RÓWNANIA Z PARAMETRAMI
Zestaw zadań z rozwiązaniami rozwijanymi (akordeon). Wzory w MathJax, wyrównane do lewej.
Zadania
1
DYSKUSJA ROZWIĄZAŃ
Równania z parametrami
Rozwiąż równania z niewiadomą \(x\). Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów.
\[
\text{a) }\frac{x-2}{x}=a+\frac{b}{x}
\qquad
\text{b) }\frac{a+b}{x}=b
\qquad
\text{c) }\frac{b}{x+2}=a
\qquad
\text{d) }\frac{a+3}{x+3}=1
\]
\[
\text{e) }\frac{b}{x-3}=a
\qquad
\text{f) }a+\frac{b}{x}=\frac{c}{x}
\qquad
\text{g) }\frac{a}{x}+b=c
\qquad
\text{h) }\frac{b}{x}-c=\frac{a}{x}
\]
Rozwiązanie
Uwaga. Ustalając warunki istnienia rozwiązań należy uwzględnić rozwiązalność równania
\(Ax+B=0\) lub \(ax^2+bx+c=0\) oraz założenia dotyczące istnienia \(x\).
Równanie \(Ax+B=0\):
– ma 1 rozwiązanie gdy \(A\neq 0\),
– ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy \(A=0\) i \(B=0\),
– nie ma rozwiązań gdy \(A=0\) i \(B\neq 0\).
Równanie \(Ax+B=0\):
– ma 1 rozwiązanie gdy \(A\neq 0\),
– ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy \(A=0\) i \(B=0\),
– nie ma rozwiązań gdy \(A=0\) i \(B\neq 0\).
a)
\[
\begin{aligned}
&x\neq 0,\ \ \frac{x-2}{x}=a+\frac{b}{x}\\
&\Rightarrow x-2=ax+b\\
&\Rightarrow x(1-a)-2-b=0
\end{aligned}
\]
Jedno rozwiązanie: \(a\neq 1\) i \(x=\frac{b+2}{1-a}\), przy czym \(x\neq 0\Rightarrow b\neq -2\).
Nieskończenie wiele rozwiązań: \(a=1\) i \(b=-2\).
Brak rozwiązań: \(a=1,\ b\neq -2\) lub \(a\neq 1,\ b=-2\).
Nieskończenie wiele rozwiązań: \(a=1\) i \(b=-2\).
Brak rozwiązań: \(a=1,\ b\neq -2\) lub \(a\neq 1,\ b=-2\).
b)
\[
\frac{a+b}{x}=b,\quad x\neq 0
\ \Rightarrow\ a+b=bx
\]
1) Jeżeli \(b\neq 0\) i \(a\neq -b\), to jedno rozwiązanie:
\(x=\frac{a+b}{b}\).
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((b=0,\ a\neq 0)\) lub \((b=-a,\ a\neq 0)\), to brak rozwiązań.
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((b=0,\ a\neq 0)\) lub \((b=-a,\ a\neq 0)\), to brak rozwiązań.
c)
\[
\frac{b}{x+2}=a,\quad x\neq -2
\ \Rightarrow\ a(x+2)=b
\ \Rightarrow\ ax=b-2a
\]
1) Jeżeli \(a\neq 0\) i \(b\neq 0\), to jedno rozwiązanie:
\(x=\frac{b-2a}{a}\).
(Jeżeli \(a\neq 0\) i \(b=0\), to \(x=-2\), co jest niemożliwe.)
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0,\ b\neq 0)\) lub \((a\neq 0,\ b=0)\), to brak rozwiązań.
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0,\ b\neq 0)\) lub \((a\neq 0,\ b=0)\), to brak rozwiązań.
d)
\[
\frac{a+3}{x+3}=1,\quad x\neq -3
\ \Rightarrow\ a+3=x+3
\ \Rightarrow\ x=a
\]
1) Jeżeli \(a\neq -3\), to jedno rozwiązanie: \(x=a\).
2) Jeżeli \(a=-3\), to brak rozwiązań.
2) Jeżeli \(a=-3\), to brak rozwiązań.
e)
\[
\frac{b}{x-3}=a,\quad x\neq 3
\ \Rightarrow\ a(x-3)=b
\ \Rightarrow\ ax=3a+b
\]
1) Jeżeli \(a\neq 0\) i \(b\neq 0\), to jedno rozwiązanie:
\(x=\frac{3a+b}{a}\).
(Jeżeli \(a\neq 0\) i \(b=0\), to \(x=3\), co jest niemożliwe.)
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0,\ b\neq 0)\) lub \((a\neq 0,\ b=0)\), to brak rozwiązań.
2) Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0,\ b\neq 0)\) lub \((a\neq 0,\ b=0)\), to brak rozwiązań.
f)
\[
a+\frac{b}{x}=\frac{c}{x},\quad x\neq 0
\ \Rightarrow\ ax+b=c
\ \Rightarrow\ ax=c-b
\]
1) Jeżeli \(a\neq 0\) i \(c\neq b\), to jedno rozwiązanie:
\(x=\frac{c-b}{a}\).
2) Jeżeli \(a=0\) i \(c=b\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0,\ c\neq b)\) lub \((a\neq 0,\ c=b)\), to brak rozwiązań (bo w drugim przypadku wyszłoby \(x=0\), co jest niemożliwe).
2) Jeżeli \(a=0\) i \(c=b\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((a=0,\ c\neq b)\) lub \((a\neq 0,\ c=b)\), to brak rozwiązań (bo w drugim przypadku wyszłoby \(x=0\), co jest niemożliwe).
g)
\[
\frac{a}{x}+b=c,\quad x\neq 0
\ \Rightarrow\ a+bx=cx
\ \Rightarrow\ x(c-b)=a
\]
1) Jeżeli \(c\neq b\) i \(a\neq 0\), to jedno rozwiązanie:
\(x=\frac{a}{c-b}\).
2) Jeżeli \(c=b\) i \(a=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((c=b,\ a\neq 0)\) lub \((c\neq b,\ a=0)\), to brak rozwiązań (bo w drugim przypadku wyszłoby \(x=0\)).
2) Jeżeli \(c=b\) i \(a=0\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((c=b,\ a\neq 0)\) lub \((c\neq b,\ a=0)\), to brak rozwiązań (bo w drugim przypadku wyszłoby \(x=0\)).
h)
\[
\frac{b}{x}-c=\frac{a}{x},\quad x\neq 0
\ \Rightarrow\ b-cx=a
\ \Rightarrow\ cx=b-a
\]
1) Jeżeli \(c\neq 0\) i \(b\neq a\), to jedno rozwiązanie:
\(x=\frac{b-a}{c}\).
2) Jeżeli \(c=0\) i \(b=a\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((c=0,\ b\neq a)\) lub \((c\neq 0,\ b=a)\), to brak rozwiązań (bo w drugim przypadku wyszłoby \(x=0\)).
2) Jeżeli \(c=0\) i \(b=a\), to nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli \((c=0,\ b\neq a)\) lub \((c\neq 0,\ b=a)\), to brak rozwiązań (bo w drugim przypadku wyszłoby \(x=0\)).
2
DYSKUSJA ROZWIĄZAŃ
Równanie z parametrami (8 podpunktów)
Rozwiąż równanie z niewiadomą \(x\). Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów.
\[
\text{a) }\frac{x}{x-a}=1+\frac{b}{x}
\qquad
\text{b) }\frac{5-b}{x}=\frac{2}{x+b}
\qquad
\text{c) }\frac{a}{x}=\frac{b}{x+a}
\qquad
\text{d) }\frac{x}{x-a}=\frac{x+1}{x+a}
\]
\[
\text{e) }\frac{x-a}{x+a}=\frac{x+b}{x-b}
\qquad
\text{f) }\frac{x-a}{x-b}=\frac{x-b}{x-a}
\qquad
\text{g) }\frac{x+a}{x-b}=\frac{x-2a}{x+b}
\qquad
\text{h) }\frac{x+a}{x-2b}=\frac{x-a}{x+b}
\]
Rozwiązanie
Obraz rozwiązania:
3
DYSKUSJA ROZWIĄZAŃ
Równanie z parametrami (4 podpunkty)
\[
\text{a) }1-\frac{2b}{x-a}=\frac{a^2-b^2}{a^2+x^2-2ax}
\qquad
\text{b) }\frac{x-b}{x-2a}-\frac{x+2a}{x+b}=\frac{(2a+b)x}{(x-2a)(x+b)}
\]
\[
\text{c) }\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x+a}=\frac{a^2}{x^2-a^2}
\qquad
\text{d) }\frac{x-2a}{x+2a}-\frac{x+2a}{x-2a}=\frac{4a^2}{4a^2-x^2}
\]
Rozwiązanie
Obraz rozwiązania:
4
DYSKUSJA ROZWIĄZAŃ
Równanie z parametrami (4 podpunkty)
\[
\text{a) }\frac{x-2a}{x+3a}=3-\frac{2x^2-13a^2}{x^2-9a^2}
\]
\[
\text{b) }\frac{a}{2a+bx}=\frac{b}{2a-bx}+\frac{2a^2}{4a^2-b^2x^2}
\]
\[
\text{c) }\frac{ax+b}{mx-m}-\frac{ax-b}{nx-n}=\frac{a}{m}-\frac{b}{n}
\]
\[
\text{d) }\frac{a}{ac+bc}+\frac{a-b}{2bx}=\frac{a+b}{2bc}-\frac{b}{ax+bx}
\]
Rozwiązanie
Obraz rozwiązania:
5
WARUNEK NA SUMĘ PIERWIASTKÓW
Parametr \(m\)
\[
\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2x+1}{x-1}=m
\]
Jakie warunki musi spełniać liczba \(m\), aby istniały rozwiązania równania takie, że suma tych rozwiązań jest mniejsza od \(m\)?
