5\right), \quad C=\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi ; \frac{3}{2} \pi\right), \quad(B \cup C) \cap A=\left(1 ; \frac{\pi}{2}\right) \cup(\pi ; 5)\). Spośród liczb naturalnych tylko liczby 4 i 5 należą do zbioru \((B \cup C) \cap A\).
19. \(A=(-\infty ; 2\rangle, \quad B=\left\langle 0 ; \frac{\pi}{3}\right\rangle \cup\left\langle\pi ; \frac{5 \pi}{3}\right\rangle \cup\{2 \pi\}, \quad C=\langle-2 \sqrt{2} ; 2 \sqrt{2}\rangle, \quad A \cap B \cap C=\left\langle 0 ; \frac{\pi}{3}\right\rangle\).
20. a) \(x \in(-2 ;-1) \cup(2 ;+\infty)\).
b) Wskazówka. Przekształć lewą stronę nierówności tak, aby oba logarytmy miały tę samą podstawe.
21. Należy dodać 10 wyrazów ( \(a_{1}=-4, a_{3}=2\) ).
22. \(a_{n}=-\frac{5}{2} n+\frac{11}{2}, a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{21}=-242 \quad(x=0)\).
23. Szesnastego dnia podróży pana \(A\).
24. a) \(a_{31}=108\).
b) \(a_{n+1}-a_{n}=4\).
c) \(a_{2}, a_{3}, a_{4}\) lub \(a_{4}, a_{5}, a_{6}\) lub \(a_{6}, a_{7}, a_{8}\).
25. a) \(a_{n}=3 n-5\).
b) \(k=2\).
c) \(n=13\).
26. a) \(a_{n}=-\frac{2}{5} n+\frac{1}{2}, \quad b_{n}=5 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).
b) \(c_{1}=567\).
Wskazówka. Zauważ, że \(c_{2}-c_{1}=a_{1}, c_{3}-c_{2}=a_{2}, \ldots, c_{55}-c_{54}=a_{54}\). Po dodaniu stronami tych równości otrzymamy \(-c_{1}+c_{55}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{54}\).
27. a) 16 boków.
b) Wskazówka.
\[
\begin{aligned}
& a_{1}-\binom{n}{1} a_{2}+\binom{n}{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{k+1}+\ldots+(-1)^{n} a_{n+1}= \\
& =a_{1}-\binom{n}{1}\left(a_{1}+r\right)+\binom{n}{2}\left(a_{1}+2 r\right)+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k}\left(a_{1}+k r\right)+\ldots+(-1)^{n}\left(a_{1}+n r\right)= \\
& =\left[a_{1}-\binom{n}{1} a_{1}+\binom{n}{2} a_{1}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{1}+\ldots+(-1)^{n} a_{1}\right]+ \\
& \quad+r\left[0-\binom{n}{1} \cdot 1+\binom{n}{2} \cdot 2+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} \cdot k+\ldots+(-1)^{n} \cdot n\right]=
\end{aligned}
\]
(Wykorzystując równość \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{n}{k}\) dla \(k: 0<k<n\).)
\[
\begin{aligned}
= & a_{1}(1-1)^{n}+r\left[0-\binom{n-1}{0} \cdot n+\binom{n-1}{1} \cdot \frac{n}{2} \cdot 2+\ldots\right. \\
& \left.\quad+(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{n}{k} \cdot k+\ldots+(-1)^{n}\binom{n-1}{n-1} \cdot \frac{n}{n} \cdot n\right]= \\
= & a_{1} \cdot 0+r n\left[-\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}-\binom{n-1}{2}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1}+\ldots+(-1)^{n}\binom{n-1}{n-1}\right]= \\
= & -r n(1-1)^{n-1}=0
\end{aligned}
\]
28. a) \(p=2\).
b) \(x=-\frac{1}{4}\).
Wskazówka. Pamiętaj o warunku \(\left|\frac{1}{1-x}\right|<1\).
