1. \(y=\left\{\begin{array}{l}0 \text { dla } 0 \leqslant x \leqslant 1000 \\ \frac{1}{5} x-200 \text { dla } 1000<x \leqslant 11000 \\ \frac{3}{10} x-1300 \text { dla } x>11000\end{array}\right.\)
2. Rozwiązaniem danego układu równań jest dokładnie jedna para liczb \(x=\frac{m^{2}+m-2}{m^{2}+4}\), \(y=\frac{-3 m-2}{2\left(m^{2}+4\right)}\) dla dowolnej wartości parametru \(m\). Warunki \(x>0\) i \(y<0\) są spełnione dla \(m \in(1 ;+\infty)\).
3. 150 zl .Wskazówka. Zależność zysku od ustalonej ceny aparatu można opisać wzorem
\[
f(n)=(40+n)(160-n)-(40+n) \cdot 100=-n^{2}+20 n+2400, \text { gdzie } n \in N_{+} \mathrm{i} n<60
\]
4. a) \(m \in(-1 ; 1-\sqrt{2}) \cup(1 ; 1+\sqrt{2})\).
b) \(y=x+\frac{3}{4}\) i \(y=-x+\frac{3}{4}\).
5. a) \(m \in\left(0 ; \frac{1}{5}\right) \cup(1 ; 2)\).
b) \(m \in\{0,3,4\}\).
6. \(m \in(9 ;+\infty)\).
7. \(m \in\left(-\frac{1}{2} ; 0\right\rangle \cup\{4\}\).
Wskazówka. Równanie \(m x^{4}-(m+2) x^{2}+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0\) ma dwa rozwiązania, gdy równanie \(m t^{2}-(m+2) t+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0\), gdzie \(t \geqslant 0\left(t=x^{2}\right)\), ma jedno rozwiązanie dodatnie.
8. \(m \in\left\langle-\frac{13}{3} ;-3\right) \cup\left(\frac{7}{3} ;+\infty\right)\).
Wskazówka. Wielomian \(W\) można zapisać w postaci
\[
W(x)=(x+1)\left((m-4) x^{2}-(2 m+2) x+m+3\right)
\]
9. \(a=-7, b=14, c=-8, x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4\).
10. \(m \in(2 ; 3)\).
11. a) \(m \in(-\infty ;-2) \cup(2 ;+\infty)\).
12. a) \(a_{3}\).
b) \(a_{1}<1, a_{2}<1, a_{3}>1, a_{4}<1, a_{5}<1, a_{6}>1\).
c) \(x \in\left\langle 2^{0,1} ; 2\right\rangle \cup\left\{\log _{\pi} 3\right\}\).
13. a) \(x \in(-\infty ; 3\rangle\).
b) Wskazówka. Rozważmy nierówność
\[
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c)-f(2 a)-f(2 b)-f(2 c) \leqslant 0
\]
Korzystając z równości \(f(x)=\frac{1}{x}\), przekształcamy lewą stronę:
\[
\begin{gathered}
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c)-f(2 a)-f(2 b)-f(2 c)= \\
=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}-\frac{1}{2 a}-\frac{1}{2 b}-\frac{1}{2 c}= \\
=\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{4 a}-\frac{1}{4 b}\right)+\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{4 a}-\frac{1}{4 c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{4 b}-\frac{1}{4 c}\right)= \\
=\frac{-(a-b)^{2}}{4 a b(a+b)}+\frac{-(a-c)^{2}}{4 a c(a+c)}+\frac{-(b-c)^{2}}{4 b c(b+c)}= \\
=-\left(\frac{(a-b)^{2}}{4 a b(a+b)}+\frac{(a-c)^{2}}{4 a c(a+c)}+\frac{(b-c)^{2}}{4 b c(b+c)}\right) \leqslant 0 .
\end{gathered}
\]
14. Rozwiązaniem równania jest \(x=0\). Ponieważ rozwiązanie to należy do zbiorów \(A\) i \(B\), więc należy ono także do zbioru \(A \cap B\).
Uwaga. Zauważ, że nie jest konieczne wyznaczanie zbioru \(A \cap B\).
15. \(A=\langle-2 ;+\infty), B=(1 ; 2), C=(-2 ; 2)\).
a) \((A \backslash B) \cap(A \cup B)=A \backslash B=\langle-2 ; 1\rangle \cup\langle 2 ;+\infty)\).
b) \((A \backslash B) \cap C=(-2 ; 1\rangle\).
Wskazówka. Sprawdź, że \(2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\), następnie w nierówności podstaw \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=t\) \((t>0)\).
16. \(A=(-\infty ; 6), \quad B=(2 ;+\infty), \quad A \cap B=(2 ; 6)\).
17. a) \(p=\frac{5}{12}, \quad A=\left(-\infty ; \frac{7}{3}\right) \cup\left(\frac{17}{2} ;+\infty\right), B=\left(-1 ; \frac{4}{5}\right\rangle \cup(1 ;+\infty), \quad C=(2 ; 3) \cup(3 ; 4)\).
b) \(2,6,7,8,9,10\).
18. \(A=(-3 ;-1) \cup(1 ;+\infty), B=\left(\frac{9}{2} ; 5\right), \quad C=\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi ; \frac{3}{2} \pi\right), \quad(B \cup C) \cap A=\left(1 ; \frac{\pi}{2}\right) \cup(\pi ; 5)\). Spośród liczb naturalnych tylko liczby 4 i 5 należą do zbioru \((B \cup C) \cap A\).
19. \(A=(-\infty ; 2\rangle, \quad B=\left\langle 0 ; \frac{\pi}{3}\right\rangle \cup\left\langle\pi ; \frac{5 \pi}{3}\right\rangle \cup\{2 \pi\}, \quad C=\langle-2 \sqrt{2} ; 2 \sqrt{2}\rangle, \quad A \cap B \cap C=\left\langle 0 ; \frac{\pi}{3}\right\rangle\).
20. a) \(x \in(-2 ;-1) \cup(2 ;+\infty)\).
b) Wskazówka. Przekształć lewą stronę nierówności tak, aby oba logarytmy miały tę samą podstawe.
21. Należy dodać 10 wyrazów ( \(a_{1}=-4, a_{3}=2\) ).
22. \(a_{n}=-\frac{5}{2} n+\frac{11}{2}, a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{21}=-242 \quad(x=0)\).
23. Szesnastego dnia podróży pana \(A\).
24. a) \(a_{31}=108\).
b) \(a_{n+1}-a_{n}=4\).
c) \(a_{2}, a_{3}, a_{4}\) lub \(a_{4}, a_{5}, a_{6}\) lub \(a_{6}, a_{7}, a_{8}\).
25. a) \(a_{n}=3 n-5\).
b) \(k=2\).
c) \(n=13\).
26. a) \(a_{n}=-\frac{2}{5} n+\frac{1}{2}, \quad b_{n}=5 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).
b) \(c_{1}=567\).
Wskazówka. Zauważ, że \(c_{2}-c_{1}=a_{1}, c_{3}-c_{2}=a_{2}, \ldots, c_{55}-c_{54}=a_{54}\). Po dodaniu stronami tych równości otrzymamy \(-c_{1}+c_{55}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{54}\).
27. a) 16 boków.
b) Wskazówka.
\[
\begin{aligned}
& a_{1}-\binom{n}{1} a_{2}+\binom{n}{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{k+1}+\ldots+(-1)^{n} a_{n+1}= \\
& =a_{1}-\binom{n}{1}\left(a_{1}+r\right)+\binom{n}{2}\left(a_{1}+2 r\right)+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k}\left(a_{1}+k r\right)+\ldots+(-1)^{n}\left(a_{1}+n r\right)= \\
& =\left[a_{1}-\binom{n}{1} a_{1}+\binom{n}{2} a_{1}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{1}+\ldots+(-1)^{n} a_{1}\right]+ \\
& \quad+r\left[0-\binom{n}{1} \cdot 1+\binom{n}{2} \cdot 2+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} \cdot k+\ldots+(-1)^{n} \cdot n\right]=
\end{aligned}
\]
(Wykorzystując równość \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{n}{k}\) dla \(k: 0<k<n\).)
\[
\begin{aligned}
= & a_{1}(1-1)^{n}+r\left[0-\binom{n-1}{0} \cdot n+\binom{n-1}{1} \cdot \frac{n}{2} \cdot 2+\ldots\right. \\
& \left.\quad+(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{n}{k} \cdot k+\ldots+(-1)^{n}\binom{n-1}{n-1} \cdot \frac{n}{n} \cdot n\right]= \\
= & a_{1} \cdot 0+r n\left[-\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}-\binom{n-1}{2}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1}+\ldots+(-1)^{n}\binom{n-1}{n-1}\right]= \\
= & -r n(1-1)^{n-1}=0
\end{aligned}
\]
28. a) \(p=2\).
b) \(x=-\frac{1}{4}\).
Wskazówka. Pamiętaj o warunku \(\left|\frac{1}{1-x}\right|<1\).
29. a) \(A=(-\infty ; 2\rangle, B=(-4 ; 6), \quad A \cap B=(-4 ; 2\rangle, A \backslash B=(-\infty ;-4\rangle\).
b) \(D=\left(\frac{1}{27} ; \frac{1}{3}\right\rangle, D \subset(A \cap B), \quad[(A \cap B) \backslash D]^{\prime}=(-\infty ;-4\rangle \cup\left(\frac{1}{27} ; \frac{1}{3}\right\rangle \cup(2 ;+\infty)\).
Wskazówka. Zauważ, że ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=2-\log _{\frac{1}{3}} x\). Ciąg geometryczny jest zbieżny, gdy \(|q|<1\) lub \(q=1\).
30. a) \(a=6\).
c) Równanie \(f(x)=k\) ma jedno rozwiązanie dla \(k \in(-\infty ;-1) \cup(12,5 ;+\infty)\), ma dwa rozwiązania dla \(k=-1\) i dla \(k=12,5\), ma trzy rozwiązania dla \(k \in(-1 ; 12,5)\).
31. \(k=3, n=-4\).
32. Rozważane styczne mają równania \(y=x\) i \(y=-x\).
33. a) \(a=1, b=4\).
b) \(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}\) dla \(x \in R \backslash\{-2,2\}\).
c) \(y=\frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\) i \(y=-\frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\).
d) \(y=1, x=-2\) i \(x=2\).
34. \(a=0, b=2\).
Równanie \(f(x)=x^{2}+m\) ma dwa rozwiązania dla \(m \in(-2 ;+\infty)\), ma trzy rozwiązania dla \(m=-2\), ma cztery rozwiązania dla \(m \in(-\infty ;-2)\).
Wskazówka. Równanie \(f(x)=x^{2}+m\) można przekształcić do postaci \(\frac{-x^{4}+x^{2}+2}{x^{2}-1}=m\). Naszkicuj wykres funkcji \(g(x)=\frac{-x^{4}+x^{2}+2}{x^{2}-1}\).
35. \(f(x)=x^{3}-6 \sqrt{3} x^{2}+24 x\) dla \(x \in R\),
\(f(0)=f(2 \sqrt{3})=f(4 \sqrt{3})=0\),
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\),
\(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12 \sqrt{3} x+24\) dla \(x \in R\),
funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 2 \sqrt{3}-2)\)
oraz \((2 \sqrt{3}+2 ;+\infty)\),
funkcja jest malejąca w przedziale \((2 \sqrt{3}-2 ; 2 \sqrt{3}+2)\),
\(y_{\text {min }}=f(2 \sqrt{3}+2)=-16\),
\(y_{\max }=f(2 \sqrt{3}-2)=16\).
36. a) \(f(x)=\frac{4 x}{x^{2}+1}\) dla \(x \in R\), funkcja jest nieparzysta, \(f(0)=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0\), prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{-4 x^{2}+4}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle-1 ; 1\rangle\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty ;-1\rangle\) oraz \(\langle 1 ;+\infty), y_{\max }=f(1)=2\), \(y_{\text {min }}=f(-1)=-2\).
b) \(a \in(-\infty ;-2\rangle \cup\langle 2 ;+\infty)\).
