1990 woj. jeleniogóskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Rozwiąż uklad równań \(\left\{\begin{array}{l}(k+1) x+(k-1) y=k^2+1 \\ (k-1) x+(k+1) y=k^2-1\end{array}\right.\) i narysuj wykres funkcji \(f(k)=\frac{|x|}{y}\), gdzie \(x\) i \(y\) spelniają podany uklad równań.
Zadanie 2.
Zbadaj, dla jakich wartości \(x \neq-1\) nierówność \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(x^3-2\right) n^2+3 n x-1}{(x+1) n^2+2 n-3} \leqslant x-2\) jest prawdziwa?
Zadanie 3.
Wykres funkcji \(f(x)=x^3-3 x^2+b x+c\) przechodzi przez punkt \(A=(2 ; 5)\). Wspólczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie \(A\) jest rozwiązaniem równania
\(\left(\frac{4}{9}\right)^{x+1}=\left(\frac{81}{16}\right)^{x+13}\). Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale \(\langle-2 ; 3\rangle\)
Zadanie 4.
Zbadaj, dla jakich wartości \(m\) pole trójkąta o wierzchołkach \(A=\) \(=(3 ;-1), B=(m+1 ;-2), C=(-1 ; m-3)\) jest równe 2. Dla \(m\) będącego liczbą calkowita oblicz pole kola opisanego na tym trójkacie.
Zadanie 5.
Pole powierzchni bocznej ostroshupa prawidlowego o podstawie trójkątnej wynosi \(0,25 a^2 \sqrt{15}\). Długość krawędzi podstawy jest równa \(a\). Obliczyć miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do plaszczyzny podstawy.
