Egzamin maturalny z matematyki
Poziom Rozszerzony
Czerwiec 2012
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom Rozszerzony
Czerwiec 2012 • Czas pracy: 180 minut
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom Rozszerzony — rozwiązania
Czerwiec 2012
Arkusz CKE — czerwiec 2012
12 zadań • 50 punktów
Zadanie 1.
4 pktRozwiąż nierówność \(|x-2|+|x+1|\ge3x-3\).
Rozwiązanie
Punkty zmiany znaków wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi to \(x=-1\) i \(x=2\).
Dla \(x<-1\):
Cały przedział \((-\infty,-1)\) spełnia więc nierówność.
Dla \(-1\le x<2\):
zatem spełniony jest cały przedział \([-1,2)\).
Dla \(x\ge2\):
Z tego przypadku otrzymujemy tylko \(x=2\).
Zadanie 2.
4 pktWielomian \(W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9\) jest kwadratem wielomianu \(P(x)=x^2+cx+d\). Oblicz \(a\) oraz \(b\).
Rozwiązanie
Rozwijamy kwadrat wielomianu \(P\):
Porównanie współczynników z wielomianem \(W\) daje
Z ostatniej równości \(d=3\) lub \(d=-3\).
- Dla \(d=3\) mamy \(c=-4\), zatem \(a=-8\) i \(b=16+6=22\).
- Dla \(d=-3\) mamy \(c=4\), zatem \(a=8\) i \(b=16-6=10\).
Zadanie 3.
5 pktKąt \(\alpha\) jest taki, że \(\cos\alpha+\sin\alpha=\dfrac43\). Oblicz wartość wyrażenia \(|\cos\alpha-\sin\alpha|\).
Rozwiązanie
Podnosimy podaną równość do kwadratu:
Korzystając z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), otrzymujemy
Teraz obliczamy kwadrat szukanego wyrażenia:
Wartość bezwzględna jest nieujemna, dlatego wybieramy dodatni pierwiastek.
Zadanie 4.
5 pktWyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(2x^2+(3-2m)x-m+1=0\) ma dwa różne pierwiastki \(x_1,x_2\) takie, że \(|x_1-x_2|=3\).
Rozwiązanie
Lewą stronę równania można rozłożyć na czynniki:
Pierwiastkami są więc
Warunek z treści zadania przyjmuje postać
Stąd \(m-\frac12=3\) lub \(m-\frac12=-3\), czyli \(m=\frac72\) albo \(m=-\frac52\). Dla obu wartości pierwiastki są różne.
Zadanie 5.
5 pktW ciągu arytmetycznym \((a_n)\), dla \(n\ge1\), dane są \(a_1=-2\) oraz różnica \(r=3\). Oblicz największe \(n\) takie, że \(a_1+a_2+\ldots+a_n<2012\).
Rozwiązanie
Suma pierwszych \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa
Rozwiązujemy nierówność
Dodatni pierwiastek trójmianu wynosi
Szukamy dodatniej liczby całkowitej, zatem największym kandydatem jest 37. Dla kontroli:
Zadanie 6.
3 pktUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c\) i \(d\) prawdziwa jest nierówność \(ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}\).
Rozwiązanie
Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy równoważnie podnieść je do kwadratu:
Po rozwinięciu obu stron i skróceniu składników \(a^2c^2\) oraz \(b^2d^2\) pozostaje
Po przeniesieniu lewej strony na prawą otrzymujemy
Zadanie 7.
4 pktOkrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach \(A=(0,2)\) i \(B=(2,0)\) oraz jest styczny do prostej \(l\) w punkcie \(C=(1,a)\), gdzie \(a>1\). Wyznacz równanie prostej \(l\).
Rozwiązanie
Środkiem okręgu jest \(S=(2,2)\), a jego promień ma długość 2. Równanie okręgu ma więc postać
Punkt \(C=(1,a)\) leży na okręgu, zatem
Stąd \(a=2\pm\sqrt3\). Warunek \(a>1\) spełnia tylko \(a=2+\sqrt3\), więc \(C=(1,2+\sqrt3)\).
Współczynnik kierunkowy promienia \(SC\) wynosi \(-\sqrt3\). Styczna jest prostopadła do promienia, zatem jej współczynnik kierunkowy to \(\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).
Zadanie 8.
5 pktW czworokącie \(ABCD\) dane są długości boków: \(AB=24\), \(CD=15\), \(AD=7\). Ponadto kąty \(DAB\) oraz \(BCD\) są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.
Rozwiązanie
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(BAD\):
W trójkącie prostokątnym \(BCD\):
Pole czworokąta jest sumą pól dwóch trójkątów prostokątnych:
Przeciwległe kąty \(DAB\) i \(BCD\) mają po \(90^\circ\), więc czworokąt jest wpisany w okrąg, a \(BD\) jest jego średnicą. Z twierdzenia Ptolemeusza:
Zadanie 9.
3 pktOblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez \(A_6\) zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez 6, a przez \(A_{15}\) — zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez 15.
Liczb trzycyfrowych podzielnych przez 6 jest
Analogicznie liczb podzielnych przez 15 jest \(66-6=60\). Liczby podzielne jednocześnie przez 6 i 15 są podzielne przez \(\operatorname{NWW}(6,15)=30\); jest ich \(33-3=30\).
Stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń:
Zadanie 10.
4 pktNa płaszczyźnie dane są punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(11,4)\). Na prostej o równaniu \(y=8x+10\) znajdź punkt \(P\), dla którego suma \(|AP|^2+|BP|^2\) jest najmniejsza.
Rozwiązanie
Każdy punkt prostej \(y=8x+10\) ma postać \(P=(x,8x+10)\). Kwadraty odległości wynoszą
Ich suma jest funkcją kwadratową
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku:
Wtedy \(y=8(-1)+10=2\).
Zadanie 11.
5 pktPodstawą ostrosłupa \(ABCS\) jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(AB=30\), \(BC=AC=39\) i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Wysokość trójkąta równoramiennego \(ABC\) opuszczona na podstawę \(AB\) ma długość
Stąd pole podstawy:
Wszystkie wysokości ścian bocznych mają tę samą długość. Oznacza to, że spodek \(O\) wysokości ostrosłupa jest jednakowo odległy od boków trójkąta \(ABC\), czyli jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę.
Półobwód podstawy wynosi \(p=\frac{30+39+39}{2}=54\). Ze wzoru \(P_p=pr\) obliczamy promień okręgu wpisanego:
W przekroju zawierającym wysokość ostrosłupa, promień wpisanego okręgu i wysokość ściany bocznej otrzymujemy trójkąt prostokątny:
Zatem
Zadanie 12.
3 pktZdarzenia losowe \(A,B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz \(P(A\cap B')=0{,}1\) i \(P(A'\cap B)=0{,}2\). Wykaż, że \(P(A\cap B)\le0{,}7\) (\(A'\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\), \(B'\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(B\)).
Rozwiązanie
Zdarzenia \(A\cap B'\), \(A'\cap B\) oraz \(A\cap B\) są parami rozłączne. Ich suma jest zdarzeniem \(A\cup B\):
Zatem
Po podstawieniu danych:
