Definicja.
Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy układ, który da się przedstawić w postaci
\[
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y=c_1 \\
a_2 x+b_2 y=c_2
\end{array},\right.
\]
\(\operatorname{gdzie} a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \in R\).
Nieformalnie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest więc koniunkcją dwóch równań, z których każde można doprowadzić do takiej postaci, aby obie niewiadome występowały w pierwszych potegach.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
\[
W=\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right|=a_1 b_2-b_1 a_2
\]
Liczbę \(W\) nazywamy wyznacznikiem głównym powyższego układu równań liniowych.
\[
W_x=\left|\begin{array}{ll}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{array}\right|=c_1 b_2-b_1 c_2
\]
Liczbę \(W_x\) nazywamy wyznacznikiem po zmiennej \(x\) powyższego układu równań liniowych.
\[
W_y=\left|\begin{array}{ll}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{array}\right|=a_1 c_2-c_1 a_2
\]
Liczbę \(W_y\) nazywamy wyznacznikiem po zmiennej \(y\) powyższego układu równań liniowych.
Twierdzenie.
Układ równań
\[
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y=c_1 \\
a_2 x+b_2 y=c_2
\end{array}\right.
\]
- posiada jedno rozwiązanie, gdy \(W \neq 0\) (tzn. wyznacznik główny układu jest niezerowy), przy czym rozwiązaniem jest para liczb \((x, y)\), gdzie
\[
x=\frac{W_x}{W}, y=\frac{W_y}{W} ;
\]
- nie posiada rozwiązań, gdy \(W=0\) oraz \(W_x \neq 0\) lub \(W_y \neq 0\) (czyli, gdy zeruje się wyznacznik główny układu, a przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od zera).
W przypadku, gdy \(W=W_x=W_y=0\) (czyli, gdy zerują się wszystkie z wyznaczników układu) układ może mieć nieskończenie wiele rozwiązań lub być sprzeczny (czyli nie posiadać żadnego rozwiązania).
W przypadku, gdy przynajmniej jeden ze współczynników \(a_1, b_1, a_2, b_2\) jest różny od zera (a tak jest często w praktyce) zerowanie się wszystkich wyznaczników układu \(\left(W=W_x=W_y=0\right)\) pociąga za sobą istnienie nieskończenie wielu rozwiązań układu równań liniowych.
Interpretacja graficzna układu równań liniowych z dwoma niewiadomymi jest następująca. Równania występujące w układzie równań są najczęściej równaniami prostych w układzie współrzędnych. Układ równań reprezentuje więc dwie proste w układzie współrzędnych. Proste te mogą się przecinać, pokrywać lub mogą nie mieć punktów wspólnych (tzn. są równoległe). W pierwszym przypadku układ ma jedno rozwiązanie, w drugim nieskończenie wiele rozwiązań, w ostatnim zaś nie posiada rozwiązań. Interpretacja graficzna układu równań liniowych przedstawiona jest na rysunkach:
Najczęściej stosowane metody rozwiązywania układów równań liniowych:
-metodę podstawiania;
-metodę przeciwnych współczynników;
-metodę wyznaczników;
-metodę graficzną;
Metoda podstawiania polega na tym, że z jednego z równań wyznaczamy jedną z niewiadomych, następnie wstawiamy tak wyliczoną wartość niewiadomej do drugiego z równań. Drugie równanie staje się wtedy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Następnie rozwiązujemy to równanie i tak otrzymujemy wartość jednej z niewiadomych. Następnie wracamy do podstawienia i wyliczamy druga niewiadomą. Metodę podstawiania zilustrujemy poniższym przykładem.
Przykład. Rozwiąż układ równań \(\left\{\begin{array}{l}x+2 y=7 \\ 3 x-5 y=3\end{array}\right.\).
