1975 woj. katowickie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Para \((x, y)\) jest rozwiązaniem układu:
\(\left\{\begin{aligned}x-y &=-1-m \\2 x-y &=2 m .\end{aligned}\right.\)
Dla jakich wartości \(m\) punkt \(P(x, y)\) należy do wnętrza koła o promieniu długości \(r \sqrt{5}\) i środku w początku układu współrzędnych?
Zadanie 2.
Dane są trzy kolejne wierzcholki prostokąta \(A B C D\) :
\(A(-5,-3), B(-2,0), C(-7,5) \text {. }\)
a) Napisz równanie okregu opisanego na tym prostokącie.
b) Napisz równanie prostej stycznej do tego okregu w punkcie \(D\).
Zadanie 3.
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy a.
a) Przy jakich długościach boków pole trójkąta jest największe?
b) Podaj największą wartośćc pola trójkąta dla \(a=3+2 \sqrt{3}\).
Zadanie 4.
Punkt \(A\) należy do obszaru kąta o mierze stopniowej \(60 .\)
Odległości tego punktu od ramion kąta są równe \(a=2, b=\)
\(=\sqrt{3}-1\). Znajdź odległość punktu \(A\) od wierzchołka kąta.
Zadanie 5.
Z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwie (bez zwrotu).
a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
\(A\) - suma wylosowanych licab jest większa od \(8 .\)
\(B\) - za pierwszym razem wylosowano liczbę parzysta.
b) Sprawdź niezależność zdarzeń \(A\) i \(B\).
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 8, jeżeli za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą?
1975 woj. katowickie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Dany jest wielomian
\(W(x)=x^3+a x^2-b x-6 .\)
Liczby 1 i 2 są pierwiastkami tego wielomianu.
a) Wyznacz współczynniki \(a\) i \(b\).
b) Przy wyznaczonych \(a\) i \(b\) rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).
Zadanie 2.
Dla jakich wartości \(\alpha\) równanie:
\(\frac{x+1}{2 x-1}-\frac{2 x+1}{x-1}=\cos \alpha\)
ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?
Zadanie 3.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{1}{2} x^3-\frac{3}{2} x\) określonej w przedziale \(\langle-3 ; 3\rangle\).
Zadanie 4.
Wierzchołkami trójkąta są punkty
\(A(-1,3), B(-2,0), C(2,-3) \text {. }\)
a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną \(\mathrm{z}\) wierzchołka \(A\).
b) Wyznacz współrzędne punktu \(D\) równoległoboku \(A B C D\) i oblicz jego pole.
Zadanie 5.
Wierzcholki kwadratu \(K L M N\) należą do boków kwadratu \(A B C D\). Oblicz stosunek odcinków, na które punkty \(K, L, M, N\) dzielą każdy z boków kwadratu \(A B C D\) wiedząc, że stosunek pól tych kwadratów jest \(\frac{3}{4}\) i \(A B=10 \mathrm{~cm}\).