29. a) \(A=(-\infty ; 2\rangle, B=(-4 ; 6), \quad A \cap B=(-4 ; 2\rangle, A \backslash B=(-\infty ;-4\rangle\).
b) \(D=\left(\frac{1}{27} ; \frac{1}{3}\right\rangle, D \subset(A \cap B), \quad[(A \cap B) \backslash D]^{\prime}=(-\infty ;-4\rangle \cup\left(\frac{1}{27} ; \frac{1}{3}\right\rangle \cup(2 ;+\infty)\).
Wskazówka. Zauważ, że ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=2-\log _{\frac{1}{3}} x\). Ciąg geometryczny jest zbieżny, gdy \(|q|<1\) lub \(q=1\).
30. a) \(a=6\).
c) Równanie \(f(x)=k\) ma jedno rozwiązanie dla \(k \in(-\infty ;-1) \cup(12,5 ;+\infty)\), ma dwa rozwiązania dla \(k=-1\) i dla \(k=12,5\), ma trzy rozwiązania dla \(k \in(-1 ; 12,5)\).
31. \(k=3, n=-4\).
32. Rozważane styczne mają równania \(y=x\) i \(y=-x\).
33. a) \(a=1, b=4\).
b) \(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}\) dla \(x \in R \backslash\{-2,2\}\).
c) \(y=\frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\) i \(y=-\frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\).
d) \(y=1, x=-2\) i \(x=2\).
34. \(a=0, b=2\).
Równanie \(f(x)=x^{2}+m\) ma dwa rozwiązania dla \(m \in(-2 ;+\infty)\), ma trzy rozwiązania dla \(m=-2\), ma cztery rozwiązania dla \(m \in(-\infty ;-2)\).
Wskazówka. Równanie \(f(x)=x^{2}+m\) można przekształcić do postaci \(\frac{-x^{4}+x^{2}+2}{x^{2}-1}=m\). Naszkicuj wykres funkcji \(g(x)=\frac{-x^{4}+x^{2}+2}{x^{2}-1}\).
35. \(f(x)=x^{3}-6 \sqrt{3} x^{2}+24 x\) dla \(x \in R\),
\(f(0)=f(2 \sqrt{3})=f(4 \sqrt{3})=0\),
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\),
\(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12 \sqrt{3} x+24\) dla \(x \in R\),
funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 2 \sqrt{3}-2)\)
oraz \((2 \sqrt{3}+2 ;+\infty)\),
funkcja jest malejąca w przedziale \((2 \sqrt{3}-2 ; 2 \sqrt{3}+2)\),
\(y_{\text {min }}=f(2 \sqrt{3}+2)=-16\),
\(y_{\max }=f(2 \sqrt{3}-2)=16\).
36. a) \(f(x)=\frac{4 x}{x^{2}+1}\) dla \(x \in R\), funkcja jest nieparzysta, \(f(0)=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0\), prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{-4 x^{2}+4}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle-1 ; 1\rangle\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty ;-1\rangle\) oraz \(\langle 1 ;+\infty), y_{\max }=f(1)=2\), \(y_{\text {min }}=f(-1)=-2\).
b) \(a \in(-\infty ;-2\rangle \cup\langle 2 ;+\infty)\).
37. \(f(x)=\frac{4 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-2 x}\) dla \(x \in R \backslash\{0,2\}\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0\),
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=4\),
\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty\),
\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty\),
prosta \(y=4\) jest asymptotą poziomą,
proste \(x=0\) i \(x=2\) są asymptotami pionowymi, \(f^{\prime}(x)=\frac{-6 x+6}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{0,2\}\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 0)\) oraz \((0 ; 1)\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((1 ; 2)\) oraz \((2 ;+\infty)\),
\(y_{\text {max }}=f(1)=1\) 。
38. a) \(f(x)=\frac{4 x^{2}-3 x-1}{4 x^{2}+1}\) dla \(x \in R, f(0)=-1, f\left(-\frac{1}{4}\right)=f(1)=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\), prosta \(y=1\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{12 x^{2}+16 x-3}{\left(4 x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)\) oraz \(\left(\frac{1}{6} ;+\infty\right)\), funkcja jest malejąca w przedziale \(\left(-\frac{3}{2} ; \frac{1}{6}\right)\), \(y_{\max }=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{4}, y_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{5}{4}\).
b) \(m \in(-\infty ;-1\rangle \cup\langle 1 ;+\infty)\).