37. \(f(x)=\frac{4 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-2 x}\) dla \(x \in R \backslash\{0,2\}\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0\),
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=4\),
\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty\),
\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty\),
prosta \(y=4\) jest asymptotą poziomą,
proste \(x=0\) i \(x=2\) są asymptotami pionowymi, \(f^{\prime}(x)=\frac{-6 x+6}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{0,2\}\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 0)\) oraz \((0 ; 1)\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((1 ; 2)\) oraz \((2 ;+\infty)\),
\(y_{\text {max }}=f(1)=1\) 。
38. a) \(f(x)=\frac{4 x^{2}-3 x-1}{4 x^{2}+1}\) dla \(x \in R, f(0)=-1, f\left(-\frac{1}{4}\right)=f(1)=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\), prosta \(y=1\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{12 x^{2}+16 x-3}{\left(4 x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)\) oraz \(\left(\frac{1}{6} ;+\infty\right)\), funkcja jest malejąca w przedziale \(\left(-\frac{3}{2} ; \frac{1}{6}\right)\), \(y_{\max }=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{4}, y_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{5}{4}\).
b) \(m \in(-\infty ;-1\rangle \cup\langle 1 ;+\infty)\).
Wskazówka. Naszkicuj wykres funkcji \(y=f(|x|-1)\).
39. \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{x-1}\) dla \(x \in R \backslash\{1\}, f(0)=f(3)=0\), \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\), \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=-\infty\), prosta \(x=1\) jest asymptotą pionowa, \(f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x+3}{(x-1)^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{1\}\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 1)\) oraz \((1 ;+\infty)\).
Dla \(x=-4\) funkcja \(f\) osiąga w przedziale \(\left\langle-4 ; \frac{1}{2}\right\rangle\) wartość najmniejszą, równą \(-\frac{28}{5}\), dla \(x=\frac{1}{2}\) funkcja
ta osiąga wartość największą, równą \(\frac{5}{2}\).
40. a) \(m \in(-\infty ; 0) \cup\left(0 ; \frac{1}{4}\right)\).
b) Dla \(m=\frac{1}{8}\) funkcja \(f\) osiąga ekstremum i jest to maksimum.
c) \(f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{0\}, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty\), \(f(1)=0\), prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą, prosta \(x=0\) jest asymptotą pionową, \(f^{\prime}(x)=\) \(=\frac{2-x}{x^{3}}\) dla \(x \in R \backslash\{0\}\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((0 ; 2)\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty ; 0)\) oraz \((2 ;+\infty), y_{\max }=f(2)=\frac{1}{4}\).
41. \(f(x)=-\frac{(1-x)^{2}}{x^{2}-2 x}\) dla \(x \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty), \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty\), proste \(x=0\) oraz \(x=2\) są asymptotami pionowymi (jednostronnymi), \(f^{\prime}(x)=\frac{2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\) dla \(x \in(-\infty ; 0) \cup\) \((2 ;+\infty)\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((2 ;+\infty)\), funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty ; 0)\). Funkcja zdefiniowana w zadaniu za pomocą szeregu nie posiada minimum w swojej dziedzinie.
42. \(f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}\) dla \(x \in R\), funkcja jest parzysta, \(f(0)=2, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\), prosta \(y=1\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{-2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty ; 0)\), funkcja jest malejąca w przedziale \((0 ;+\infty), y_{\max }=f(0)=2\).
43. a)
b) \(P=\frac{40}{3} \pi+5 \sqrt{3}\).
44. a) \(y=x-\frac{45}{4}\).
b) \(P_{\triangle A B W}=3\).
45. a) \(C=(1,6)\) lub \(C=(7,-6)\).
b) Szukane punkty tworzą prostokąt o wierzchołkach: \(C_{1}=(3,-8), C_{2}=(7,-6), C_{3}=(-3,4)\) i \(C_{4}=(1,6)\). Stosunek pola tego prostokąta do pola dowolnego z trójkątów \(A B C_{i}(i=1,2,3,4)\) jest równy 2 .
Wskazówka. Możesz skorzystać z iloczynu skalarnego \(\overrightarrow{C A} \circ \overrightarrow{C B}=|C A| \cdot|C B| \cdot \cos |\Varangle A C B|\) oraz ze wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}|C A| \cdot|C B| \cdot \sin |\Varangle A C B|\).
46. \(D=(-6,3), \quad A=(-7,5), \quad B=(-4,1)\).
47. \(P=(0,-2), \quad P=\left(\frac{32}{17},-\frac{26}{17}\right)\) lub \(P=(4,2)\).
48. \(\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}\).
49. a) \((x+3)^{2}+(y-4)^{2}=100\).
b) \(P_{\triangle A B S}=50\).
c) \(P=25(2-\sqrt{2})^{2} \pi=50(3-2 \sqrt{2}) \pi\).
50. a) \(2 x+y-4=0\) i \(2 x+y+6=0\).
b) \(P_{\triangle A B S}=10 \quad(A=(0,4), B=(-2,-2), S=(1,-3))\).
51. a) Wskazówka. Sprawdź, że odległość środka danego okręgu od prostej \(k\) jest równa promieniowi tego okręgu.
b) \((x+2)^{2}+(y-2)^{2}=25\).
c) \((1,3),(-1,-1),(3,-3),(5,1)\).
52. a) \((x-4)^{2}+(y-1)^{2}=8\).
b) \(R=(6,-1)\).
c) Styczne do danego okręgu w punktach \(P\) i \(R\) są równoległe, a styczna do okręgu w punkcie \(Q\) jest do nich prostopadła.
53. \((x+4)^{2}+(y-5)^{2}=5 \quad(S=(2,4), T=(6,6))\).
54. a) \(\left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right),\left(-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right),\left(-\frac{10}{3},-\frac{10}{3}\right),\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right)\).
b) \(P(x)=\frac{2 \sqrt{2} x^{2}}{\sqrt{x^{2}-32}}\) dla \(x \in(4 \sqrt{2} ;+\infty)\).
55. a) Prosta \(l\) ma równanie \(2 x+y-4 p=0\). \(P_{\triangle A O B}=4 p^{2}\).
Wskazówka. Pole rozważanych trójkątów \(A O B\) można opisać wzorem \(P(a)=\frac{a^{2} p}{a-p}\), gdzie \(a \in(p ;+\infty)\) oznacza pierwszą współrzędną punktu przecięcia prostej \(l\) z osią \(x\). Pole to jest najmniejsze dla \(a=2 p\).
b) \(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{4 p^{2}}{2 p^{2}}=2\).
Wskazówka. Pole rozważanego prostokąta można opisać wzorem \(P(x)=4 p x-2 x^{2}\), gdzie \(x \in(0 ; 2 p)\) oznacza pierwszą współrzędną tego z wierzchołków prostokąta, który leży na prostej \(A B\). Pole to jest największe dla \(x=p\).
56. a) \(\left|A B_{1}\right|=\frac{\sqrt{14}}{4} r,\left|A B_{2}\right|=\frac{\sqrt{14}}{2} r\).
b) \(P_{\triangle A B_{1} C}=\frac{3 \sqrt{7}}{32} r^{2}, P_{\triangle A B_{2} C}=\frac{6 \sqrt{7}}{32} r^{2}, \frac{P_{\triangle A B_{1} C}}{P_{\triangle A B_{2} C}}=\frac{1}{2}\).
57. \(\cos \alpha=\sqrt{2}-1\).
58. \(\frac{2}{5}\) (boki trójkąta mają długości 6,8 i 10).
59. a) \(|B C|=8\).
b) \(\frac{16}{5}\).
60. a) \(\operatorname{tg}\left|\Varangle A C C_{1}\right|=\frac{\sqrt{3}}{5}\).
b) \(\frac{5 \sqrt{7}-7}{14}\).
c) Wskazówka. Wykaż, że trójkąt \(P Q R\) jest równoboczny o boku \(\frac{\sqrt{7}}{7} a\).
61. \(\frac{P_{\square A B C D}}{P_{\square D K B P}}=\frac{5}{3}\).
62. \(\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{13}}{13}\).
63. a) \(V=\frac{a^{3}}{8 \sin \alpha} \sqrt{3\left(3-4 \sin ^{2} \alpha\right)}, \quad P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3 \sqrt{3-4 \sin ^{2} \alpha}}{2 \sin \alpha}\right) a^{2}\).
b) \(60^{\circ}\).
c) \(P=\frac{5}{3} \pi a^{2}\).
64. a) 36 kulek.
b) Na pudełko, w którym jest jedna warstwa z 6 kulkami.
c) Pudełko o podstawie prostokąta.
65. \(V=\frac{d^{2} \sin ^{2} \beta}{\sin ^{2} \alpha} \sqrt{\sin ^{2} \alpha-2 \sin ^{2} \beta(1-\cos \alpha)}\).
66. \(P=4 S-\frac{1-\cos \alpha+2 \sqrt{\cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}}{1-\cos \alpha+2 \sqrt{\cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}+\sin \alpha}\).
67. a) \(V=288 \sqrt{3}\).
b) \(\cos \alpha=\frac{7}{8}\).
68. a) \(V=\frac{32}{27} \sqrt{3}, \quad P=\frac{8}{3}(\sqrt{3}+3)\).
b) \(P=\frac{16}{3}(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})\).
Wskazówka. Trójkąt, którego ramionami są wysokości ścian bocznych, jest równoboczny; długość jego boku jest równa połowie długości krawędzi podstawy ostroslupa.
69. a) \(k=\frac{2 \sqrt{3}}{3} . \quad P=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{13})}{4} a^{2}, \quad V=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}\).
b) Dla \(k \in\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ;+\infty\right)\) rozważany kąt jest ostry, a dla \(k \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) jest rozwarty. Nie istnieje wartość \(k\), dla której ten kąt ma \(59^{\circ}\).
Wskazówka. Cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa można przedstawić w postaci \(\cos \alpha=\frac{2 k^{2}-1}{4 k^{2}-1}\), gdzie \(k \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ;+\infty\right)\).
70. \(V=\frac{32 \sqrt{6}}{3} \mathrm{dm}^{3}, \quad P=(16+16 \sqrt{7}) \mathrm{dm}^{2}\).
71. \(\frac{4+\sqrt{3}}{8+\sqrt{19}}\).
72. \(V=\frac{4}{3} R^{3} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} \frac{1+\cos \alpha}{\cos \alpha}, \quad P=4 R^{2} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} \frac{1+\cos \alpha}{\cos \alpha}\).
73. \(V=\frac{1}{27} \pi H a^{2}\).
Wskazówka. Objętość rozważanego walca można opisać wzorem \(V(r)=\pi H\left(r^{2}-\frac{1}{a} r^{3}\right)\), gdzie \(r \in\left(0 ; \frac{1}{2} a\right)\) oznacza promień podstawy walca. Objętość ta jest największa dla \(x=\frac{1}{3} a\).
74. Objętość rozważanego ostrosłupa jest równa \(V \sin \alpha \frac{1+\cos \alpha}{3 \pi}\).
75. \(\frac{4}{3} R\).
Wskazówka. Objętość rozważanego ostrosłupa można opisać wzorem \(V(h)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(2 R h^{2}-h^{3}\right)\), gdzie \(h \in(0 ; 2 R)\) oznacza wysokość ostrosłupa.
76. \(\frac{2 \sin ^{2}(\alpha+\beta)}{\sin \beta \cos \alpha \sin 2 \alpha}\).
77. \(\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{6} \pi\).
Wskazówka. Pojemność rozważanego naczynia można opisać wzorem \(V(\alpha)=\frac{250}{3 \pi} \alpha^{2} \sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{4 \pi^{2}}}\), gdzie \(\alpha \in(0 ; 2 \pi)\).