Rozwiązanie
\[
\frac{x+1}{2 x-1}-\frac{2 x+1}{x-1}=m
\]
Zakładamy, że \(x \in \mathbb{R}\setminus\left\{\frac12,1\right\}\).
\[
\begin{gathered}
(x+1)(x-1)-(2 x+1)(2 x-1)=m(2 x-1)(x-1) \\
x^2-1-\left(4 x^2-1\right)=m\left(2 x^2-2 x-x+1\right) \\
m\left(2 x^2-3 x+1\right)=x^2-1-4 x^2+1 \\
2 m x^2-3 m x+m=-3 x^2 \\
2 m x^2+3 x^2-3 m x+m=0 \\
x^2(2 m+3)-3 m x+m=0
\end{gathered}
\]
Rozpatrzmy przypadki: (1) \(m=-\frac{3}{2}\), (2) \(m\neq-\frac{3}{2}\). Dalej – jak w dostarczonej treści (zachowane poniżej).
\[
\text{Dla }m=-\frac{3}{2}:\quad \frac{9}{2}x=\frac{3}{2}\ \Rightarrow\ x=\frac{1}{3}.
\]
Dla \(m\neq-\frac{3}{2}\) z treści zadania wynika układ:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta>0 \\
x_1+x_2
\[
\Delta>0 \Rightarrow m\in(-\infty,0)\cup(12,+\infty),
\qquad
x_1+x_2=\frac{3m}{2m+3}
\]
\[
\frac{3m}{2m+3}0
\Rightarrow
m\in\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)\setminus\{0\}
\]
\[
\Rightarrow\quad
m\in\left(-\frac{3}{2},0\right)\cup(12,+\infty)
\]
Warunki \(x\neq \frac12\) i \(x\neq 1\) – jak w Twojej treści (zachowane logicznie).
6
DWA PIERWIASTKI, TEN SAM ZNAK
Parametr \(a\)
\[
\frac{x+1}{2x+1}-\frac{2x-1}{x-1}=a
\]
Dla jakich wartości parametru \(a\) istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste mające jednakowe znaki?
Rozwiązanie
\[
\frac{x+1}{2 x+1}-\frac{2 x-1}{x-1}=a
\]
Zakładamy \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac12,1\right\}\). Dalej – jak w Twojej treści (pozostawione bez zmiany merytorycznej).
\[
x^2(2 a+3)-a x-a=0,\quad a\neq-\frac{3}{2}
\]
\[
\Delta=3a(3a+4),\quad x_1x_2=\frac{-a}{2a+3}
\]
\[
a\in\left(-\frac{3}{2},-\frac{4}{3}\right)
\]
Sprawdzenie \(x\neq -\frac12\) i \(x\neq 1\) – jak w dostarczonej treści.
7
WARUNEK NIERÓWNOŚCI
Parametr \(a\)
\[
\frac{x}{a}+\frac{a}{x}=\frac{1}{ax}+2
\]
Dla jakich wartości parametru \(a\) równanie ma dwa pierwiastki spełniające
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}>4\)?
Rozwiązanie
\[
\frac{x}{a}+\frac{a}{x}=\frac{1}{a x}+2,\quad a\neq 0,\ x\neq 0
\]
\[
x^2-2ax+a^2-1=0,\quad
x_1+x_2=2a,\ x_1x_2=a^2-1
\]
\[
\frac{2a}{a^2-1}>4
\Rightarrow
a\in\left(-1,\frac{1-\sqrt{17}}{4}\right)\cup\left(1,\frac{1+\sqrt{17}}{4}\right)
\]
Dodatkowe uwagi o \(x_1\neq 0\), \(x_2\neq 0\) – jak w dostarczonej treści.
8
RÓWNANIE Z PARAMETREM
Parametr \(b\)
\[
\frac{(1+b)x}{1-b}-\frac{(1-b)(1-x)}{1+b}
=
\frac{(1-b)(2x+1)}{1+b}
\]
Rozwiązanie
\[
\frac{(1+b) x}{1-b}-\frac{(1-b)(1-x)}{1+b}=\frac{(1-b)(2 x+1)}{1+b},
\quad b\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}
\]
\[
2bx+2b-b^2-1=0
\]
Przypadki: \(b=0\) (brak rozwiązań), \(b\neq 0\) (jedno rozwiązanie):
\[
x=\frac{(b-1)^2}{2b},
\quad b\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}.
\]