Wskazówka. Naszkicuj wykres funkcji \(y=f(|x|-1)\).
39. \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{x-1}\) dla \(x \in R \backslash\{1\}, f(0)=f(3)=0\), \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\), \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=-\infty\), prosta \(x=1\) jest asymptotą pionowa, \(f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x+3}{(x-1)^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{1\}\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 1)\) oraz \((1 ;+\infty)\).
Dla \(x=-4\) funkcja \(f\) osiąga w przedziale \(\left\langle-4 ; \frac{1}{2}\right\rangle\) wartość najmniejszą, równą \(-\frac{28}{5}\), dla \(x=\frac{1}{2}\) funkcja
ta osiąga wartość największą, równą \(\frac{5}{2}\).
40. a) \(m \in(-\infty ; 0) \cup\left(0 ; \frac{1}{4}\right)\).
b) Dla \(m=\frac{1}{8}\) funkcja \(f\) osiąga ekstremum i jest to maksimum.
c) \(f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{0\}, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty\), \(f(1)=0\), prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą, prosta \(x=0\) jest asymptotą pionową, \(f^{\prime}(x)=\) \(=\frac{2-x}{x^{3}}\) dla \(x \in R \backslash\{0\}\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((0 ; 2)\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty ; 0)\) oraz \((2 ;+\infty), y_{\max }=f(2)=\frac{1}{4}\).
41. \(f(x)=-\frac{(1-x)^{2}}{x^{2}-2 x}\) dla \(x \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty), \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty\), proste \(x=0\) oraz \(x=2\) są asymptotami pionowymi (jednostronnymi), \(f^{\prime}(x)=\frac{2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\) dla \(x \in(-\infty ; 0) \cup\) \((2 ;+\infty)\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((2 ;+\infty)\), funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty ; 0)\). Funkcja zdefiniowana w zadaniu za pomocą szeregu nie posiada minimum w swojej dziedzinie.
42. \(f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}\) dla \(x \in R\), funkcja jest parzysta, \(f(0)=2, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\), prosta \(y=1\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{-2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty ; 0)\), funkcja jest malejąca w przedziale \((0 ;+\infty), y_{\max }=f(0)=2\).
43. a)
b) \(P=\frac{40}{3} \pi+5 \sqrt{3}\).
44. a) \(y=x-\frac{45}{4}\).
b) \(P_{\triangle A B W}=3\).
45. a) \(C=(1,6)\) lub \(C=(7,-6)\).
b) Szukane punkty tworzą prostokąt o wierzchołkach: \(C_{1}=(3,-8), C_{2}=(7,-6), C_{3}=(-3,4)\) i \(C_{4}=(1,6)\). Stosunek pola tego prostokąta do pola dowolnego z trójkątów \(A B C_{i}(i=1,2,3,4)\) jest równy 2 .
Wskazówka. Możesz skorzystać z iloczynu skalarnego \(\overrightarrow{C A} \circ \overrightarrow{C B}=|C A| \cdot|C B| \cdot \cos |\Varangle A C B|\) oraz ze wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}|C A| \cdot|C B| \cdot \sin |\Varangle A C B|\).
46. \(D=(-6,3), \quad A=(-7,5), \quad B=(-4,1)\).
47. \(P=(0,-2), \quad P=\left(\frac{32}{17},-\frac{26}{17}\right)\) lub \(P=(4,2)\).
48. \(\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}\).
49. a) \((x+3)^{2}+(y-4)^{2}=100\).
b) \(P_{\triangle A B S}=50\).
c) \(P=25(2-\sqrt{2})^{2} \pi=50(3-2 \sqrt{2}) \pi\).
50. a) \(2 x+y-4=0\) i \(2 x+y+6=0\).
b) \(P_{\triangle A B S}=10 \quad(A=(0,4), B=(-2,-2), S=(1,-3))\).
51. a) Wskazówka. Sprawdź, że odległość środka danego okręgu od prostej \(k\) jest równa promieniowi tego okręgu.
b) \((x+2)^{2}+(y-2)^{2}=25\).
c) \((1,3),(-1,-1),(3,-3),(5,1)\).