78. \(V=\frac{16}{9}\).
Wskazówka. Objętość rozważanego graniastosłupa można opisać wzorem \(V(x)=6 x^{2}-3 \sqrt{2} x^{3}\), gdzie \(x \in(0 ; \sqrt{2})\) oznacza połowę przekątnej podstawy graniastosłupa. Objętość ta jest największa dla \(r=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\).
79. a) \(P=3 \sqrt{15}\).
b) \(P=12 \sqrt{15} \pi, \quad V=30 \pi\).
c) \(31+10+46=87\).
Wskazówka. Możesz skorzystać z twierdzenia cosinusów.
80. \(P(A)=\frac{3}{9^{3}} \approx 0,004, P(B \backslash C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}=\frac{1}{162} \approx 0,006\).
81. \(\Omega=\{(p, q): p, q \in\{1,2,3,4,5,6\}\}\).
a) \(P(A)=\frac{15}{36} \approx 0,42, P(B)=\frac{9}{36}=0,25, P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\) \(=\frac{15}{36}+\frac{9}{36}-\frac{1}{36}=\frac{23}{36} \approx 0,64\).
b) Zdarzenia \(A\) i \(B\) nie są niezależne.
82. \(\frac{\binom{8}{2}}{\binom{24}{2}} \cdot 1+\frac{\binom{8}{1}\binom{16}{1}}{\binom{24}{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
83. a) \(\frac{1}{9}\).
b) \(\frac{2}{9}\).
Wskazówka. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wyraża wzór \(\frac{n}{4+n} \cdot \frac{5}{20}\), a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej — wzór \(\frac{n}{4+n} \cdot \frac{2}{10}\).
84. a) \(P(A)=\frac{4}{9}, P(B)=\frac{5}{9}\).
b) Jedną lub dziesięć.
Wskazówka. Gdy losujemy kule bez zwracania, prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe \(\frac{\binom{10}{1}\binom{5+n}{1}}{\binom{15+n}{2}}\), a zdarzenia \(B\) wynosi \(\frac{\binom{10}{2}+\binom{5+n}{2}}{\binom{15+n}{2}}\), gdzie \(n\) oznacza liczbę czarnych kul, które należy dołożyć do urny.
85. Wojtek.
Wskazówka. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych przez Marka jest równe \(\frac{1}{3} \cdot \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}+\frac{2}{3} \cdot \frac{\binom{3}{2}}{\binom{10}{2}}\), a przez Wojtka wynosi \(\frac{\binom{9}{2}}{\binom{20}{2}}\).
86. Większe jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych, jeśli wylosowane kule zatrzymujemy; wynosi ono \(\binom{3}{2}\left(\frac{3}{8}\right)^{2} \cdot \frac{5}{8}<\frac{\binom{3}{2}\binom{5}{1}}{\binom{8}{3}}\).
87. a) \(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{60}\).
b) \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \cdot \frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}}=\frac{13}{30}\)
88. a) 6 kul białych.
b) \(\frac{\binom{4}{2} \cdot\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=0,3\).
c) \(\frac{1}{2}\).
Wskazówka. \(P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{5}\right)+P\left(A_{6}\right)=\)
\[
=\binom{10}{5}\left(\frac{6}{10}\right)^{5}\left(\frac{4}{10}\right)^{5}+\binom{10}{5}\left(\frac{5}{10}\right)^{5}\left(\frac{5}{10}\right)^{5}+\binom{10}{5}\left(\frac{4}{10}\right)^{5}\left(\frac{6}{10}\right)^{5} \approx 0,65
\]
89. Dwa.
Wskazówka. Prawdopodobieństwo złożenia jednokolorowego półkola wynosi \(\frac{\binom{4 n}{2}+2\binom{4}{2}}{\binom{4 n+8}{2}}\), gdzie \(n \in N_{+}\)oznacza liczbę kółek niebieskich.
90. a) \(\frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{2}{10}+\frac{\binom{2}{1} \cdot\binom{10}{1}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{1}{10}+\frac{\binom{2}{2}}{\binom{12}{2}} \cdot 0=\frac{110}{660} \approx 0,17\).
b) \(\frac{\binom{2}{1}\binom{10}{1}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{1}{10}=\frac{2}{66} \approx 0,03\).
91. \(P(C)<P(B)<P(A)<P(D)\).
Wskazówka.
\[
\begin{gathered}
P(A)=1-\binom{6}{0}\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{5}{6}\right)^{6}, \quad P(B)=\binom{6}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \\
P(C)=\binom{6}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\binom{6}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}, \quad P(D)=1-\binom{6}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}
\end{gathered}
\]
92. \(\binom{3}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \frac{\binom{6}{3}+\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}}+\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right) \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{5}{24} \approx 0,21\).
93. a) 6 oczek.
b) \(1-\binom{3}{0}\left(\frac{1}{9}\right)^{0}\left(\frac{8}{9}\right)^{3}=\frac{217}{729} \approx 0,3\).
94. a) \(\Omega=\left\{\left(\left(s_{i}, s_{j}\right) ; w_{k}\right): s_{i}, s_{j}\right.\) - środki krawędzi, \(w_{k}\) - wierzchołek, \(i, j \in\{1,2,3,4,5,6\}\), \(i \neq j, k \in\{1,2,3,4\}\}, \quad \overline{\bar{\Omega}}=\binom{6}{2} \cdot\binom{4}{1}=60\).
b) \(\frac{36}{60}=0,6\).
95. a) \(\frac{20}{100} \cdot \frac{40}{100}=0,08\).
b) \(\frac{60}{100} \cdot \frac{70}{100}+\frac{40}{100} \cdot \frac{20}{100}=0,5\).
c) \(\frac{0,08}{0,5}=0,16\).
Równania i nierówności kwadratowe, wielomiany
Zadanie 1
Od podatku dochodowego zwolnione są dochody nie przekraczające \(1000 \mathrm{zł} . \mathrm{Za}\) dochody przekraczające 1000 zł podatnik płaci podatek w wysokości \(20 \%\) od dochodu pomniejszonego o 1000 zł. Jeżeli dochód przekracza 11000 zł, podatnik płaci 2000 zł plus \(30 \%\) nadwyżki powyżej 11000 ł. Podaj wzór funkcji, która obrazuje zależność podatku od dochodu, i naszkicuj jej wykres.
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie - matura próbna)
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametru \(m\) rozwiązaniem układu równań
\[
\left\{\begin{array}{l}
m x-4 y=\operatorname{tg} 15^{\circ} \operatorname{tg} 75^{\circ}+m \\
2 x+2 m y=-\sin ^{2} 15^{\circ}-\sin ^{2} 105^{\circ}
\end{array}\right.
\]
jest dokładnie jedna para liczb \((x, y)\) taka, że \(x>0\) i \(y<0\) ?
(mazowieckie - matura próbna)
Zadanie 3
Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne, płacąc producentowi 100 złotych za sztukę, i sprzedaje 40 sztuk aparatów miesięcznie po 160 zł. Właściciel oszacował, że każda kolejna obniżka ceny aparatu o 1 zł zwiększa liczbę sprzedanych aparatów o jedną sztukę. Jaką powinien ustalić cenę, aby jego zysk był największy?
(kujawsko-pomorskie, pomorskie - matura próbna)
Zadanie 4
Dane jest równanie paraboli \(y=m x^{2}+2(m-1) x+m^{2}\).
a) Dla jakich wartości parametru \(m\) rzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału \((1 ; 5)\) ?
b) Dla \(m=1\) napisz równania stycznych do tej paraboli, przechodzących przez punkt ( \(0, \frac{3}{4}\) ).
(łódzkie)
Zadanie 5
Dane jest równanie
\[
(m-2) x^{2}-(m+1) x-m=0 .
\]
a) Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest liczbą nieujemną?
*b) Dla jakich całkowitych wartości parametru \(m\) iloczyn obu pierwiastków równania jest liczbą całkowitą?
(mazowieckie)
Zadanie 6
Dla jakich wartości parametru \(m\) dziedziną funkcji
\[
f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{(m-5) x^{2}-2(m-1) x+2(m-1)}}
\]
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
(kujawsko-pomorskie)
Zadanie 7
Znajdź wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[
m x^{4}-(m+2) x^{2}+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0
\]
ma dokładnie dwa roz̧wiązania.
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie - matura próbna)
Zadanie 8
Wielomian
\[
W(x)=(m-4) x^{3}-(m+6) x^{2}-(m-1) x+m+3
\]
jest podzielny przez dwumian \(x+1\). Dla jakich wartości parametru \(m\) wielomian \(W\) ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest większa od 0,25 ?
(łódzkie, świętokrzyskie - matura próbna)
Zadanie 9
Wielomian \(W(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c\) ma trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 2. Styczne do wykresu tego wielomianu w punktach o odciętych 1 i 2 mają współczynniki kierunkowe równe odpowiednio 3 i -2. Znajdź współczynniki \(a, b, c\) i pierwiastki wielomianu \(W\).
(łódzkie)
Funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne
Zadanie 10
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie
\[
x^{2}-2 x-\log _{0,5} \frac{m^{2}-3 m+4}{m-1}=0
\]
ma dwa pierwiastki, które są liczbami dodatnimi?
(śląskie - matura próbna)
Zadanie 11
a) Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie
\[
(m+2) 2^{2 x-1}-m \cdot 2^{x+1}+m=0
\]
ma dwa pierwiastki?
*b) Naszkicuj wykres funkcji, która każdej wartości parametru \(m\) przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania.
(warmińsko-mazurskie)
Zadanie 12
Dane są liczby:
\[
\begin{gathered}
a_{1}=\log _{\pi} 3, \quad a_{2}=\log _{\frac{1}{\pi}} \frac{1}{3}, \quad a_{3}=2^{0,1}, \\
a_{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, \quad a_{5}=\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{5}{3}}, \quad a_{6}=\left(2^{\sqrt{2}-1}\right)^{\sqrt{2}+1} .
\end{gathered}
\]
a) Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania
\[
\log _{2}^{2} x+1,9 \log _{2} x=0,2 ?
\]
b) Uzasadnij, które z podanych liczb są większe od 1, które mniejsze od 1, a które równe 1.
c) Rozwiąż nierówność
\[
\left(x-a_{1}\right) \cdot\left(x-a_{2}\right) \cdot\left(x-a_{3}\right) \cdot\left(x-a_{6}\right) \leqslant 0 .
\]
(dolnośląskie, opolskie)
Zadanie 13
a) Dane są funkcje \(f_{1}(x)=5^{2 x}+2^{2 x}\) i \(f_{2}(x)=5^{x-4}+2^{x+2}\). Rozwiąż nierówność
\[
f_{2}(x+2) \geqslant f_{1}\left(\frac{1}{2} x\right)
\]
*b) Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{1}{x}\). Udowodnij, że jeżeli \(a>0, b>0\) i \(c>0\), to
\[
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c) \leqslant f(2 a)+f(2 b)+f(2 c)
\]
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie - matura próbna)
Zadanie 14
Sprawdź, czy zbiór rozwiązań równania
\[
\log _{2}\left(2^{x}+4^{x}\right)-3=\log _{2}\left(2^{2 x-1}-\frac{1}{4}\right)
\]
zawiera się w części wspólnej zbiorów \(A\) i \(B\), gdzie
\[
\begin{aligned}
& A=\left\{x \in R: \frac{2 x}{x^{2}+3 x-4} \leqslant 0\right\}, \\
& B=\left\{x \in R:\left|x+\frac{3}{4}\right|<1 \frac{1}{4}\right\} .
