Niezależność zdarzeń - video lekcja
Rachunek prawdopodobieństwa - video lekcje Odsłon: 3163

Prawdopodobieństwo — Zdarzenia niezależne

Wszystko o zdarzeniach niezależnych: definicja, kryteria oraz wskazówki do zadań.

Teoria

Co to znaczy: zdarzenia niezależne?
Zdarzenia \(A\) i \(B\) nazywamy (w sensie klasycznym) niezależnymi, gdy zajście jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego. W praktyce oznacza to, że informacja „zaszło \(A\)” nie zmienia szans na „zajdzie \(B\)” i odwrotnie.
Najważniejsze kryterium niezależności
Zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\]
To jest najczęściej używane kryterium w zadaniach maturalnych.
Równoważne zapisy (gdy \(P(B)>0\))
Jeżeli \(P(B)>0\), to niezależność można rozpoznać także po tym, że:
\[P(A\mid B)=P(A).\]
Analogicznie (gdy \(P(A)>0\)):
\[P(B\mid A)=P(B).\]
Uwaga praktyczna
  • Niezależność to nie to samo co rozłączność.
  • Zdarzenia rozłączne (gdy \(A\cap B=\varnothing\)) przy dodatnich prawdopodobieństwach zwykle są zależne, bo wtedy \(P(A\cap B)=0\).
  • W zadaniach z kartami: wygodnie liczyć \(P(A)\), \(P(B)\) i \(P(A\cap B)\) metodą zliczania.
Schemat działania w zadaniach
  • Wyznacz \(P(A)\) i \(P(B)\).
  • Wyznacz \(P(A\cap B)\) (najczęściej przez zliczenie przypadków sprzyjających).
  • Sprawdź, czy zachodzi równość \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
  • Jeśli tak — zdarzenia są niezależne, jeśli nie — nie są niezależne.

Zadania

Zadanie 1
Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest figurą, zaś \(B\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest młodsza od siódemki. Czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne?
Zadanie 2
Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest starsza od piątki, zaś \(B\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest koloru czerwonego. Czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne?

Video lekcja dostępna w abonamencie PREMIUM Zaloguj się

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM  👉 Abonament PREMIUM

Related Articles

Prawdopodobieństwo całkowite - video lekcja

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa - video lekcja

Schemat Bernoulliego - video lekcja

logo 2022 joomla footer