Zauważmy, że najwygodniej będzie wyliczyć niewiadomą \(x\) z pierwszego równania. Po wyliczeniu niewiadomej \(x\) otrzymujemy układ
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=7-2 y \\
3 x-5 y=3
\end{array}\right.
\]
Wstawiamy tak wyliczoną niewiadomą \(x\) do drugiego z równań
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=7-2 y \\
3(7-2 y)-5 y=3
\end{array}\right.
\]
Rozwiązujemy drugie z równań
\[
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
x=7-2 y \\
21-6 y-5 y=3
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
x=7-2 y \\
-11 y=-18
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
x=7-2 y \\
y=\frac{18}{11}
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
Teraz wstawiamy obliczoną wartość zmiennej \(y\) do pierwszego równania \(\mathrm{i}\) otrzymujemy ostatecznie
\[
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
x=7-2 \cdot \frac{18}{11} \\
y=\frac{18}{11}
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
x=\frac{41}{11} \\
y=\frac{18}{11}
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
Zatem rozwiązaniem tego układu jest para \(\left(\frac{41}{11}, \frac{18}{11}\right)\).
Metoda podstawiania jest metodą dość prostą, lecz czasem niewygodną. Stosuje się ją najczęściej, jeśli występują małe współczynniki przy niewiadomych i są one liczbami całkowitymi (np. gdy przy jednej z niewiadomych mamy liczbę jeden). Nie używa się jej raczej, gdy współczynniki są skomplikowanymi lub dużymi liczbami (np. ułamkami, pierwiastkami, itp.). Natomiast metoda ta jest bardzo dobra do rozwiązy wania układów równań nieliniowych, o czym czytelnik dowie się w punkcie \(5.2\).
Metoda przeciwnych współczynników polega na tym, że mnożymy oba równania przez takie liczby, aby współczynniki przy jednej z niewiadomych w pierwszym i drugim równaniu były liczbami do siebie przeciwnymi. Następnie dodajemy do siebie stronami oba równania i otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą. Równanie to rozwiązujemy otrzymując jedną z niewiadomych, następnie wracamy do któregoś z początkowych równań, wstawiamy wyliczoną wartość jednej z niewiadomych i rozwiązujemy równanie uzyskując wartość drugiej niewiadomej. Metodę przeciwnych współczynników zilustrujemy przykładem.
Przykład. Rozwiąż układ równań
\(\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=12 \\5 x-7 y=-11\end{array}\right. \text {. }\)
Najpierw musimy zdecydować, której z niewiadomych chcemy się "pozbyć", to znaczy, przy której z niewiadomych chcemy mieć w obu równaniach przeciwne współczynniki. Załóżmy, że przeciwne współczynniki chcemy mieć przy zmiennej \(x\). Zauważmy, że przy zmiennej \(x\) w obu równaniach mamy liczby 5 oraz 3 . Wystarczy więc pierwsze z równań pomnożyć przez 5 , a drugie przez \(-3\) i otrzymamy w obu równaniach przeciwne współczynniki przy zmiennej \(x\)
\[
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
3 x+2 y=12 / \cdot 5 \\
5 x-7 y=-11 / \cdot(-3)
\end{array}\right. \\
& +\left\{\begin{array}{l}
15 x+10 y=60 \\
-15 x+21 y=33
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
Dodajemy teraz oba równania stronami do siebie i otrzymujemy jedno równanie, jako drugie równanie do układu równań wybieramy dowolne z początkowych równań (najlepiej o małych współczynnikach)
\[
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
15 x+10 y-15 x+21 y=60+33 \\
3 x+2 y=12
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
31 y=93 /: 31 \\
3 x+2 y=12
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
Otrzymane równanie z jedną niewiadomą rozwiązujemy, a następnie wyliczoną wartość niewiadomej \(y\) wstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy równanie, które pozwoli nam obliczyć wartość niewiadomej \(x\) :
\[
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
y=3 \\
3 x+2 \cdot 3=12
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
y=3 \\
3 x=6 /: 3
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=3
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]
Zatem rozwiązaniem tego układu jest para (2,3).