\end{aligned}
\]
(podlaskie, warmińsko-mazurskie - matura próbna)
Zadanie 15
Dane są zbiory:
\[
\begin{gathered}
A=\left\{x \in R: x^{5}-4 x^{3}-8 x^{2}+32 \geqslant 0\right\} \\
B=\left\{x \in R: \log _{0,1}\left(4-x^{2}\right)>\log _{0,1}(6 x-3)\right\}
\end{gathered}
\]
a) Wyznacz zbiór \((A \backslash B) \cap(A \cup B)\).
*b) Wyznacz zbiór \((A \backslash B) \cap C\), gdzie
\[
C=\left\{x \in R:(\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x}+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{x}<4\right\} .
\]
(kujawsko-pomorskie, pomorskie - matura próbna)
Zadanie 16
Wyznacz zbiory \(A, B\) i \(A \backslash B\), gdzie:
\[
\begin{gathered}
A=\left\{x \in R:\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{5 x}<8 \cdot 4^{3-2 x}\right\} \\
B=\left\{x \in R: 2 \log _{\frac{1}{3}}(x-1)<1+\log _{\frac{1}{3}}(x+1)\right\}
\end{gathered}
\]
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie)
Zadanie 17
a) Wyznacz zbiory:
\[
\begin{gathered}
A=\{x \in R:|0,25 x-1|>p\} \\
B=\left\{x \in R: \frac{x^{2}-5 x+3}{x^{2}-1} \leqslant 1\right\} \\
C=\left\{x \in R: 2^{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-6 x+9\right)}>1\right\}
\end{gathered}
\]
gdzie \(p\) jest prawdopodobieństwem zdarzenia polegającego na tym, że w dwukrotnym rzucie kostką do gry suma oczek na obu kostkach jest większa od 7.
b) Znajdź liczby całkowite dodatnie, nie większe od 10, które należą do zbioru \(A \cap(B \cup C)\).
(kujawsko-pomorskie)
Zadanie 18
Znajdź liczby naturalne, które należą do zbioru \((B \cup C) \cap A\), gdzie:
\[
\begin{gathered}
A=\left\{x \in R: \frac{1}{x+1}<\frac{2}{x-1}\right\}, \\
B=\left\{x \in R: \log _{\frac{1}{5}} x+\log _{\frac{1}{5}}(2 x-9) \geqslant-1\right\}, \\
C=\{x \in\langle 0 ; 2 \pi\rangle: \sin 2 x>0\} .
\end{gathered}
\]
(świętokrzyskie)
Zadanie 19
Wyznacz zbiór \(A \cap B \cap C\), gdzie:
\[
\begin{gathered}
A=\left\{x \in R: x^{3}+2 x^{2}-4 x-8 \leqslant 0\right\} \\
B=\{x \in\langle 0 ; 2 \pi\rangle: \sin 2 x \geqslant \sin x\} \\
C=\left\{x \in R: \log \left(9-x^{2}\right) \geqslant 0\right\}
\end{gathered}
\]
(pomorskie)
Zadanie 20
a) Rozwiąż nierówność
\[
\begin{gathered}
\left(3+\log _{2} \frac{2 x^{2}}{x+2}\right)+\left(8+\log _{2} \frac{2 x^{2}}{x+2}\right)+\left(13+\log _{2} \frac{2 x^{2}}{x+2}\right)+\ldots \\
+\left(58+\log _{2} \frac{2 x^{2}}{x+2}\right)>378
\end{gathered}
\]
*b) Udowodnij, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) należą do przedziału \((0 ; 1)\), to
\[
\log _{a} \frac{2 a b}{a+b}+\log _{b} \frac{2 a b}{a+b} \geqslant 2
\]
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie)
Ciągi
Zadanie 21
W nieskończonym ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest największą liczbą ujemną spełniającą nierówność
\[
\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-2\right)-\log _{\frac{1}{2}}(3-x)+1 \leqslant 0
\]
a trzeci wyraz tego ciągu jest najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą tę nierówność. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać \(95 ?\)
(warmińsko-mazurskie)
Zadanie 22
Liczby \(3, \log _{2} \sqrt{2^{x}+4^{x}}, \log _{2}\left(2^{2 x-1}-\frac{1}{4}\right)\), we podanej kolejności, są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego. Znajdź ten ciąg oraz oblicz sumę jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.
23. Pan \(A\), zapalony turysta, wyruszył w podróż krajoznawczą, pokonując każdego dnia 40 kilometrów. Po sześciu dniach z tego samego miejsca i tą samą trasą wyruszył jego przyjaciel \(B\), pokonując pierwszego dnia 8 kilometry, a każdego następnego o 4 kilometry mniej niż dnia poprzedniego. W którym dniu podróży pana \(A\) pan \(B\) dogoni przyjaciela? Rozwiąż zadanie, układając odpowiedni układ równań lub odpowiednie równanie.
(pomorskie)
Zadanie 23
Pan \(A\), zapalony turysta, wyruszył w podróż krajoznawczą, pokonując każdego dnia 40 kilometrów. Po sześciu dniach z tego samego miejsca i tą samą trasą wyruszył jego przyjaciel \(B\), pokonując pierwszego dnia 8 kilometry, a każdego następnego o 4 kilometry mniej niż dnia poprzedniego. W którym dniu podróży pana \(A\) pan \(B\) dogoni przyjaciela? Rozwiąż zadanie, układając odpowiedni układ równań lub odpowiednie równanie.
(pomorskie)
Zadanie 24
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest określona wzorem
\[
S_{n}=2 n^{2}-14 n, \text { gdzie } n \in N_{+}
\]
a) Oblicz trzydziesty wyraz ciagu \(\left(a_{n}\right)\).
b) Na podstawie definicji wykaż, że \(\left(a_{n}\right)\) jest ciągiem arytmetycznym.
c) Znajdź trzy kolejne wyrazy ciągu \(\left(a_{n}\right)\), spełniające warunek: kwadrat środkowego wyrazu jest o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.
(dolnośląskie, opolskie)
Zadanie 25
Wyrazy ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\) spełniają warunki \(a_{2}+a_{4}=8\) i \(a_{7}=16\).
a) Znajdź wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu.
b) Wyrazy \(a_{k}, a_{k+1}, a_{k+5}\) tworzą, w tej kolejności, ciąg geometryczny. Oblicz \(k\).
c) Wiedząc, że \(S_{n}-S_{8}=140\), gdzie \(S_{k}\) oznacza sumę \(k\) początkowych wyrazów ciągu \(\left(a_{n}\right)\), oblicz \(n\).
(dolnośląskie, opolskie - matura próbna)
Zadanie 26
a) Wyrazy ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\) spełniają warunki:
\[
a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}=-17 \quad \text { i } \quad a_{5}=-\frac{3}{2} .
\]
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego \(\left(b_{n}\right)\) jest równa iloczynowi pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\) i sumy kwadratów wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego. Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(-\frac{5}{2}\). Wyznacz ciągi \(\left(a_{n}\right)\) i \(\left(b_{n}\right)\).
*b) Wyrazy ciągu \(\left(c_{n}\right)\) spełniają warunek \(c_{n+1}-c_{n}=a_{n}\) dla każdego \(n \in N_{+}\). Znajdź wyraz \(c_{1}\), wiedząc, że \(c_{55}=0\).
(łódzkie, świętokrzyskie - matura próbna)
Zadanie 27
a) Długości boków pewnego wielokąta są równe \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\), przy czym
\[
a_{1}=a_{12}=1 \quad \text { i } \quad a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{11}=a_{12}+a_{13}+\ldots+a_{m}
\]
Długości boków \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{11}\) tworzą ciąg arytmetycżny o różnicy 2 , a długości boków \(a_{12}, a_{13}, \ldots, a_{m}\) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 3 . Znajdź liczbę boków tego wielokata.
*b) Udowodnij, że jeśli liczby \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n+1}\) tworzą ciąg arytmetyczny, to dla \(n>1\) spełniona jest równość
\[
a_{1}-\binom{n}{1} a_{2}+\binom{n}{2} a_{3}-\binom{n}{3} a_{4}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{k+1}+\ldots+(-1)^{n} a_{n+1}=0
\]
(kujawsko-pomorskie)
Zadanie 28
a) Znajdź największą liczbę naturalną \(p\), dla której ciąg ( \(a_{n}\) ), określony wzorem \(a_{n}=\frac{p n+3}{n+1}\), jest malejący.
b) Dla znalezionej wartości \(p\) rozwiąż równanie
\[
\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{(1-x)^{3}}+\ldots+\frac{1}{(1-x)^{n}}+\ldots=3-2 x\left(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\right) .
\]
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie)
Zadanie 29
a) Wyznacz zbiory \(A \cap B\) i \(A \backslash B\), gdzie
\[
A=\left\{x: 2^{2 x}+2^{2 x-2}+2^{2 x-4}+\ldots \leqslant 21 \frac{1}{3}\right\}
\]
a \(B\) jest dziedziną funkcji
\[
f(x)=\sqrt{\frac{-x^{2}-2 x-15}{x-6}}+\log _{\frac{1}{2}}(2 x+8)
\]
*b) Sprawdź, czy \(D \subset(A \cap B)\), i wyznacz zbiór \([(A \cap B) \backslash D]^{\prime}\), gdzie \(D\) jest zbiorem tych wartości \(x\), dla których ciąg o wyrazie ogólnym \(a_{n}=\left(2-\log _{\frac{1}{3}} x\right)^{n}\) jest zbieżny.
(podlaskie)
Pochodna, badanie funkcji
Zadanie 30
Funkcja \(f(x)=x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}-a x+9\) ma ekstremum w punkcie \(x=-1\).
a) Oblicz \(a\).
b) Dla obliczonej wartości \(a\) naszkicuj wykres funkcji \(f\).
c) Dla obliczonej wartości a ustal liczbę rozwiązań równania \(f(x)=k \mathrm{w}\) zależności od wartości parametru \(k \in R\). Naszkicuj wykres funkcji, która każdej wartości parametru \(k\) przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania \(f(x)=k\).
(podlaskie, warmińsko-mazurskie - matura próbna)
Zadanie 31
Dana jest funkcja
\[
f(x)=x^{3}+k x^{2}+n
\]
Wiedząc, że liczba -2 jest miejscem zerowym funkcji \(f\) i jej pochodnej, naszkicuj wykres funkcji \(g(x)=|f(x)|\).
(kujawsko-pomorskie, pomorskie - matura próbna)
Zadanie 32
Wykaż, że styczne do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{1+3 x^{2}}{3+x^{2}}\), poprowadzone w punktach, których rzędna jest równa 1, przecinają się w początku układu współrzędnych pod kątem prostym.
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie)
Zadanie 33
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{a x^{2}-1}{x^{2}-b}\).
a) Oblicz wartości parametrów \(a\) i \(b\), wiedząc, że \(f(0)=\frac{1}{4}\) oraz \(f^{\prime}(4)=-\frac{1}{6}\).
b) Dla znalezionych wartości \(a\) i \(b\) podaj wzór funkcji \(f\) i określ jej dziedzinę.
c) Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji \(f\) w punktach przecięcia wykresu tej funkcji z osią \(x\).
d) Znajdź równania asymptot poziomych i pionowych wykresu funkcji \(f\) (o ile istnieją).
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie)
Zadanie 34
Dla jakich wartości \(a\) i \(b\) funkcja \(f(x)=\frac{a x+b}{x^{2}-1}\) osiąga dla \(x=0\) ekstremum równe -2 ? Dla znalezionych wartości \(a\) i \(b\) podaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=x^{2}+m\) w zależności od wartości parametru \(m\).
(podlaskie)
Zadanie 35
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji
\[
f(x)=x^{3}-6 \sqrt{3} x^{2}+24 x
\]
(pomorskie)
Zadanie 36
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{a x}{x^{2}+1}\), gdzie \(a \neq 0\).
a) Dla \(a=4\) zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji \(f\).
*b) Dla jakich wartości parametru a przedział \(\langle 0 ; 1\rangle\) jest zawarty w zbiorze wartości funkcji \(f\) ?
