Wprowadzenie

Zanim zdefiniujemy pojęcie pochodnej funkcji w punkcie, musimy wyjaśnić, czym jest otoczenie punktu oraz co oznacza przyrost argumentu.

Otoczeniem punktu \(x_0\) nazywamy zbiór wszystkich liczb, które leżą wystarczająco blisko punktu \(x_0\), zarówno z lewej, jak i z prawej strony.

Oznacza to, że do otoczenia punktu \(x_0\) należą wszystkie liczby, które różnią się od \(x_0\) o mniej niż pewną dodatnią liczbę \(\varepsilon\).

Liczbę \(h\) nazywamy przyrostem argumentu. Jest to niewielka zmiana argumentu funkcji, dzięki której przechodzimy z punktu \(x_0\) do punktu \(x_0+h\).

W dalszych rozważaniach będziemy badać, jak zmienia się wartość funkcji przy bardzo małych zmianach argumentu, czyli gdy \(h\) dąży do zera.

Definicja 1.

Niech funkcja \(f\) będzie określona w pewnym otoczeniu \(U(x_0)\), natomiast \(h\) będzie liczbą różną od \(0\), dla której \(x_0+h\) należy do otoczenia \(U(x_0)\).

Ilorazem różnicowym funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\), odpowiadającym przyrostowi \(h\) argumentu, nazywamy liczbę

Definicja 2.

Niech funkcja \(f\) będzie określona w pewnym otoczeniu \(U(x_0)\), natomiast \(h\) będzie liczbą różną od \(0\), dla której \(x_0+h\) należy do otoczenia \(U(x_0)\).

Pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) będziemy nazywać granicę (o ile istnieje właściwa)

i oznaczać \(f'(x_0)\).

Definicja 3.

Niech funkcja \(f\) będzie określona w pewnym prawostronnym otoczeniu \(U_{+}(x_0)\), a \(h>0\) taką liczbą, że \(x_0+h \in U_{+}(x_0)\).

Pochodną prawostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) nazywamy granicę

i oznaczamy ją przez \(f'_{+}(x_0)\).

Analogicznie definiujemy pochodną lewostronną \(f'_{-}(x_0)\).