Metoda przeciwnych współczynników jest używana, gdy albo współczynniki w wyjściowym układzie są już przeciwne, albo gdy można łatwo doprowadzić do takiej sytuacji. Znów jednak współczynniki nie mogą być zbyt dużymi lub skomplikowanymi liczbami, gdyż obliczenia wtedy stają się bardzo żmudne.
Metoda wyznaczników. Pozwala ona rozwiązywać układy o dużych lub skomplikowanych współczynnikach. Ma ona też tą zaletę, że zanim przystąpimy do rozwiązywania układu wiemy, czy ma on w ogóle rozwiązanie, we wcześniejszych metodach zaczynaliśmy rozwiązywać układ równań, mimo że mógł on w ogóle nie mieć rozwiązań. Korzystając z metody wyznaczników musimy pamiętać jednak, że układ musimy przedstawić w postaci uporządkowanej tzn. w postaci
\[
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y=c_1 \\
a_2 x+b_2 y=c_2
\end{array} .\right.
\]
Metoda wyznaczników polega na obliczeniu liczb \(W, W_x, W_y\) i skorzystaniu z twierdzenia 5.2. Metodę zilustrujemy przykładem.
Przykład. Rozwiąż układ równań \(\left\{\begin{array}{l}34 x+25 y=120 \\ 16 x-15 y=20\end{array}\right.\).
Obliczamy wartości wyznaczników:
\[
\begin{aligned}
& W=\left|\begin{array}{cr}
34 & 25 \\
16 & -15
\end{array}\right|=34 \cdot(-15)-25 \cdot 16=-510-400=-910 \\
& W_x=\left|\begin{array}{cr}
120 & 25 \\
20 & -15
\end{array}\right|=120 \cdot(-15)-25 \cdot 20=-1800-500=-2300 \\
& W_y=\left|\begin{array}{cc}
34 & 120 \\
16 & 20
\end{array}\right|=34 \cdot 20-120 \cdot 16=680-1920=-1240
\end{aligned}
\]
Ponieważ \(W \neq 0\), układ ten ma jedno rozwiązanie oraz
\[
x=\frac{W_x}{W}=\frac{-2300}{-910}=\frac{230}{91}, y=\frac{W_y}{W}=\frac{-1240}{-910}=\frac{124}{91} .
\]
Zatem rozwiązaniem układu jest para \(\left(\frac{230}{91}, \frac{124}{91}\right)\).
Metoda graficzna polega na przedstawieniu wykresów obu równań w układzie współrzędnych i odczytaniu miejsca przecięcia się prostych będących wykresami równań układu. Należy jednak pamiętać, że ma ona małe znaczenie praktyczne, gdyż nie zawsze łatwo jest odczytać rozwiązanie z rysunku, poza tym efekt zależy od dokładności rysunku, należy więc metodę graficzną traktować jako pomocniczą.
Przykład. Rozwiąż graficznie układ równań \(\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ 3 x-y=8\end{array}\right.\).
Przedstawimy dany układ w takiej postaci, aby w obu równaniach występowały wzory funkcji liniowych
\[
\left\{\begin{array}{l}
y=4-x \\
y=3 x-8
\end{array}\right.
\]
Następnie w jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji \(f(x)=4-x\) oraz \(g(x)=3 x-8\) i odczytujemy punkt przecięcia się wykresów
Rozwiązaniem układu jest więc para \((3,1)\)
Zapraszam również do obejrzenia moich lekcji video o układach równań liniowych:
- Układy równań liniowych z dwoma niewiadomymi (4 metody) - video lekcja
- Układy równań liniowych z dwoma niewiadomymi - metoda wyznaczników - video lekcja
- Układy równań liniowych z parametrem - I sposób - video lekcja
- Układy równań liniowych z parametrem - II sposób - video lekcja