(mazowieckie - matura próbna)
Zadanie 37
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji
\[
f(x)=\frac{4 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-2 x}
\]
(warmińsko-mazurskie)
Zadanie 38
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{4 x^{2}-3 x-1}{4 x^{2}+1}\).
a) Zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji \(f\).
b) Znajdź te wartości parametru \(m\), dla których równanie \(f(|x|-1)=m^{2} \mathrm{ma}\) co najwyżej dwa rozwiązania.
(śląskie)
Zadanie 39
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji
\[
f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{x-1}
\]
Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\left\langle-4 ; \frac{1}{2}\right\rangle\).
(świętokrzyskie)
Zadanie 40
Dana jest funkcja
\[
f(x)=\frac{x-1}{m x^{2}}
\]
a) Określ zbiór wszystkich wartości parametru \(m\), dla których równanie \(f(x)=1\) ma dwa rozwiązania.
b) Dla jakiej wartości parametru \(m\) funkcja \(f\) ma ekstremum równe 2? Określ, czy jest to maksimum, czy minimum.
c) Dla \(m=1\) zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji \(f\).
(dolnośląskie, opolskie - matura próbna)
Zadanie 41
Dana jest funkcja określona wzorem
\[
f(x)=-1-\frac{1}{(1-x)^{2}}-\frac{1}{(1-x)^{4}}-\ldots
\]
w którym prawa strona jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres tej funkcji.
(mazowieckie)
Zadanie 42
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji
\[
f(x)=1+\frac{1}{x^{2}+2}+\frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}+\frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}+\ldots
\]
(śląskie - matura próbna)
Geometria analityczna
Zadanie 43
Dane są figury:
\[
\begin{gathered}
F=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-15 \leqslant 0\right\}, \\
G=\left\{(x, y): y<\frac{1}{2} x\right\}
\end{gathered}
\]
a) Zaznacz w układzie współrzędnych figury \(F, G \operatorname{oraz} F \backslash G\).
b) Oblicz pole figury \(F \backslash G\).
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie - matura próbna)
Zadanie 44
Prosta o równaniu \(y-x+9=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=x^{2}-4 x-5\) w punktach \(A\) i \(B\).
a) Znajdź równanie stycznej do paraboli równoległej do prostej \(A B\).
b) Oblicz pole trójkąta \(A B W\), gdzie \(W\) jest wierzchołkiem danej paraboli.
(świętokrzyskie)
Zadanie 45
W trójkącie ostrokątnym \(A B C\) dane są wierzchołki \(A=(-2,-3)\) i \(B=(6,1)\). Pole trójkąta jest równe 30 .
a) Wysokość \(C D\) dzieli trójkąt \(A B C\) na takie dwa trójkąty prostokątne, że
\[
\frac{P_{\triangle B D C}}{P_{\triangle A D C}}=\frac{1}{3} .
\]
Znajdź współrzędne punktu \(C\).
*b) Znajdź wszystkie punkty \(C\) takie, że \(\cos |\angle A C B|=\frac{\sqrt{5}}{5}\), i wykaż, że są one wierzchołkami pewnego wielokąta. Dla każdego ze znalezionych punktów \(C\) oblicz stosunek pola tego wielokąta do pola trójkąta \(A B C\).
(podlaskie, warmińsko-mazurskie - matura próbna)
Zadanie 46
Wierzchołek \(C\) trójkąta ostrokątnego \(A B C\) ma współrzędne (2,7). Symetralna wysokości \(C D\) ma równanie \(2 x+y-1=0\), a środkowa trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) jest zawarta w prostej o równaniu \(x+3 y-8=0\). Oblicz współrzędne punktu \(D\) oraz wierzchołków \(A\) i \(B\).
(łódzkie, świętokrzyskie - matura próbna)
Zadanie 47
Dane są punkty \(A=(2,1), B=(4,-1), C=(6,2)\). Znajdź taki punkt \(P\) leżący na okręgu o równaniu \(x^{2}+(y-2)^{2}=16\), dla którego pola trójkątów \(A B P\) i \(B C P\) są równe.
(mazowieckie)
Zadanie 48
W trójkącie równoramiennym \(A B C\) dane są wierzchołki \(B=(1,-1)\) i \(C=(4,0)\) oraz zachodzi równość \(|A B|=|A C|\). Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(x+2 y-4=0\). Na boku \(A B\) tego trójkąta obrano taki punkt \(P\), że \(|A P|:|P B|=3: 2\). Napisz równanie okręgu o środku w punkcie \(P\), stycznego do boku \(A C\).
(pomorskie)
Zadanie 49
Środek \(S\) okręgu, do którego należą punkty \(A=(-9,12)\) i \(B=(5,10)\), leży na prostej o równaniu \(2 x+y+2=0\).
a) Znajdź równanie tego okręgu.
b) Oblicz pole trójkąta \(A B S\).
c) Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt \(A B S\).
(kujawsko-pomorskie)
Zadanie 50
Dany jest okrąg o równaniu \(x^{2}+y^{2}-2 x+6 y+5=0\).
a) Napisz równania stycznych do danego okręgu, prostopadłych do prostej o równaniu \(x-2 y=0\).
b) Oblicz pole trójkąta \(A B S\), gdzie \(A\) i \(B\) są punktami przecięcia tych stycznych z prostą o równaniu \(3 x-y+4=0\), a \(S\) jest środkiem danego okręgu.
(śląskie - matura próbna)
Zadanie 51
Dany jest okrąg \(C\) o równaniu \(x^{2}+y^{2}-4 x-1=0\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(2 x-y+1=0\).
a) Wykaż, że prosta \(k\) jest styczna do okregu \(C\).
b) Znajdź równanie obrazu okręgu \(C\) w symetrii względem prostej \(k\).
c) Na ókręgu \(C\) opisano kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na prostej \(k\). Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
(dolnośląskie, opolskie - matura próbna)
Zadanie 52
Okrąg \(K\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=x+1\) w punkcie \(P=(2,3)\) i przechodzi przez punkt \(Q=(6,3)\).
a) Znajdź równanie okręgu \(K\).
b) Prosta o równaniu \(x=6\) przecina okrąg \(K\) w punktach \(Q\) i \(R\). Oblicz współrzędne punktu \(R\).
c) Jakie jest wzajemne położenie stycznych do okręgu \(K\) w punktach \(P, Q, R\) ?
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie - matura próbna)
Zadanie 53
Prosta \(m\) jest prostopadła do prostej \(l\) o równaniu \(2 x+y+7=0\), przechodzi przez punkt \(M=(-2,2)\) i w okręgu o równaniu \(x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+24=0\) wyznacza cięciwę \(S T\). Znajdź równanie okręgu, którego średnicą jest obraz odcinka \(S T\) w symetrii osiowej względem osi \(y\). Wykonaj ilustrację graficzną treści zadania.
(podlaskie)
Zadanie 54
Na okręgu o równaniu \(x^{2}+y^{2}=8\) opisano romb. Dłuższa przekątna rombu zawiera się w prostej o równaniu \(y=x\).
a) Znajdź współrzędne wierzchołków rombu, wiedząc, że jego pole wynosi \(33 \frac{1}{3}\).
b) Wyraź pole rombu jako funkcję długości jednej z przekątnych rombu i podaj dziedzinę tej funkcji.
(łódzkie)
Zadanie 55
Punkty \(A\) i \(B\) leżą na dodatnich półosiach układu współrzędnych i na prostej \(l\) przechodzącej przez punkt \(C=(p, 2 p)\).
a) Znajdź równanie prostej \(l\), wiedząc, że pole trójkąta \(A O B\), gdzie \(O=(0,0)\), jest możliwie najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
b) Oblicz stosunek pól \(\frac{P_{1}}{P_{2}}\), gdzie \(P_{1}\) oznacza pole trójkąta \(A O B\) obliczone w punkcie a), a \(P_{2}\) oznacza możliwie największe pole prostokąta wpisanego w trójkąt \(A O B\) w taki sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na osiach układu współrzędnych, trzeci wierzchołek leży na prostej \(A B\), a czwarty pokrywa się z początkiem układu współrzędnych.
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie - matura próbna)
Planimetria
Zadanie 56
Punkty \(A\) i \(C\) leżą na okręgu \(Q_{1}\) o środku \(S\) i promieniu \(r\), przy czym \(|A C|=\) \(=\frac{\sqrt{2}}{2} r\). Z punktu \(C\) zakreślono okrąg o promieniu \(\frac{3}{2} r\), przecinający okrąg \(Q_{1}\) w punktach \(B_{1}\) i \(B_{2}\).
a) Oblicz długości odcinków \(A B_{1}\) i \(A B_{2}\).
b) Oblicz pola trójkątów \(A B_{1} C\) i \(A B_{2} C\) oraz znajdź stosunek tych pól.
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie)
Zadanie 57
W okrąg wpisano trapez, którego podstawą jest średnica okręgu. Stosunek sumy długości podstaw trapezu do jego obwodu jest równy \(\frac{2}{3}\). Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu.
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie)
Zadanie 58
Długości boków pewnego trójkąta są siódmym, ósmym i dziewiątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 18, a suma siedmiu początkowych wyrazów wynosi 0 . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.
(kujawsko-pomorskie, pomorskie - matura próbna)
Zadanie 59
W trójkącie \(A B C\) dane są długości boków \(|A B|=4\) i \(|A C|=6\) oraz długość środkowej \(\left|A A^{\prime}\right|=\sqrt{10}\).
a) Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
b) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
(śląskie)
Zadanie 60
Dany jest trójkąt równoboczny \(A B C\) o boku długości \(a\). Na bokach \(A B, B C\) i \(A C\) obrano odpowiednio punkty \(C_{1}, A_{1}, B_{1}\) tak, że \(\frac{A C_{1}}{C_{1} B}=\frac{B A_{1}}{A_{1} C}=\frac{C B_{1}}{B_{1} A}=\frac{1}{2}\).
a) Oblicz tangens kąta \(A C C_{1}\).
b) Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt \(C_{1} B C\) do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
c) Punkty przecięcia odcinków \(A A_{1}, B B_{1}\) i \(C C_{1}\) są wierzchołkami trójkąta \(P Q R\). Wykaż, że pole trójkąta \(P Q R\) jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta \(A B C\).
(dolnośląskie, opolskie)
Zadanie 61
W prostokącie \(A B C D\) bok \(A B\) jest dwa razy dłuższy od boku \(A D\). Punkty \(P\) i \(K\) są rzutami prostopadłymi wierzchołków odpowiednio \(B\) i \(D\) na przekątną \(A C\). Wykaż, że czworokąt \(D K B P\) jest równoległobokiem, i oblicz stosunek pola prostokąta \(A B C D\) do pola równoległoboku \(D K B P\).
(mazowieckie - matura próbna)
Stereometria
Zadanie 62
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
(kujawsko-pomorskie, pomorskie - matura próbna)
Zadanie 63
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(a\).
a) Wiedząc, że przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze \(\alpha\), oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
b) Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy graniastosłupa i przecinająca przeciwległą krawędź boczną podzieliła go na dwie bryły, których stosunek objętości wynosi \(\frac{1}{3}\). Oblicz miarę kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy, jeśli wiadomo, że wysokość graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.
c) Oblicz pole powierzchni kuli opisanej na tym graniastosłupie, wiedząc że pole jego powierzchni bocznej jest 4 razy więkze od pola powierzchni podstawy.
