Hipoteza Riemanna
Równo sto lat po słynnym programie Hilberta podczas majowej konferencji w Paryżu Instytut Claya ogłosił listę siedmiu problemów milenijnych, aby uczcić nadchodzące nowe tysiąclecie. Wyboru problemów dokonał Komitet Naukowy, zaś nagrody finansowe ufundował i zapewnił Dyrektoriat Instytutu. Na tej liście znalazła się również Hipoteza Riemanna – jeden z najsłynniejszych i najgłębszych nierozwiązanych problemów całej matematyki.
Dlaczego Hipoteza Riemanna jest tak ważna?
Hipoteza Riemanna została sformułowana w 1859 roku przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna. Dotyczy ona funkcji dzeta Riemanna, czyli jednej z najważniejszych funkcji w teorii liczb. Jest to problem, który od ponad półtora wieku fascynuje matematyków, ponieważ dotyka samego serca zagadnienia rozkładu liczb pierwszych.
Wiemy ze szkoły, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Gdy jednak zaczniemy przyglądać się ich rozmieszczeniu w zbiorze liczb naturalnych, szybko zauważymy, że nie układają się one według prostego wzoru. Raz pojawiają się gęściej, innym razem rzadziej. Mimo tego pozornego chaosu istnieją głębokie regularności. Właśnie te regularności opisuje funkcja dzeta Riemanna.
Hipoteza Riemanna mówi w wielkim uproszczeniu, że wszystkie tzw. nietrywialne zera funkcji dzeta leżą na jednej szczególnej prostej w płaszczyźnie zespolonej. Tą prostą jest linia
Oznacza to, że wszystkie interesujące miejsca zerowe tej funkcji mają część rzeczywistą równą dokładnie \( \frac{1}{2} \). Gdyby udało się to udowodnić, nasza wiedza o rozmieszczeniu liczb pierwszych stałaby się znacznie pełniejsza. Gdyby natomiast hipoteza okazała się fałszywa, miałoby to ogromne konsekwencje dla całej teorii liczb.
Funkcja dzeta Riemanna
Funkcja dzeta Riemanna dla liczb zespolonych \(s\) o części rzeczywistej większej od 1 dana jest wzorem:
Jest to nieskończony szereg, ale dzięki odpowiednim metodom analizy matematycznej funkcję tę można rozszerzyć także na inne wartości zespolone – z wyjątkiem jednego punktu szczególnego.
Jednym z najpiękniejszych faktów matematyki jest to, że funkcja dzeta Riemanna wiąże się bezpośrednio z liczbami pierwszymi poprzez tzw. iloczyn Eulera:
Ten wzór pokazuje, że funkcja dzeta „pamięta” wszystkie liczby pierwsze. Właśnie dlatego badanie jej zer dostarcza informacji o tym, jak liczby pierwsze są rozmieszczone wśród liczb naturalnych.
Na czym polega Hipoteza Riemanna?
Funkcja dzeta ma zera trywialne i nietrywialne. Zera trywialne są dobrze znane i pojawiają się dla ujemnych liczb parzystych:
Największa tajemnica dotyczy jednak zer nietrywialnych, które leżą w tzw. pasie krytycznym, czyli dla liczb zespolonych \(s\), których część rzeczywista zawiera się między 0 i 1.
Innymi słowy: wszystkie te zera powinny leżeć dokładnie na jednej prostej zwanej prostą krytyczną.
Co by dał dowód tej hipotezy?
Status problemu
Mimo ogromnego postępu matematyki Hipoteza Riemanna nadal nie została ani udowodniona, ani obalona. Sprawdzono numerycznie ogromną liczbę jej miejsc zerowych i wszystkie znane przykłady zgadzają się z hipotezą, ale w matematyce zgodność obliczeń nie zastępuje pełnego dowodu.
Właśnie dlatego problem ten został wpisany na listę siedmiu problemów milenijnych. Clay Mathematics Institute przewidział nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za poprawny dowód lub kontrprzykład.
Jest to więc nie tylko jedno z największych wyzwań matematyki, ale także problem, którego rozwiązanie mogłoby zapisać nazwisko odkrywcy na trwałe w historii nauki.
Film
Słynny rękopis
A poniżej jej twórca
Rozwój współczesnej matematyki zawdzięcza w olbrzymiej mierze swoje ukierunkowanie wielkiemu niemieckiemu uczonemu dziewiętnastego wieku Bernhardowi Riemannowi. Riemann był synem wiejskiego pastora. Za namową ojca studiuje początkowo na uniwersytecie w Getyndze teologię, lecz wkrótce jego skłonności i zainteresowania do nauk ścisłych biorą górę i młody student poświęca się całkowicie matematyce.
Słucha wykładów Gaussa, a następnie na Uniwersytecie Berlińskim wykładów tak doskonałych matematyków, jak Dirichlet, Jacobi czy Steiner. Przede wszystkim Dirichlet stał się jego wykładowcą, nauczycielem i przyjacielem. Wszystko to bardzo dodatnio wpłynęło na rozwój zdolności twórczych Riemanna.
W 1851 roku w Getyndze otrzymuje doktorat za rozprawę poświęconą teorii funkcji zespolonych, a trzy lata później zostaje docentem prywatnym po przedstawieniu dwóch prac: „O przedstawieniu funkcji przy pomocy szeregu trygonometrycznego” oraz „O hipotezach leżących u podstaw geometrii”.
Pierwsza z tych prac poświęcona była badaniom warunków Dirichleta rozwijalności funkcji na szereg Fouriera. Riemann rozwinął tu i uogólnił wyniki swego nauczyciela. Jego druga praca o geometrii jeszcze silniej pchnęła rozwój myśli matematycznej i fizycznej na nowe tory. Autor sklasyfikował istniejące rodzaje geometrii, łącznie z geometriami nieeuklidesowymi, oraz wykazał możliwość tworzenia dowolnych ilości nowych przestrzeni. Praca ta stała się jednym z fundamentów, bez których nie byłaby możliwa ogólna teoria względności Einsteina.
Riemann zostaje z kolei wykładowcą na uniwersytecie w Getyndze. Na jego pierwszy wykład przyszło podobno osiem osób, a na następne jeszcze mniej. Riemann miał bowiem początkowo trudności w prowadzeniu wykładów. Jednak z czasem nieśmiałość ustąpiła, a dzięki starannym przygotowaniom osiągał coraz lepsze rezultaty dydaktyczne.
W wykładach korzystał często z wielu wyników, których nie opublikował. Po jego śmierci udało się jednak zebrać notatki słuchaczy i wydać je jako dodatek do zebranych prac. Dzięki temu poznaliśmy jeszcze lepiej ogrom jego matematycznych idei.
Pewne wyobrażenie o tym, jak wiele zdziałał na polu matematyki, daje lista pojęć noszących jego imię: twierdzenie Riemanna–Roch, powierzchnie Riemanna, całka Riemanna, geometria Riemanna, funkcja dzeta Riemanna, hipoteza Riemanna, metoda Riemanna rozwiązywania równań różniczkowych i wiele innych.
I mimo że napisał bardzo mało prac, a opublikował jeszcze mniej, to jednak każda z nich była olbrzymiej wagi i bogata w nowe idee. Niestety gruźlica przecięła przedwcześnie jego cenne dla nauki życie.
