1975 woj. gdańskie - profil matematyczno - fizyczny
Zadanie 1.
Punkty \(A(0,-1)\) i \(B(-2,1)\) należą do okreggu \(x^2+y^2-2 x-\) \(-4 y-5=0\). Znajdź współrzędne takiego punktu \(C\) należącego do tego okręgu, by trójkąt \(A B C\) o podstawie \(\overline{A B}\) był równoramienny.
Zadanie 2.
Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, że
\(1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1) .\)
Zadanie 3.
Partia detali (części maszyn) składa się z 20% detali wyprodukowanych w zakładzie I, \(30 \%\) - w zakładzie II i \(50 \%\) - wakładzie III. Prawdopodobieństwo pojawienia się braku w produkcji I zakładu wynosi 0,05 , II zakładu - 0,01, III zakładu - 0,06. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany losowo z danej partii detal jest brakiem.
Zadanie 4.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i sporządź wykres funkcji
\(f(x)=\frac{a x}{b x^2-1}\)
wiedząc, że \(f(2)=\frac{2}{3}\) i \(f(-3)=-\frac{3}{8}\).
Zadanie 5.
Ramię trapezu równoramiennego równa się krótszej jego podstawie i ma długość \(a\). Jaką miarę musi mieć kąt ostry tego trapezu, aby pole powierzchni powstałej bryly z jego obrotu o kąt \(2 \pi\) wokół prostej zawierającej krótszą podstawe było największe? Oblicz pole.
1975 woj. gdańskie - profil humanistyczny
Zadanie 1.
Punkty \(A(1,-4), B(2,-3)\) i \(C(-1,0)\) należą do wykresu trójmianu kwadratowego
\(y=a x^2+b x+c .\)
a) Wyznacz współczynnik \(a, b\) i \(c\).
b) Zbadaj dla jakich \(x\), wartości otrzymanego trójmianu są dodatnie.
Zadanie 2.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres
\(f(x)=x^2(x-3)\)
Zadanie 3.
W trójkącie \(A B C\) dane są: równanie prostej zawierającej bok \(\overline{A B}: 5 x-3 y+2=0\), równanic prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(A: 4 x-3 y+1=0\) oraz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka \(B: 7 x+2 y-22=0\). Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta.
Zadanie 4.
Z parku o polu \(13500 \mathrm{~m}^2\) postanowiono wydzielić prostokątny plac zabaw dla dzieci wewnątrz tego parku. Na ten cel przeznaczono \(15 \%\) pola powierzchni parku. Jak dobrać wymiary placu zabaw, aby jego obwód był najmniejszy?
Zadanie 5.
W prostokątnym układzie współrzędnych, zilustruj zbiory
\(A \cap B\) oraz \(A-B\), gdzie
\(A=\{(x, y): x \in \boldsymbol{R}\) i \(y \in \boldsymbol{R}\) i \(x-2 y \leqslant-2\}\),
\(B=\left\{(x, y): x \in \boldsymbol{R}\right.\) i \(y \in \boldsymbol{R}\) i \(\left.x^2+4 y \leqslant 4\right\} .\)