(dolnośląskie, opolskie)
Zadanie 64
W zakładzie cukierniczym pakuje się czekoladowe kulki o średnicy 2 cm do pudełek w kształcie graniastosłupów prostych o podstawie trójkąta równobocznego lub prostokąta. Do wszystkich pudełek wkłada się taką samą liczę kulek. Kulki są układane jedno- lub wielowarstwowo. Sposób układania w jednej warstwie pokazano na rysunkach.
a)
Pewna liczba kulek daje się ułożyć jednowarstwowo w pudełku o podstawie kwadratowej. Taką samą liczbę kulek można ułożyć jednowarstwowo w pudełku o podstawie trójkąta równobocznego. Liczba kulek stycznych do boku trójkąta jest o 2 większa od liczby kulek stycznych do boku kwadratu. Ile jest kulek w pudełku?
b) W dwóch pudełkach, każde o podstawie trójkąta równobocznego, umieszczono po 6 kulek. W jednym jest jedna warstwa z sześcioma kulkami, w drugim - 6 warstw po jednej kulce. Na zrobienie którego pudełka trzeba zużyć mniej materiału?
c) Do pudełka o podstawie prostokąta o wymiarach 8 cm i 14 cm oraz pudełka o podstawie trójkąta równobocznego zapakowano jednowarstwowo po 28 kulek. Które z pudełek ma większą objętość?
(dolnośląskie, opolskie - matura próbna)
Zadanie 65
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym \(\alpha\). Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość \(d\) i tworzy ze ścianą boczną kąt \(\beta\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
(podlsakie, warmińsko-mazurskie - matura próbna)
Zadanie 66
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym poprowadzono płaszczyznę przez przekątną dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy. Płaszczyzna ta odcina ostrosłup o polu powierzchni całkowitej \(S\). Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, wiedząc, że kąt między ramionami trójkąta równoramiennego otrzymanego w przekroju jest równy \(\alpha\).
(świętokrzyskie)
Zadanie 67
Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(60^{\circ}\). Przekątna ściany bocznej ma długość \(4 \sqrt{10}\).
a) Oblicz objętość tego graniastosłupa.
b) Oblicz cosinus kąta między krótszymi przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka
(warmińsko-mazurskie)
Zadanie 68
Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości dwóch ścian bocznych. Miara kąta między tymi wysokościami jest równa \(60^{\circ}\), a krawędź boczna ostrosłupa ma długość \(\frac{4}{3} \sqrt{3} \mathrm{dm}\).
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\).
(śląskie - matura próbna)
Zadanie 69
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość \(a\), a krawędź boczna jest równa \(k a\), gdzie \(k \in R_{+}\).
a) Dla jakiej wartości \(k\) krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{\circ}\) ? Dla znalezionej wartośsi \(k\) oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
*b) Dla jakich wartości \(k\) kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa jest ostry, a dla jakich rozwarty? Czy istnieje taka wartość \(k\), dla której kąt między ścianami bocznymi ostroslupa ma \(59^{\circ}\) ?
(pomorskie)
Zadanie 70
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{\circ}\). Odległość środka podstawy ostrosłupa od krawędzi bocznej wynosi \(\sqrt{6} \mathrm{dm}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
(śląskie)
Zadanie 71
Podstawą ostrosłupa \(A B C S\) jest trójkąt równoboczny \(A B C\). Krawędź boczna \(A S\) jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy i tworzy z podstawą ostrosłupa kąt prosty. Przez krawędź \(B C\) poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędź \(A S\) w punkcie \(E\) tak, że \(\frac{|A E|}{|E S|}=\frac{1}{3}\). Oblicz stosunek pól powierzchni całkowitych ostrosłupów, na które płaszczyzna sieczna podzieliła ostrosłup \(A B C S\).
(mazowieckie)
Zadanie 72
Ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem \(\alpha\), jest opisany na kuli o promieniu \(R\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie - matura próbna)
Zadanie 73
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości \(H\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Jaką maksymalną objętość może mieć walec, wpisany w ten ostrosłup w taki sposób, że oś symetrii walca jest osią symetrii ostrosłupa?
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie)
Zadanie 74
W walec o objętości \(V\) wpisano ostrosłup w taki sposób, że podstawa ostrosłupa, która jest trójkątem równoramiennym o kącie \(\alpha\) między ramionami, jest wpisana w podstawę walca, a wierzchołek ostrosłupa jest środkiem drugiej podstawy walca. Oblicz objętość ostrosłupa.
(mazowieckie - matura próbna)
Zadanie 75
W kulę o promieniu \(R\) wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny o możliwie największej objętości. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
(kujawsko-pomorskie)
Zadanie 76
Dany jest stożek, którego kąt rozwarcia ma miarę \(2 \alpha\). W ștożek ten wpisano drugi stożek w taki sposób, że jego wierzchołek leży w środku podstawy danego stożka, a okrąg ograniczający podstawę leży na powierzchni bocznej danego stożka. Miara kąta rozwarcia stożka wpisanego wynosi \(2 \beta\). Oblicz stosunek pól powierzchni bocznych obu stożków.
(podlaskie)
Zadanie 77
Blachę w kształcie wycinka koła o promieniu 10 cm i kącie środkowym \(\alpha\) zwinięto w stożek. Jaka powinna być miara kąta \(\alpha\), aby pojemność utworzonego naczynia była możliwie największa?
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie - matura próbna)
Zadanie 78
Wysokość stożka ma długość 3 , a promień jego podstawy wynosi \(\sqrt{2}\). W stożek ten wpisujemy graniastosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że dolna podstawa graniastosłupa jest zawarta w podstawie stożka, a wierzchołki górnej podstawy należą do powierzchni bocznej stożka. Jaką największą objętość może mieć taki graniastosłup?
(łódzkie, świętokrzyskie - matura próbna)
Zadanie 79
Dany jest trójkąt o bokach długości 4, 6 i 8.
a) Oblicz pole tego trójkąta.
b) Oblicz pole powierzchni i objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu tego trójkąta dookoła boku o długości 6.
*c) Oblicz sumę kwadratów środkowych tego trójkąta.
(łódzkie)
Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 80
Ze zbioru \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy trzy razy ze zwracaniem po jednym elemencie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg w kolejności losowania. Zdarzenie \(A\) oznacza, że wylosowane liczby utworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(\frac{1}{2}\) lub 3, zdarzenie \(B\) - ̇̇e wylosowane liczby utworzą ciąg arytmetyczny rosnący, którego różnica jest liczbą dodatnią parzystą, a zdarzenie \(C\) - że za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą. Oblicz \(P(A)\) i \(P(B \backslash C)\).
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie)
Zadanie 81
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką sześcienną. Określ przestrzeń zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą, a \(B\) - że iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą.
a) Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń \(A, B\) oraz \(A \cup B\).
b) Zbadaj niezależność zdarzeń \(A, B\).
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie - matura próbna)
Zadanie 82
W celu wyłonienia reprezentanta klasy liczącej 8 chłopców i 16 dziewcząt wybieramy losowo dwie osoby, a następnie spośród nich wybieramy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że klasę będzie reprezentować chłopiec?
(świętokrzyskie)
Zadanie 83
W pierwszej urnie są 4 kule białe i \(n\) kul czarnych, w drugiej jest 5 kul czerwonych i 15 kul żółtych, a w trzeciej 8 żółtych i 2 niebieskie. Najpierw losujemy jedną kulę z pierwszej urny. Jeśli wylosowana kula jest biała, to losujemy jedną kulę z urny drugiej, w przeciwnym wypadku z urny trzeciej. Prawdopodobieństwo wylosowania według opisanego schematu kuli czerwonej jest równe prawdopodobieństwu wylosowania kuli niebieskiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a) kuli czerwonej,
b) kuli czerwonej lub niebieskiej.
(lubuskie, wielkopolskie, zachodniopomorskie - matura próbna)
Zadanie 84
Z urny, w której znajduje się 10 kul białych i 5 czarnych, losujemy dwukrotnie po jednej kuli. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a zdarzenie \(B\) - na wylosowaniu kul w tym samym kolorze.
a) Oblicz \(P(A)\) i \(P(B)\), zakładając, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem.
b) Ile kul czarnych należy dołożyć do urny, aby \(P(A)=P(B)\), jeśli losujemy kule bez zwracania?
(śląskie)
Zadanie 85
W pierwszej urnie znajduje się 6 kul białych i 4 kule czarne. W drugiej urnie znajdują się 3 kule białe i 7 kul czarnych. Marek rzuca kostką do gry. Jeśli otrzymana liczba oczek jest podzielna przez trzy, to wybiera losowo dwie kule z urny pierwszej, w przeciwnym wypadku wybiera dwie kule z urny drugiej. Wojtek umieszcza wszystkie kule z urny pierwszej i drugiej w pustym pudełku, z którego następnie wybiera dwie kule. Który z chłopców z większym prawdopodobieństwem wybierze dwie kule białe?
(śląskie - matura próbna)
Zadanie 86
W urnie są trzy kule białe i pięć czarnych. Losujemy trzy razy po jednej kuli. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul białych, jeśli wylosowane kule wrzucamy po każdym losowaniu do urny, czy wylosowanie dwóch kul białych, jeśli wylosowane kule zatrzymujemy?
(warmińsko-mazurskie)
Zadanie 87
Z urny, w której znajdują się dwie kule czarne, trzy kule białe i jedna zielona, wybieramy losowo jedną. Jeśli wybrana kula jest zielona, to zatrzymujemy ją, a następnie wybieramy losowo dwie kule spośród pozostałych kul. W przeciwnym wypadku zatrzymujemy wybraną kulę i kończymy losowanie.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy dwie kule czarne.
b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy dokładnie jedną kulę czarną.
(łódzkie, świętokrzyskie - matura próbna)
Zadanie 88
W urnie znajdują się kule białe i czarne, razem jest ich dziesięć.
a) Po wrzuceniu do tej urny dwóch kul białych prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej w losowaniu jednej kuli zmniejszyło się o \(\frac{1}{15}\). Ile kul białych znajdowało się początkowo w urnie?
b) Wiadomo, że w urnie jest 6 kul białych. Wybieramy losowo z urny trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania dwóch kul czarnych.
c) W urnie znajduje się \(n\) kul białych. Losujemy ze zwracaniem dziesięć razy po jednej kuli. Zdarzenie \(A_{n}\) polega na pięciokrotnym otrzymaniu kuli czarnej. Która z liczb \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\) jest najdokładniejszym przybliżeniem sumy prawdopodobieństw \(P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{5}\right)+P\left(A_{6}\right)\) ?
(dolnośląskie, opolskie - matura próbna)
Zadanie 89
Pewną liczbę kółek niebieskich, jedno żółte i jedno czerwone, wszystkie o jednakowych średnicach, rozcięto na cztery ćwiartki każde. Otrzymane części kółek wsypano do urny i wylosowano kolejno bez zwracania dwie z nich. Z wylosowanych części złożono półkole. Ile powinno być niebieskich kółek, aby prawdopodobieństwo złożenia jednokolorowego półkola wynosiło \(\frac{1}{3}\) ?
(podlaskie)
Zadanie 90
Do koszyka włożono dwanaście jabłek, w tym dwie antonówki. Po kilku dniach przechowywania z koszyka usunięto dwa popsute jabłka. Następnie losowo wybrano jedno jabłko.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowano antonówkę.
b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jedną antonówkę usunięto i jedną wylosowano.
(podlaskie, warmińsko-mazurskie - matura próbna)
Zadanie 91
Rzucamy 6 razy symetryczną kostką sześcienną, której dwie ściany są pomalowane na biało, trzy na zielono i jedna na czarno. Zdarzenie \(A\) oznacza, że co najmniej raz wypadła ściana czarna, \(B\) - że dokładnie trzy razy wypadła ściana biała, \(C\) - że co najwyżej raz wypadła ściana zielona, \(D\) - że nie więcej niż 5 razy wypadły ściany biała lub czarna. Ustaw liczby: \(P(A), P(B), P(C)\), \(P(D)\) w kolejności od najmniejszej do największej.
