M-Blog

Potęga o wykładniku całkowitym - teoria
Uncategorised Odsłon: 2647

Potęga o wykładniku całkowitym

Potęgowanie jest jednym z podstawowych działań matematycznych. Umożliwia ono zwięzły zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby oraz rozszerza pojęcie potęgi na wykładniki ujemne.

1. Potęga o wykładniku naturalnym

Definicja

Dla liczby naturalnej \(n \ge 1\) potęgą liczby \(a\) o wykładniku \(n\) nazywamy iloczyn \(n\) jednakowych czynników równych \(a\).

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{czynników}} \]

Potęga opisuje wielokrotne mnożenie tej samej liczby.

Ustalenia
\[ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \quad \text{dla } a \ne 0 \]

Wykładnik zero oznacza brak czynników w iloczynie.

Nie definiujemy wartości \(0^0\).

2. Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Definicja

Dla liczby naturalnej \(n \ge 1\) oraz \(a \ne 0\) przyjmujemy:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

Wykładnik ujemny oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi dodatniej.

3. Potęga o wykładniku całkowitym

Definicja
\[ a^n = \begin{cases} a \cdot a \cdot \ldots \cdot a & \text{dla } n > 0,\\[4pt] 1 & \text{dla } n = 0,\\[6pt] \dfrac{1}{a^{-n}} & \text{dla } n < 0, \end{cases} \quad a \ne 0 \]

Wykładnik całkowity obejmuje mnożenie, brak mnożenia i dzielenie.

4. Prawa działań na potęgach

Twierdzenie
\[ \begin{aligned} a^m \cdot a^n &= a^{m+n},\\ \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n},\\ (a^m)^n &= a^{mn},\\ (ab)^n &= a^n b^n,\\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n}. \end{aligned} \]

Prawa potęgowania pozwalają upraszczać wyrażenia bez rozpisywania iloczynów.

Related Articles

Wartość bezwzględna

logo 2022 joomla footer