52. a) \((x-4)^{2}+(y-1)^{2}=8\).
b) \(R=(6,-1)\).
c) Styczne do danego okręgu w punktach \(P\) i \(R\) są równoległe, a styczna do okręgu w punkcie \(Q\) jest do nich prostopadła.
53. \((x+4)^{2}+(y-5)^{2}=5 \quad(S=(2,4), T=(6,6))\).
54. a) \(\left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right),\left(-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right),\left(-\frac{10}{3},-\frac{10}{3}\right),\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right)\).
b) \(P(x)=\frac{2 \sqrt{2} x^{2}}{\sqrt{x^{2}-32}}\) dla \(x \in(4 \sqrt{2} ;+\infty)\).
55. a) Prosta \(l\) ma równanie \(2 x+y-4 p=0\). \(P_{\triangle A O B}=4 p^{2}\).
Wskazówka. Pole rozważanych trójkątów \(A O B\) można opisać wzorem \(P(a)=\frac{a^{2} p}{a-p}\), gdzie \(a \in(p ;+\infty)\) oznacza pierwszą współrzędną punktu przecięcia prostej \(l\) z osią \(x\). Pole to jest najmniejsze dla \(a=2 p\).
b) \(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{4 p^{2}}{2 p^{2}}=2\).
Wskazówka. Pole rozważanego prostokąta można opisać wzorem \(P(x)=4 p x-2 x^{2}\), gdzie \(x \in(0 ; 2 p)\) oznacza pierwszą współrzędną tego z wierzchołków prostokąta, który leży na prostej \(A B\). Pole to jest największe dla \(x=p\).
56. a) \(\left|A B_{1}\right|=\frac{\sqrt{14}}{4} r,\left|A B_{2}\right|=\frac{\sqrt{14}}{2} r\).
b) \(P_{\triangle A B_{1} C}=\frac{3 \sqrt{7}}{32} r^{2}, P_{\triangle A B_{2} C}=\frac{6 \sqrt{7}}{32} r^{2}, \frac{P_{\triangle A B_{1} C}}{P_{\triangle A B_{2} C}}=\frac{1}{2}\).
57. \(\cos \alpha=\sqrt{2}-1\).
58. \(\frac{2}{5}\) (boki trójkąta mają długości 6,8 i 10).
59. a) \(|B C|=8\).
b) \(\frac{16}{5}\).
60. a) \(\operatorname{tg}\left|\Varangle A C C_{1}\right|=\frac{\sqrt{3}}{5}\).
b) \(\frac{5 \sqrt{7}-7}{14}\).
c) Wskazówka. Wykaż, że trójkąt \(P Q R\) jest równoboczny o boku \(\frac{\sqrt{7}}{7} a\).
61. \(\frac{P_{\square A B C D}}{P_{\square D K B P}}=\frac{5}{3}\).
62. \(\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{13}}{13}\).
63. a) \(V=\frac{a^{3}}{8 \sin \alpha} \sqrt{3\left(3-4 \sin ^{2} \alpha\right)}, \quad P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3 \sqrt{3-4 \sin ^{2} \alpha}}{2 \sin \alpha}\right) a^{2}\).
b) \(60^{\circ}\).
c) \(P=\frac{5}{3} \pi a^{2}\).
64. a) 36 kulek.
b) Na pudełko, w którym jest jedna warstwa z 6 kulkami.
c) Pudełko o podstawie prostokąta.
65. \(V=\frac{d^{2} \sin ^{2} \beta}{\sin ^{2} \alpha} \sqrt{\sin ^{2} \alpha-2 \sin ^{2} \beta(1-\cos \alpha)}\).
66. \(P=4 S-\frac{1-\cos \alpha+2 \sqrt{\cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}}{1-\cos \alpha+2 \sqrt{\cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}+\sin \alpha}\).
67. a) \(V=288 \sqrt{3}\).
b) \(\cos \alpha=\frac{7}{8}\).
68. a) \(V=\frac{32}{27} \sqrt{3}, \quad P=\frac{8}{3}(\sqrt{3}+3)\).
b) \(P=\frac{16}{3}(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})\).
Wskazówka. Trójkąt, którego ramionami są wysokości ścian bocznych, jest równoboczny; długość jego boku jest równa połowie długości krawędzi podstawy ostroslupa.
69. a) \(k=\frac{2 \sqrt{3}}{3} . \quad P=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{13})}{4} a^{2}, \quad V=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}\).
b) Dla \(k \in\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ;+\infty\right)\) rozważany kąt jest ostry, a dla \(k \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) jest rozwarty. Nie istnieje wartość \(k\), dla której ten kąt ma \(59^{\circ}\).
Wskazówka. Cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa można przedstawić w postaci \(\cos \alpha=\frac{2 k^{2}-1}{4 k^{2}-1}\), gdzie \(k \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ;+\infty\right)\).
70. \(V=\frac{32 \sqrt{6}}{3} \mathrm{dm}^{3}, \quad P=(16+16 \sqrt{7}) \mathrm{dm}^{2}\).
71. \(\frac{4+\sqrt{3}}{8+\sqrt{19}}\).
72. \(V=\frac{4}{3} R^{3} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} \frac{1+\cos \alpha}{\cos \alpha}, \quad P=4 R^{2} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} \frac{1+\cos \alpha}{\cos \alpha}\).
73. \(V=\frac{1}{27} \pi H a^{2}\).
Wskazówka. Objętość rozważanego walca można opisać wzorem \(V(r)=\pi H\left(r^{2}-\frac{1}{a} r^{3}\right)\), gdzie \(r \in\left(0 ; \frac{1}{2} a\right)\) oznacza promień podstawy walca. Objętość ta jest największa dla \(x=\frac{1}{3} a\).
74. Objętość rozważanego ostrosłupa jest równa \(V \sin \alpha \frac{1+\cos \alpha}{3 \pi}\).
75. \(\frac{4}{3} R\).
Wskazówka. Objętość rozważanego ostrosłupa można opisać wzorem \(V(h)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(2 R h^{2}-h^{3}\right)\), gdzie \(h \in(0 ; 2 R)\) oznacza wysokość ostrosłupa.
76. \(\frac{2 \sin ^{2}(\alpha+\beta)}{\sin \beta \cos \alpha \sin 2 \alpha}\).
77. \(\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{6} \pi\).
Wskazówka. Pojemność rozważanego naczynia można opisać wzorem \(V(\alpha)=\frac{250}{3 \pi} \alpha^{2} \sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{4 \pi^{2}}}\), gdzie \(\alpha \in(0 ; 2 \pi)\).
78. \(V=\frac{16}{9}\).
Wskazówka. Objętość rozważanego graniastosłupa można opisać wzorem \(V(x)=6 x^{2}-3 \sqrt{2} x^{3}\), gdzie \(x \in(0 ; \sqrt{2})\) oznacza połowę przekątnej podstawy graniastosłupa. Objętość ta jest największa dla \(r=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\).
79. a) \(P=3 \sqrt{15}\).
b) \(P=12 \sqrt{15} \pi, \quad V=30 \pi\).
c) \(31+10+46=87\).
Wskazówka. Możesz skorzystać z twierdzenia cosinusów.
80. \(P(A)=\frac{3}{9^{3}} \approx 0,004, P(B \backslash C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}=\frac{1}{162} \approx 0,006\).
81. \(\Omega=\{(p, q): p, q \in\{1,2,3,4,5,6\}\}\).
a) \(P(A)=\frac{15}{36} \approx 0,42, P(B)=\frac{9}{36}=0,25, P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\) \(=\frac{15}{36}+\frac{9}{36}-\frac{1}{36}=\frac{23}{36} \approx 0,64\).
b) Zdarzenia \(A\) i \(B\) nie są niezależne.
82. \(\frac{\binom{8}{2}}{\binom{24}{2}} \cdot 1+\frac{\binom{8}{1}\binom{16}{1}}{\binom{24}{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
83. a) \(\frac{1}{9}\).
b) \(\frac{2}{9}\).
Wskazówka. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wyraża wzór \(\frac{n}{4+n} \cdot \frac{5}{20}\), a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej — wzór \(\frac{n}{4+n} \cdot \frac{2}{10}\).