(mazowieckie - matura próbna)
Zadanie 92
W pudełku jest 6 losów wygrywających i 4 losy puste. Rzucamy trzykrotnie kostką w kształcie czworościanu foremnego, którego dwie ściany są białe i dwie czarne. Jeśli kostka upadnie trzy razy na czarną ścianę, to losujemy z pudełka trzy losy, jeśli kostka upadnie dwa razy na czarną ścianę, to losujemy dwa losy. W pozostałych przypadkach bierzemy z pudełka jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu co najmniej dwóch losów wygrywających.
(mazowieckie)
Zadanie 93
a) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie w sumie 5 czy 6 oczek?
b) Rzucamy trzy razy dwiema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej raz otrzymamy w sumie 5 oczek.
(łódzkie)
Zadanie 94
Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości \(a\). Ze zbioru wszystkich środków krawędzi i wierzchołków tego czworościanu wybieramy losowo dwa różne środki krawędzi i jeden wierzchołek.
a) Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia i podaj liczbę jego elementów.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że trzy tak wybrane losowo punkty wyznaczają trójkąt o możliwie najmniejszym polu.
(lubelskie, małopolskie, podkarpackie)
Zadanie 95
Sondaż przeprowadzony w pewnym mieście na temat budowy obwodnicy dał następujące wyniki: \(60 \%\) badanych wypowiedziało się przeciw tej budowie, a wśród nich \(70 \%\) handlowców. Natomiast pomiędzy zwolennikami tego przedsięwzięcia \(20 \%\) to handlowcy.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest handlowcem i zwolennikiem obwodnicy.
b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest handlowcem.
c) Losowo wybrana osoba stwierdziła, że jest handlowcem. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że popiera ona budowę obwodnicy.
(dolnośląskie, opolskie)
1. \(y=\left\{\begin{array}{l}0 \text { dla } 0 \leqslant x \leqslant 1000 \\ \frac{1}{5} x-200 \text { dla } 1000<x \leqslant 11000 \\ \frac{3}{10} x-1300 \text { dla } x>11000\end{array}\right.\)
2. Rozwiązaniem danego układu równań jest dokładnie jedna para liczb \(x=\frac{m^{2}+m-2}{m^{2}+4}\), \(y=\frac{-3 m-2}{2\left(m^{2}+4\right)}\) dla dowolnej wartości parametru \(m\). Warunki \(x>0\) i \(y<0\) są spełnione dla \(m \in(1 ;+\infty)\).
3. 150 zl .Wskazówka. Zależność zysku od ustalonej ceny aparatu można opisać wzorem
\[
f(n)=(40+n)(160-n)-(40+n) \cdot 100=-n^{2}+20 n+2400, \text { gdzie } n \in N_{+} \mathrm{i} n<60
\]
4. a) \(m \in(-1 ; 1-\sqrt{2}) \cup(1 ; 1+\sqrt{2})\).
b) \(y=x+\frac{3}{4}\) i \(y=-x+\frac{3}{4}\).
5. a) \(m \in\left(0 ; \frac{1}{5}\right) \cup(1 ; 2)\).
b) \(m \in\{0,3,4\}\).
6. \(m \in(9 ;+\infty)\).
7. \(m \in\left(-\frac{1}{2} ; 0\right\rangle \cup\{4\}\).
Wskazówka. Równanie \(m x^{4}-(m+2) x^{2}+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0\) ma dwa rozwiązania, gdy równanie \(m t^{2}-(m+2) t+\frac{1}{2} m+\frac{1}{4}=0\), gdzie \(t \geqslant 0\left(t=x^{2}\right)\), ma jedno rozwiązanie dodatnie.
8. \(m \in\left\langle-\frac{13}{3} ;-3\right) \cup\left(\frac{7}{3} ;+\infty\right)\).
Wskazówka. Wielomian \(W\) można zapisać w postaci
\[
W(x)=(x+1)\left((m-4) x^{2}-(2 m+2) x+m+3\right)
\]
9. \(a=-7, b=14, c=-8, x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4\).
10. \(m \in(2 ; 3)\).
11. a) \(m \in(-\infty ;-2) \cup(2 ;+\infty)\).
12. a) \(a_{3}\).
b) \(a_{1}<1, a_{2}<1, a_{3}>1, a_{4}<1, a_{5}<1, a_{6}>1\).
c) \(x \in\left\langle 2^{0,1} ; 2\right\rangle \cup\left\{\log _{\pi} 3\right\}\).
13. a) \(x \in(-\infty ; 3\rangle\).
b) Wskazówka. Rozważmy nierówność
\[
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c)-f(2 a)-f(2 b)-f(2 c) \leqslant 0
\]
Korzystając z równości \(f(x)=\frac{1}{x}\), przekształcamy lewą stronę:
\[
\begin{gathered}
f(a+b)+f(a+c)+f(b+c)-f(2 a)-f(2 b)-f(2 c)= \\
=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}-\frac{1}{2 a}-\frac{1}{2 b}-\frac{1}{2 c}= \\
=\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{4 a}-\frac{1}{4 b}\right)+\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{4 a}-\frac{1}{4 c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{4 b}-\frac{1}{4 c}\right)= \\
=\frac{-(a-b)^{2}}{4 a b(a+b)}+\frac{-(a-c)^{2}}{4 a c(a+c)}+\frac{-(b-c)^{2}}{4 b c(b+c)}= \\
=-\left(\frac{(a-b)^{2}}{4 a b(a+b)}+\frac{(a-c)^{2}}{4 a c(a+c)}+\frac{(b-c)^{2}}{4 b c(b+c)}\right) \leqslant 0 .
\end{gathered}
\]
14. Rozwiązaniem równania jest \(x=0\). Ponieważ rozwiązanie to należy do zbiorów \(A\) i \(B\), więc należy ono także do zbioru \(A \cap B\).
Uwaga. Zauważ, że nie jest konieczne wyznaczanie zbioru \(A \cap B\).
15. \(A=\langle-2 ;+\infty), B=(1 ; 2), C=(-2 ; 2)\).
a) \((A \backslash B) \cap(A \cup B)=A \backslash B=\langle-2 ; 1\rangle \cup\langle 2 ;+\infty)\).
b) \((A \backslash B) \cap C=(-2 ; 1\rangle\).
Wskazówka. Sprawdź, że \(2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\), następnie w nierówności podstaw \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=t\) \((t>0)\).
16. \(A=(-\infty ; 6), \quad B=(2 ;+\infty), \quad A \cap B=(2 ; 6)\).
17. a) \(p=\frac{5}{12}, \quad A=\left(-\infty ; \frac{7}{3}\right) \cup\left(\frac{17}{2} ;+\infty\right), B=\left(-1 ; \frac{4}{5}\right\rangle \cup(1 ;+\infty), \quad C=(2 ; 3) \cup(3 ; 4)\).
b) \(2,6,7,8,9,10\).
18. \(A=(-3 ;-1) \cup(1 ;+\infty), B=\left(\frac{9}{2} ; 5\right), \quad C=\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi ; \frac{3}{2} \pi\right), \quad(B \cup C) \cap A=\left(1 ; \frac{\pi}{2}\right) \cup(\pi ; 5)\). Spośród liczb naturalnych tylko liczby 4 i 5 należą do zbioru \((B \cup C) \cap A\).
19. \(A=(-\infty ; 2\rangle, \quad B=\left\langle 0 ; \frac{\pi}{3}\right\rangle \cup\left\langle\pi ; \frac{5 \pi}{3}\right\rangle \cup\{2 \pi\}, \quad C=\langle-2 \sqrt{2} ; 2 \sqrt{2}\rangle, \quad A \cap B \cap C=\left\langle 0 ; \frac{\pi}{3}\right\rangle\).
20. a) \(x \in(-2 ;-1) \cup(2 ;+\infty)\).
b) Wskazówka. Przekształć lewą stronę nierówności tak, aby oba logarytmy miały tę samą podstawe.
21. Należy dodać 10 wyrazów ( \(a_{1}=-4, a_{3}=2\) ).
22. \(a_{n}=-\frac{5}{2} n+\frac{11}{2}, a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{21}=-242 \quad(x=0)\).
23. Szesnastego dnia podróży pana \(A\).
24. a) \(a_{31}=108\).
b) \(a_{n+1}-a_{n}=4\).
c) \(a_{2}, a_{3}, a_{4}\) lub \(a_{4}, a_{5}, a_{6}\) lub \(a_{6}, a_{7}, a_{8}\).
25. a) \(a_{n}=3 n-5\).
b) \(k=2\).
c) \(n=13\).
26. a) \(a_{n}=-\frac{2}{5} n+\frac{1}{2}, \quad b_{n}=5 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).
b) \(c_{1}=567\).
Wskazówka. Zauważ, że \(c_{2}-c_{1}=a_{1}, c_{3}-c_{2}=a_{2}, \ldots, c_{55}-c_{54}=a_{54}\). Po dodaniu stronami tych równości otrzymamy \(-c_{1}+c_{55}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{54}\).
27. a) 16 boków.
b) Wskazówka.
\[
\begin{aligned}
& a_{1}-\binom{n}{1} a_{2}+\binom{n}{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{k+1}+\ldots+(-1)^{n} a_{n+1}= \\
& =a_{1}-\binom{n}{1}\left(a_{1}+r\right)+\binom{n}{2}\left(a_{1}+2 r\right)+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k}\left(a_{1}+k r\right)+\ldots+(-1)^{n}\left(a_{1}+n r\right)= \\
& =\left[a_{1}-\binom{n}{1} a_{1}+\binom{n}{2} a_{1}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} a_{1}+\ldots+(-1)^{n} a_{1}\right]+ \\
& \quad+r\left[0-\binom{n}{1} \cdot 1+\binom{n}{2} \cdot 2+\ldots+(-1)^{k}\binom{n}{k} \cdot k+\ldots+(-1)^{n} \cdot n\right]=
\end{aligned}
\]
(Wykorzystując równość \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{n}{k}\) dla \(k: 0<k<n\).)
\[
\begin{aligned}
= & a_{1}(1-1)^{n}+r\left[0-\binom{n-1}{0} \cdot n+\binom{n-1}{1} \cdot \frac{n}{2} \cdot 2+\ldots\right. \\
& \left.\quad+(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1} \cdot \frac{n}{k} \cdot k+\ldots+(-1)^{n}\binom{n-1}{n-1} \cdot \frac{n}{n} \cdot n\right]= \\
= & a_{1} \cdot 0+r n\left[-\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}-\binom{n-1}{2}+\ldots+(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1}+\ldots+(-1)^{n}\binom{n-1}{n-1}\right]= \\
= & -r n(1-1)^{n-1}=0
\end{aligned}
\]
28. a) \(p=2\).
b) \(x=-\frac{1}{4}\).
Wskazówka. Pamiętaj o warunku \(\left|\frac{1}{1-x}\right|<1\).
29. a) \(A=(-\infty ; 2\rangle, B=(-4 ; 6), \quad A \cap B=(-4 ; 2\rangle, A \backslash B=(-\infty ;-4\rangle\).
b) \(D=\left(\frac{1}{27} ; \frac{1}{3}\right\rangle, D \subset(A \cap B), \quad[(A \cap B) \backslash D]^{\prime}=(-\infty ;-4\rangle \cup\left(\frac{1}{27} ; \frac{1}{3}\right\rangle \cup(2 ;+\infty)\).
Wskazówka. Zauważ, że ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=2-\log _{\frac{1}{3}} x\). Ciąg geometryczny jest zbieżny, gdy \(|q|<1\) lub \(q=1\).
30. a) \(a=6\).
c) Równanie \(f(x)=k\) ma jedno rozwiązanie dla \(k \in(-\infty ;-1) \cup(12,5 ;+\infty)\), ma dwa rozwiązania dla \(k=-1\) i dla \(k=12,5\), ma trzy rozwiązania dla \(k \in(-1 ; 12,5)\).
31. \(k=3, n=-4\).
