Wstęp. Numer taksówki, który przeszedł do historii

Są liczby, które mijamy obojętnie. Są liczby, które pojawiają się w rachunkach, numerach domów, datach, kodach pocztowych albo na tablicach rejestracyjnych. Zwykle nie przypisujemy im większego znaczenia. Jednak historia matematyki zna przypadki, w których zupełnie zwyczajnie wyglądająca liczba stała się początkiem jednej z najbardziej znanych anegdot w dziejach tej nauki.

Taką liczbą jest 1729.

Na pierwszy rzut oka nie wyróżnia się niczym szczególnym. Nie jest okrągła. Nie jest potęgą liczby 10. Nie wygląda jak liczba pierwsza. Nie jest też jedną z tych liczb, które uczniowie od razu kojarzą z geometrią, jak \(\pi\), albo z algebrą, jak \(0\) i \(1\). A jednak to właśnie ona przeszła do historii jako liczba Hardy’ego-Ramanujana oraz jako pierwsza słynna liczba taksówkowa.

Właśnie w tym momencie zwykły numer taksówki zamienił się w matematyczny symbol. Symbol intuicji, ciekawości i tego szczególnego sposobu patrzenia na liczby, który sprawia, że dla matematyka nawet pozornie „nudna” liczba może okazać się fascynująca.

Dwa sześciany, dwie drogi, ta sama liczba

Najważniejsza własność liczby 1729 wygląda następująco:

oraz jednocześnie:

Sprawdźmy to zwykłym rachunkiem:

natomiast:

Mamy więc dwie różne pary liczb naturalnych:

które prowadzą do tej samej sumy sześcianów. To właśnie wyróżnia 1729. Nie chodzi o sam fakt, że liczbę można zapisać jako sumę dwóch sześcianów, lecz o to, że można to zrobić na dwa różne sposoby i że 1729 jest najmniejszą liczbą dodatnią o tej własności.

Czy 1729 naprawdę jest najmniejsza?

Samo sprawdzenie dwóch równości nie wystarcza jeszcze do pełnego zrozumienia sytuacji. Ramanujan nie powiedział jedynie, że 1729 da się przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa sposoby. Powiedział coś mocniejszego: że jest to najmniejsza taka liczba.

Jeżeli szukamy liczby mniejszej od 1729 w postaci:

to wystarczy rozważyć dodatnie liczby naturalne \(a\) i \(b\) nie większe niż 12, ponieważ:

a już:

Można więc utworzyć tabelę wartości \(a^3+b^3\) dla par \(1\leq a\leq b\leq 12\). Jeżeli jakaś suma pojawiłaby się w niej dwa razy przed 1729, mielibyśmy mniejszy przykład. Okazuje się jednak, że pierwsze powtórzenie tego typu pojawia się właśnie dla liczby 1729.

Samo stwierdzenie:

jest obserwacją. Dopiero uzasadnienie, że żadna mniejsza liczba nie ma tej własności, zaczyna przypominać matematyczny dowód.

Liczby taksówkowe

Historia Hardy’ego i Ramanujana doprowadziła do nazwy liczby taksówkowe. Intuicyjnie są to liczby, które można przedstawić jako sumę dwóch dodatnich sześcianów na kilka różnych sposobów.

Najczęściej oznacza się je symbolem:

Liczba \(\operatorname{Ta}(n)\) to najmniejsza liczba naturalna, którą można przedstawić jako sumę dwóch dodatnich sześcianów na \(n\) różnych sposobów.

Najprostszy przypadek to:

ponieważ:

Następny przypadek jest już znacznie ciekawszy:

bo:

Dalej robi się dużo trudniej. Trzecia liczba taksówkowa to:

Można ją zapisać jako sumę dwóch sześcianów na trzy różne sposoby:

Już te przykłady pokazują, jak gwałtownie rośnie trudność problemu. Przejście od dwóch sposobów do trzech sposobów wymaga skoku od liczby 1729 do liczby ponad osiemdziesięciu siedmiu milionów.

Równanie, które kryje się za anegdotą

W tle historii o liczbie 1729 znajduje się równanie diofantyczne:

Równania diofantyczne to równania, w których szukamy rozwiązań całkowitych lub naturalnych. W naszym przypadku interesują nas dodatnie liczby naturalne \(a,b,c,d\), dla których suma dwóch sześcianów po lewej stronie jest równa sumie dwóch sześcianów po prawej stronie.

Dla liczby 1729 mamy:

Możemy więc przyjąć:

To bardzo dobry przykład na to, jak proste równanie może prowadzić do trudnych pytań. Nietrudno zrozumieć, o co pytamy. Dużo trudniej znaleźć rozwiązania, a jeszcze trudniej ustalić, które rozwiązanie jest najmniejsze.

Nie tylko sześciany: rozkład liczby 1729

Liczba 1729 ma jeszcze kilka innych ciekawych własności. Jedną z nich jest rozkład na czynniki pierwsze:

Możemy to sprawdzić krok po kroku:

Stąd:

Ciekawostką jest również to, że suma cyfr liczby 1729 wynosi:

Jeżeli odwrócimy liczbę 19, otrzymamy 91, a następnie:

Ta własność nie jest tak fundamentalna jak rozkład na sumę dwóch sześcianów, ale jest bardzo atrakcyjna dydaktycznie. Pokazuje, że liczby można badać z różnych stron: przez potęgi, przez dzielniki, przez cyfry, przez rozkłady i przez równania.

