Funkcją określoną na zbiorze \(X\) o wartościach w zbiorze \(Y\) nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi \(x \in X\) przyporządkowuje dokładnie jeden element \(y \in Y\) (zwany wartością funkcji w punkcie \(x\) ).
Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną funkcji, \(Y\) - przeciwdziedziną (zbiorem wartości).
Zapis \(f: X \rightarrow Y\) czytamy: \(f\) jest funkcją określoną na zbiorze \(X\) o wartościach w zbiorze \(Y\).
Wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x\) oznaczamy symbolem \(f(x)\).
Jeżeli \(X, Y\) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych \(\mathbf{R}\), to funkcję \(f: X \rightarrow Y\) nazywamy funkcją rzeczywistą.
Funkcja rzeczywista \(f\) taka, że \(\bigwedge_{x \in D_{f}}-x \in D_{f}\) jest:
parzysta jeżeli \(\displaystyle\bigwedge_{x \in D_{f}} f(-x)=f(x)\),
nieparzysta jeżeli \(\bigwedge_{x \in D_{f}} f(-x)=-f(x)\).
Wykresem funkcji \(f: D \rightarrow \mathbf{R}\) nazywamy zbiór \(\Gamma(f)=\) \(=\{(x, f(x)): x \in D\}\).
- Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(O y\).
- Wykres funkcji nieparzystej jest środkowo-symetryczny względem punktu \((0,0)\).
Funkcja rzeczywista \(f\) jest okresowa, jeżeli istnieje liczba \(T \neq 0\) taka, że \(\bigwedge_{x \in D_{f}}(x+T) \in D_{f},(x-T) \in D_{f}\) oraz \(f(x+T)=f(x)\).
Funkcja rzeczywista \(f: D \rightarrow \mathbf{R}\) jest:
- rosnąca, gdy \(\bigwedge_{x_{1}, x_{2} \in D}\left[x_{1}<x_{2}\right] \Rightarrow\left[f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)\right]\),
- niemalejąca, gdy \(\bigwedge_{x_{1}, x_{2} \in D}\left[x_{1}<x_{2}\right] \Rightarrow\left[f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)\right]\),
- malejąca, gdy \(\bigwedge_{x_{1}, x_{2} \in D}\left[x_{1}<x_{2}\right] \Rightarrow\left[f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)\right]\),
- nierosnąca, gdy \(\bigwedge_{x_{1}, x_{2} \in D}\left[x_{1}<x_{2}\right] \Rightarrow\left[f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right)\right]\),
- monotoniczna, jeżeli jest nierosnąca lub niemalejąca,
- różnowartościowa, gdy \(\bigwedge_{x_{1}, x_{2} \in D}\left[x_{1} \neq x_{2}\right] \Rightarrow\left[f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\right]\),
- ograniczona, gdy \(\bigvee_{M \in \mathbf{R}} \bigwedge_{x \in D}|f(x)| \leqslant M\).
Jeżeli \(A\) jest podzbiorem zbioru \(D\), to zbiór \(f(A)=\{f(x)\) : \(x \in A\}\) nazywamy obrazem zbioru \(A\). Zbiór \(f(D)\) nazywamy zbiorem wartości funkcji \(f\).
Funkcja rzeczywista \(f\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta równoległa do osi Ox przecina wykres \(f\) w co najwyżej jednym punkcie.
Funkcja rzeczywista \(f\) jest ograniczona, jeżeli jej wykres leży między dwiema prostymi równoleglymi do osi \(O x\) (rys. 10).
Jeżeli A jest podzbiorem zbioru \(D\), to \(f(A)\) jest rzutem części wykresu funkcji f, która leży nad zbiorem A, na oś Oy (rys. 11). W szczególności zbiór wartości funkcji \(f\) jest rzutem jej wykresu na oś Oy.
