WIELOMIANY JEDNEJ ZMIENNEJ
Definicja
Wielomianem stopnia \(n\) jednej zmiennej \(x \in R\) nazywamy funkcję \(W\) określoną wzorem
\[
W(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\ldots+a_{1} x+a_{0},
\]
gdzie \(n \in N^{+}\)oraz \(a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_{1}, a_{0} \in R\) i \(a_{n} \neq 0\).
Liczby: \(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) nazywamy współczynnikami wielomianu. Wielomian stopnia \(n\) ma \(n+1\) współczynników.
Jednomiany: \(a_{n} x^{n}, a_{n-1} x^{n-1}, \ldots, a_{1} x^{1}\) i \(a_{0}\) nazywamy wyrazami wielomianu \(W(x)\).
Stopniem wielomianu \((n)\) nazywamy największy ze stopni jego wyrazów.
Własności wielomianów:
- Wielomian stopnia zerowego, to funkcja stała określona wzorem postaci \(W(x)=a\), gdzie \(a \neq 0\) i \(x \in R\).
- Gdy \(a_{0}=a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}=0\), to funkcję stałą \(W(x) \equiv 0\) nazywamy wielomianem zerowym. Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Zapis symboliczny: \(W(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \bigwedge_{x \in R} W(x)=0\).
- W zbiorze wielomianów wykonalne są działania: dodawania, odejmowania i mnożenia wielomianów.
Twierdzenie (o równości wielomianów)
Wielomiany jednej zmiennej:
\[
\begin{aligned}
&W(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} \\&\text { i }P(x)=b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\ldots+b_{1} x+b_{0}
\end{aligned}
\]
są równe, tzn. \(W(x)=P(x)\) wtedy, gdy:
\(1^{\circ}\) są tego samego stopnia, czyli \(n=m\), gdzie \(n, m \in N\);
\(2^{\circ}\) mają równe współczynniki przy potęgach zmiennej \(x \in R\) o tym samym wykładniku,
czyli \(a_{n}=b_{n}, a_{n-1}=b_{n-1}, \ldots, a_{0}=b_{0}\).
Twierdzenie (o podzielności wielomianów)
Jeżeli \(W(x)\) i \(P(x) \neq 0\) są wielomianami, to istnieją takie dwa jednoznacznie określone wielomiany \(Q(x)\) i \(R(x)\), że
\[
W(x)=Q(x) \cdot P(x)+R(x)
\]
przy czym wielomian \(R(x) \equiv 0\), albo stopień wielomianu \(R(x)\) jest mniejszy niż stopień wielomianu \(P(x)\).
Wielomian \(R(x)\) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez wielomian \(P(x)\).
Wielomian \(Q(x)\) nazywamy:
- ilorazem zupełnym, jeżeli \(R(x) \equiv 0\) (wówczas \(W(x)\) jest podzielny przez \(P(x)\) );
- ilorazem niezupełnym, jeżeli \(R(x) \neq 0\).
W szczególności:
\(1^{\circ}\) gdy \(P(x)=x-r\) (dwumian), to
\[
W(x)=Q(x) \cdot(x-r)+R \text {, gdzie } R=W(r) \text {; }
\]
\(2^{\circ} \operatorname{gdy} P(x)=a x^{2}+b x+c\) (trójmian kwadratowy), to
\[
W(x)=Q(x) \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right)+R(x) \text {, gdzie } R(x)=p x+q .
\]
Definicja
Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez wielomian \(P(x) \neq 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(Q(x)\) taki, że \(W(x)=Q(x) \cdot P(x) . \quad(R(x) \equiv 0)\)
Dla oznaczenia podzielności wielomianu \(W(x)\) przez wielomian \(P(x)\) używamy zapisu: \(W(x) \mid P(x)\).
Twierdzenie (Bezout'a)
Liczbar jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-r\), tzn.
\[
W(x) \mid(x-r) \Leftrightarrow W(r)=0 .
\]
Definicja
Liczba \(r\) jest pierwiastkiem \(k\)-krotnym wielomianu \(W(x)\) stopnia \(n(k, n \in N\) i \(k \leq n)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \((x-r)^{k}\),
a nie jest podzielny przez \((x-r)^{k+1}\).
Warunek jest równoważny warunkowi: istnieje taki wielomian \(Q(x)\), że zachodzi tożsamość: \(W(x)=(x-r)^{k} \cdot Q(x)\), gdzie \(Q(r) \neq 0\).
Liczbę \(k\) nazywamy krotnością pierwiastka \(r\).
Twierdzenie
Liczba \(r\) jest pierwiastkiem \(k\)-krotnym wielomianu \(W(x)\), wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
W(r)=W^{\prime}(r)=W^{\prime \prime}(r)=\ldots=W^{(k-1)}(r)=0 \text { i } W^{(k)}(r) \neq 0,
\]
gdzie \(W^{(k)}\) jest \(k\)-tą pochodną wielomianu \(W(x)\).
Twierdzenie
Wielomian jednej zmiennej stopnia \(n\) ma co najwyżej \(n\) pierwiastków rzeczywistych.
Twierdzenie
Wielomian jednej zmiennej nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.
Twierdzenie(o postaci iloczynowej wielomianu)
Jeśli liczby \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)\) stopnia \(n\), to
\[
W(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right) \cdot\left(x-x_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(x-x_{n}\right) .
\]
Twierdzenie
Jeżeli wielomian \(W(x)\) jest postaci iloczynowej (4.10), to równanie \(W(x)=0\) jest równoważne alternatywie równań: \(x-x_{1}=0 \vee x-x_{2}=0 \vee \ldots \vee x-x_{n}=0\)
Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian jednej zmiennej stopnia większego niż dwa \((n>2)\) można przedstawić w postaci iloczynu, którego czynnikami są wielomiany stopnia pierwszego lub wielomiany stopnia drugiego o ujemnych wyróżnikach \((\Delta<0)\).