Cyfrowe ułamki z liczby 1729

W internecie można spotkać grafiki, na których liczba 1729 pojawia się w jeszcze innej roli: jako źródło nietypowych równości ułamkowych. Na pierwszy rzut oka wyglądają one trochę jak matematyczna sztuczka, ale warto potraktować je poważnie, ponieważ uczą bardzo ważnej rzeczy: każdą atrakcyjną równość trzeba sprawdzić.

Oto jeden z przykładów:

Sprawdźmy prawą stronę:

A teraz lewą stronę. Ponieważ:

to:

Równość rzeczywiście jest prawdziwa.

Takie przykłady są efektowne, ale warto zachować właściwe proporcje. Nie wszystkie ciekawostki mają tę samą wagę matematyczną. To, że 1729 jest najmniejszą liczbą będącą sumą dwóch sześcianów na dwa sposoby, jest głęboką własnością z teorii liczb. Natomiast ułamkowe zabawy z cyframi są raczej pomysłowymi konstrukcjami arytmetycznymi.

Jak samodzielnie szukać takich liczb?

Liczba 1729 jest dobrym pretekstem do prostego doświadczenia matematycznego. Można poprosić uczniów, aby samodzielnie policzyli wartości:

na przykład dla:

W arkuszu kalkulacyjnym można przygotować tabelę, w której wiersze odpowiadają wartościom \(a\), kolumny wartościom \(b\), a w komórkach wpisujemy sumę sześcianów. Następnie wystarczy szukać powtórzeń.

W wersji matematycznej interesuje nas sytuacja:

oraz:

To bardzo dobry przykład zadania, w którym można połączyć klasyczną matematykę z technologią. Uczeń widzi potęgi i rachunki, ale jednocześnie poznaje ideę wyszukiwania danych, porównywania wyników i wykrywania powtórzeń.

Intuicja Ramanujana i rola dowodu

Historia liczby 1729 jest tak popularna również dlatego, że świetnie pokazuje kontrast między dwoma sposobami uprawiania matematyki. Hardy był symbolem rygoru, dowodu i klasycznej szkoły matematycznej. Ramanujan słynął z niezwykłej intuicji liczbowej i zdolności dostrzegania wzorów tam, gdzie inni widzieli tylko przypadkowe liczby.

Nie należy jednak przeciwstawiać intuicji i dowodu tak, jakby jedno wykluczało drugie. W matematyce intuicja często prowadzi do odkrycia, ale dopiero dowód daje pewność. Można zauważyć równość:

ale trzeba jeszcze uzasadnić, że nie istnieje mniejsza liczba o tej własności. Można zauważyć wzór w danych, ale trzeba go sprawdzić. Można zachwycić się przykładem, ale trzeba zapytać, czy jest wyjątkiem, czy częścią większej teorii.

Mała liczba, duża lekcja

Liczba 1729 nie zmienia programu szkolnej matematyki. Nie jest wzorem, którego trzeba nauczyć się na pamięć. Nie pojawia się obowiązkowo w zadaniach maturalnych. A jednak może być znakomitym bohaterem lekcji, koła matematycznego lub artykułu popularnonaukowego.

Po pierwsze, pokazuje, że matematyka nie zaczyna się od skomplikowanych symboli, ale od ciekawości. Wystarczy zapytać: co ciekawego może ukrywać ta liczba?

Po drugie, prowadzi naturalnie do potęg, dzielników, rozkładu na czynniki pierwsze, ułamków i równań diofantycznych.

Po trzecie, uczy różnicy między obserwacją a dowodem. Zauważenie równości to dopiero początek. Matematyczne myślenie zaczyna się wtedy, gdy pytamy: czy to najmniejszy przykład, czy takich liczb jest więcej, jak je znaleźć i jak to uzasadnić?

Zakończenie

Anegdota o Hardym, Ramanujanie i taksówce o numerze 1729 jest czymś więcej niż tylko ładną historyjką o genialnym matematyku. To opowieść o tym, jak matematyka uczy patrzeć uważniej.

Dla jednej osoby 1729 może być zwykłym numerem. Dla kogoś innego może stać się początkiem pytania o sześciany, równania diofantyczne, liczby taksówkowe i strukturę liczb naturalnych. Właśnie w tym tkwi niezwykła siła matematyki: potrafi wydobywać sens z rzeczy pozornie przypadkowych.

Nie każda liczba jest tak sławna jak 1729, ale każda może stać się początkiem poszukiwania. Wystarczy nie przejść obok niej obojętnie. Ramanujan zobaczył w numerze taksówki coś, czego nie dostrzegł Hardy. I być może to jest najpiękniejsza lekcja płynąca z tej historii: w matematyce nie chodzi tylko o liczenie, lecz także o umiejętność zadawania pytań tam, gdzie inni widzą jedynie zwykły numer.

Bibliografia i źródła

1. G. H. Hardy, Ramanujan, Cambridge University Press, 1940.
2. MacTutor History of Mathematics, materiały biograficzne dotyczące Hardy’ego i Ramanujana.
3. E. W. Weisstein, „Hardy-Ramanujan Number”, Wolfram MathWorld.
4. OEIS, ciągi dotyczące liczb taksówkowych, m.in. A011541 oraz A001235.
5. Ivars Peterson, „Taxicab Numbers”, Science News, 2002.