84. a) \(P(A)=\frac{4}{9}, P(B)=\frac{5}{9}\).
b) Jedną lub dziesięć.
Wskazówka. Gdy losujemy kule bez zwracania, prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe \(\frac{\binom{10}{1}\binom{5+n}{1}}{\binom{15+n}{2}}\), a zdarzenia \(B\) wynosi \(\frac{\binom{10}{2}+\binom{5+n}{2}}{\binom{15+n}{2}}\), gdzie \(n\) oznacza liczbę czarnych kul, które należy dołożyć do urny.
85. Wojtek.
Wskazówka. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych przez Marka jest równe \(\frac{1}{3} \cdot \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}+\frac{2}{3} \cdot \frac{\binom{3}{2}}{\binom{10}{2}}\), a przez Wojtka wynosi \(\frac{\binom{9}{2}}{\binom{20}{2}}\).
86. Większe jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych, jeśli wylosowane kule zatrzymujemy; wynosi ono \(\binom{3}{2}\left(\frac{3}{8}\right)^{2} \cdot \frac{5}{8}<\frac{\binom{3}{2}\binom{5}{1}}{\binom{8}{3}}\).
87. a) \(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{60}\).
b) \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \cdot \frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}}=\frac{13}{30}\)
88. a) 6 kul białych.
b) \(\frac{\binom{4}{2} \cdot\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=0,3\).
c) \(\frac{1}{2}\).
Wskazówka. \(P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{5}\right)+P\left(A_{6}\right)=\)
\[
=\binom{10}{5}\left(\frac{6}{10}\right)^{5}\left(\frac{4}{10}\right)^{5}+\binom{10}{5}\left(\frac{5}{10}\right)^{5}\left(\frac{5}{10}\right)^{5}+\binom{10}{5}\left(\frac{4}{10}\right)^{5}\left(\frac{6}{10}\right)^{5} \approx 0,65
\]
89. Dwa.
Wskazówka. Prawdopodobieństwo złożenia jednokolorowego półkola wynosi \(\frac{\binom{4 n}{2}+2\binom{4}{2}}{\binom{4 n+8}{2}}\), gdzie \(n \in N_{+}\)oznacza liczbę kółek niebieskich.
90. a) \(\frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{2}{10}+\frac{\binom{2}{1} \cdot\binom{10}{1}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{1}{10}+\frac{\binom{2}{2}}{\binom{12}{2}} \cdot 0=\frac{110}{660} \approx 0,17\).
b) \(\frac{\binom{2}{1}\binom{10}{1}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{1}{10}=\frac{2}{66} \approx 0,03\).
91. \(P(C)<P(B)<P(A)<P(D)\).
Wskazówka.
\[
\begin{gathered}
P(A)=1-\binom{6}{0}\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{5}{6}\right)^{6}, \quad P(B)=\binom{6}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \\
P(C)=\binom{6}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\binom{6}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}, \quad P(D)=1-\binom{6}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}
\end{gathered}
\]
92. \(\binom{3}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \frac{\binom{6}{3}+\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}}+\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right) \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{5}{24} \approx 0,21\).
93. a) 6 oczek.
b) \(1-\binom{3}{0}\left(\frac{1}{9}\right)^{0}\left(\frac{8}{9}\right)^{3}=\frac{217}{729} \approx 0,3\).
94. a) \(\Omega=\left\{\left(\left(s_{i}, s_{j}\right) ; w_{k}\right): s_{i}, s_{j}\right.\) - środki krawędzi, \(w_{k}\) - wierzchołek, \(i, j \in\{1,2,3,4,5,6\}\), \(i \neq j, k \in\{1,2,3,4\}\}, \quad \overline{\bar{\Omega}}=\binom{6}{2} \cdot\binom{4}{1}=60\).
b) \(\frac{36}{60}=0,6\).
95. a) \(\frac{20}{100} \cdot \frac{40}{100}=0,08\).
b) \(\frac{60}{100} \cdot \frac{70}{100}+\frac{40}{100} \cdot \frac{20}{100}=0,5\).
c) \(\frac{0,08}{0,5}=0,16\).
