1975 woj. krakowskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
W skrzynce znajduje się 40 sztuk towaru, w tym trzy sztuki są wadliwe. Wyjmujemy losowo dwie sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy sztuki dobre?
Zadanie 2.
Dane są wierzchołki trójkąta \(A B C\) :
\(A(5,8), B(-2,9), C(-4,5) \text {. }\)
Sprawdź, czy punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych oraz środek koła opisanego na tym trójkącie należy do jednej prostej?
Zadanie 3.
Dane są dwa wektory \(\overrightarrow{O M}=\vec{a}\) i \(\overrightarrow{O N}=\vec{b}\) wyznaczające trójkąt \(O M N\), przy czym \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1 \mathrm{i}|\Varangle(\vec{a}, \vec{b})|=\frac{\pi}{3}\).
Na boku \(\overline{O M}\) odłożono odcinek \(\overline{O K}\) taki, że \(O K=\frac{1}{4} O M\) oraz na boku \(\overline{O N}\) - odcinek \(\overline{O L}\) taki, że \(O L=\frac{2}{7} O N\). Wykaż, że wektor \(\overrightarrow{N K}\) jest prostopadly do wektora \(\overrightarrow{M L}\).
Zadanie 4.
Okno winno posiadać kształt prostokąta zakończonego półkolem. Obwód okna ma wynosić \(10 \mathrm{~m}\). Dobierz tak wymiary okna, aby przepuszczało maksymalną ilość światła.
Zadanie 5.
Dla jakich wartości \(m\) równanic
\(x^2-2 x+\log _{0,5} m=0\)
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
1975 woj. krakowskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Oblicz pracę, jaką należy wykonać przeciw sile ciążenia, aby rakietę o masie \(2000 \mathrm{~kg}\) wynieść z powierzchni Ziemi na wysokość \(600 \mathrm{~km}\). Promień Ziemi przyjąć \(6400 \mathrm{~km}\).
Zadanie 2.
Dane są równania krzywych \(f(x)=x^3\) oraz \(g(x)=x^2-4 x+4\) Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez oś \(O X\) i styczne do tych krzywych \(\mathrm{w}\) ich wspólnym punkcie. Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 3.
Przez punkt \((-1,1)\) poprowadź prostą tak, by środek jej odcinka zawartego między prostymi \(x+2 y-1=0\) i \(x+2 y-3=0\) należał do prostej \(x-y-1=0\). Napisz równanie symetralnej tego odcinka.
Zadanie 4.
Kula jest styczna do pobocznicy stożka ściętego i do obu płaszczyzn jego podstaw. Tworząca stożka ściętego nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym \(\alpha\). Wyraź stosunek pola powierzchni bocznej stożka ściętego do pola powierzchni kuli jako funkcję \(\propto\) i zbadaj jej przebieg zmienności w przedziale \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\).
Zadanie 5.
Spośród 20 pytań egzaminacyjnych student zna odpowiedź na 12 pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student zda egzamin, jeżeli obowiązuje następująca zasada: losuje się dwa pytania i w przypadku dobrej odpowiedzi na obydwa - egzamin kończy się oceną pozytywną, w przypadku zaś, gdy jedna odpowiedź była dobra, a druga zła, losuje się trzecie pytanie, na które tylko dobra odpowiedź daje podstawę do pozytywnej oceny całego egzaminu.
1975 woj. krakowskie - profil biologiczno - chemiczny i licea pedagogiczne dla wychowawczyń przedszkoli
Zadanie 1.
Rozwiąż układ równań
\(\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-4=0 \\x+y-m=0 .\end{array}\right.\)
a) Przeprowadź dyskusję istnienia oraz liczby pierwiastków w zależności od parametru \(m\).
b) Podaj ilustrację geometryczną.
Zadanie 2.
Udowodnij, że liczba postaci \(3^{4 n+2}+1\) jest podzielna przez 10 , gdzie \(n \in \boldsymbol{N}\).
Zadanie 3.
Dane są punkty: \(A(-4,6), B(8,-10), C(10,4)\).
a) Znajdź punkt \(D\), aby czworokąt \(A B C D\) był równoległobokiem i oblicz pole powierzchni tego równoległoboku.
b) Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\).
c) Znajdź równanie obrazu tego okręgu w przekształceniu \(P T_\omega\), gdzie \(\vec{w}=[-2,2]\), zaś \(P\) jest powinowactwem prostokątnym o osi \(O X\) i skali \(s=\frac{3}{5}\).
Zadanie 4.
Robotnik obsługuje trzy obrabiarki pracujące automatycznie niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu 1 godziny obrabiarka nie wymaga interwencji robotnika, jest równe 0,9 dla pierwszej, 0,8 dla drugiej i 0,7 dla trzeciej obrabiarki. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję liczby obrabiarek, które nie potrzebują interwencii robotnika w ciągu godziny.
Zadanie 5.
W stożek o promieniu podstawy \(r\) i wysokości \(h\) wpisano ostroshup prawidłowy trójkątny tak, że wierzchołek tego ostrosłupa pokrywa się ze środkiem podstawy stożka, a pozostałe wierzchołki należą do pobocznicy stożka. Oblicz maksymalną objętość tego ostrosłupa.