32. Rozważane styczne mają równania \(y=x\) i \(y=-x\).
33. a) \(a=1, b=4\).
b) \(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}\) dla \(x \in R \backslash\{-2,2\}\).
c) \(y=\frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\) i \(y=-\frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\).
d) \(y=1, x=-2\) i \(x=2\).
34. \(a=0, b=2\).
Równanie \(f(x)=x^{2}+m\) ma dwa rozwiązania dla \(m \in(-2 ;+\infty)\), ma trzy rozwiązania dla \(m=-2\), ma cztery rozwiązania dla \(m \in(-\infty ;-2)\).
Wskazówka. Równanie \(f(x)=x^{2}+m\) można przekształcić do postaci \(\frac{-x^{4}+x^{2}+2}{x^{2}-1}=m\). Naszkicuj wykres funkcji \(g(x)=\frac{-x^{4}+x^{2}+2}{x^{2}-1}\).
35. \(f(x)=x^{3}-6 \sqrt{3} x^{2}+24 x\) dla \(x \in R\),
\(f(0)=f(2 \sqrt{3})=f(4 \sqrt{3})=0\),
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\),
\(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12 \sqrt{3} x+24\) dla \(x \in R\),
funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 2 \sqrt{3}-2)\)
oraz \((2 \sqrt{3}+2 ;+\infty)\),
funkcja jest malejąca w przedziale \((2 \sqrt{3}-2 ; 2 \sqrt{3}+2)\),
\(y_{\text {min }}=f(2 \sqrt{3}+2)=-16\),
\(y_{\max }=f(2 \sqrt{3}-2)=16\).
36. a) \(f(x)=\frac{4 x}{x^{2}+1}\) dla \(x \in R\), funkcja jest nieparzysta, \(f(0)=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0\), prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{-4 x^{2}+4}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle-1 ; 1\rangle\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty ;-1\rangle\) oraz \(\langle 1 ;+\infty), y_{\max }=f(1)=2\), \(y_{\text {min }}=f(-1)=-2\).
b) \(a \in(-\infty ;-2\rangle \cup\langle 2 ;+\infty)\).
37. \(f(x)=\frac{4 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-2 x}\) dla \(x \in R \backslash\{0,2\}\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0\),
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=4\),
\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty\),
\(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty\),
prosta \(y=4\) jest asymptotą poziomą,
proste \(x=0\) i \(x=2\) są asymptotami pionowymi, \(f^{\prime}(x)=\frac{-6 x+6}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{0,2\}\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 0)\) oraz \((0 ; 1)\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((1 ; 2)\) oraz \((2 ;+\infty)\),
\(y_{\text {max }}=f(1)=1\) 。
38. a) \(f(x)=\frac{4 x^{2}-3 x-1}{4 x^{2}+1}\) dla \(x \in R, f(0)=-1, f\left(-\frac{1}{4}\right)=f(1)=0, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\), prosta \(y=1\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{12 x^{2}+16 x-3}{\left(4 x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)\) oraz \(\left(\frac{1}{6} ;+\infty\right)\), funkcja jest malejąca w przedziale \(\left(-\frac{3}{2} ; \frac{1}{6}\right)\), \(y_{\max }=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{4}, y_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{5}{4}\).
b) \(m \in(-\infty ;-1\rangle \cup\langle 1 ;+\infty)\).
Wskazówka. Naszkicuj wykres funkcji \(y=f(|x|-1)\).
39. \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x}{x-1}\) dla \(x \in R \backslash\{1\}, f(0)=f(3)=0\), \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\), \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=-\infty\), prosta \(x=1\) jest asymptotą pionowa, \(f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x+3}{(x-1)^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{1\}\), funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty ; 1)\) oraz \((1 ;+\infty)\).
Dla \(x=-4\) funkcja \(f\) osiąga w przedziale \(\left\langle-4 ; \frac{1}{2}\right\rangle\) wartość najmniejszą, równą \(-\frac{28}{5}\), dla \(x=\frac{1}{2}\) funkcja
ta osiąga wartość największą, równą \(\frac{5}{2}\).
40. a) \(m \in(-\infty ; 0) \cup\left(0 ; \frac{1}{4}\right)\).
b) Dla \(m=\frac{1}{8}\) funkcja \(f\) osiąga ekstremum i jest to maksimum.
c) \(f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}\) dla \(x \in R \backslash\{0\}, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty\), \(f(1)=0\), prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą, prosta \(x=0\) jest asymptotą pionową, \(f^{\prime}(x)=\) \(=\frac{2-x}{x^{3}}\) dla \(x \in R \backslash\{0\}\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((0 ; 2)\), funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\infty ; 0)\) oraz \((2 ;+\infty), y_{\max }=f(2)=\frac{1}{4}\).
41. \(f(x)=-\frac{(1-x)^{2}}{x^{2}-2 x}\) dla \(x \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty), \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=+\infty\), proste \(x=0\) oraz \(x=2\) są asymptotami pionowymi (jednostronnymi), \(f^{\prime}(x)=\frac{2 x-2}{\left(x^{2}-2 x\right)^{2}}\) dla \(x \in(-\infty ; 0) \cup\) \((2 ;+\infty)\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((2 ;+\infty)\), funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty ; 0)\). Funkcja zdefiniowana w zadaniu za pomocą szeregu nie posiada minimum w swojej dziedzinie.
42. \(f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}\) dla \(x \in R\), funkcja jest parzysta, \(f(0)=2, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\), prosta \(y=1\) jest asymptotą poziomą, \(f^{\prime}(x)=\frac{-2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) dla \(x \in R\), funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty ; 0)\), funkcja jest malejąca w przedziale \((0 ;+\infty), y_{\max }=f(0)=2\).
43. a)
b) \(P=\frac{40}{3} \pi+5 \sqrt{3}\).
44. a) \(y=x-\frac{45}{4}\).
b) \(P_{\triangle A B W}=3\).
45. a) \(C=(1,6)\) lub \(C=(7,-6)\).
b) Szukane punkty tworzą prostokąt o wierzchołkach: \(C_{1}=(3,-8), C_{2}=(7,-6), C_{3}=(-3,4)\) i \(C_{4}=(1,6)\). Stosunek pola tego prostokąta do pola dowolnego z trójkątów \(A B C_{i}(i=1,2,3,4)\) jest równy 2 .
Wskazówka. Możesz skorzystać z iloczynu skalarnego \(\overrightarrow{C A} \circ \overrightarrow{C B}=|C A| \cdot|C B| \cdot \cos |\Varangle A C B|\) oraz ze wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}|C A| \cdot|C B| \cdot \sin |\Varangle A C B|\).
46. \(D=(-6,3), \quad A=(-7,5), \quad B=(-4,1)\).
47. \(P=(0,-2), \quad P=\left(\frac{32}{17},-\frac{26}{17}\right)\) lub \(P=(4,2)\).
48. \(\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}\).
49. a) \((x+3)^{2}+(y-4)^{2}=100\).
b) \(P_{\triangle A B S}=50\).
c) \(P=25(2-\sqrt{2})^{2} \pi=50(3-2 \sqrt{2}) \pi\).
50. a) \(2 x+y-4=0\) i \(2 x+y+6=0\).
b) \(P_{\triangle A B S}=10 \quad(A=(0,4), B=(-2,-2), S=(1,-3))\).
51. a) Wskazówka. Sprawdź, że odległość środka danego okręgu od prostej \(k\) jest równa promieniowi tego okręgu.
b) \((x+2)^{2}+(y-2)^{2}=25\).
c) \((1,3),(-1,-1),(3,-3),(5,1)\).
52. a) \((x-4)^{2}+(y-1)^{2}=8\).
b) \(R=(6,-1)\).
c) Styczne do danego okręgu w punktach \(P\) i \(R\) są równoległe, a styczna do okręgu w punkcie \(Q\) jest do nich prostopadła.
53. \((x+4)^{2}+(y-5)^{2}=5 \quad(S=(2,4), T=(6,6))\).
54. a) \(\left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right),\left(-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right),\left(-\frac{10}{3},-\frac{10}{3}\right),\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right)\).
b) \(P(x)=\frac{2 \sqrt{2} x^{2}}{\sqrt{x^{2}-32}}\) dla \(x \in(4 \sqrt{2} ;+\infty)\).
55. a) Prosta \(l\) ma równanie \(2 x+y-4 p=0\). \(P_{\triangle A O B}=4 p^{2}\).
Wskazówka. Pole rozważanych trójkątów \(A O B\) można opisać wzorem \(P(a)=\frac{a^{2} p}{a-p}\), gdzie \(a \in(p ;+\infty)\) oznacza pierwszą współrzędną punktu przecięcia prostej \(l\) z osią \(x\). Pole to jest najmniejsze dla \(a=2 p\).
b) \(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{4 p^{2}}{2 p^{2}}=2\).
Wskazówka. Pole rozważanego prostokąta można opisać wzorem \(P(x)=4 p x-2 x^{2}\), gdzie \(x \in(0 ; 2 p)\) oznacza pierwszą współrzędną tego z wierzchołków prostokąta, który leży na prostej \(A B\). Pole to jest największe dla \(x=p\).
56. a) \(\left|A B_{1}\right|=\frac{\sqrt{14}}{4} r,\left|A B_{2}\right|=\frac{\sqrt{14}}{2} r\).
b) \(P_{\triangle A B_{1} C}=\frac{3 \sqrt{7}}{32} r^{2}, P_{\triangle A B_{2} C}=\frac{6 \sqrt{7}}{32} r^{2}, \frac{P_{\triangle A B_{1} C}}{P_{\triangle A B_{2} C}}=\frac{1}{2}\).
57. \(\cos \alpha=\sqrt{2}-1\).
58. \(\frac{2}{5}\) (boki trójkąta mają długości 6,8 i 10).
59. a) \(|B C|=8\).
b) \(\frac{16}{5}\).
60. a) \(\operatorname{tg}\left|\Varangle A C C_{1}\right|=\frac{\sqrt{3}}{5}\).
b) \(\frac{5 \sqrt{7}-7}{14}\).
c) Wskazówka. Wykaż, że trójkąt \(P Q R\) jest równoboczny o boku \(\frac{\sqrt{7}}{7} a\).
61. \(\frac{P_{\square A B C D}}{P_{\square D K B P}}=\frac{5}{3}\).
62. \(\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{13}}{13}\).
63. a) \(V=\frac{a^{3}}{8 \sin \alpha} \sqrt{3\left(3-4 \sin ^{2} \alpha\right)}, \quad P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3 \sqrt{3-4 \sin ^{2} \alpha}}{2 \sin \alpha}\right) a^{2}\).
b) \(60^{\circ}\).
c) \(P=\frac{5}{3} \pi a^{2}\).
64. a) 36 kulek.
b) Na pudełko, w którym jest jedna warstwa z 6 kulkami.
c) Pudełko o podstawie prostokąta.
65. \(V=\frac{d^{2} \sin ^{2} \beta}{\sin ^{2} \alpha} \sqrt{\sin ^{2} \alpha-2 \sin ^{2} \beta(1-\cos \alpha)}\).
66. \(P=4 S-\frac{1-\cos \alpha+2 \sqrt{\cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}}{1-\cos \alpha+2 \sqrt{\cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}+\sin \alpha}\).
67. a) \(V=288 \sqrt{3}\).
b) \(\cos \alpha=\frac{7}{8}\).
68. a) \(V=\frac{32}{27} \sqrt{3}, \quad P=\frac{8}{3}(\sqrt{3}+3)\).
b) \(P=\frac{16}{3}(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})\).
Wskazówka. Trójkąt, którego ramionami są wysokości ścian bocznych, jest równoboczny; długość jego boku jest równa połowie długości krawędzi podstawy ostroslupa.
69. a) \(k=\frac{2 \sqrt{3}}{3} . \quad P=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{13})}{4} a^{2}, \quad V=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}\).
b) Dla \(k \in\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ;+\infty\right)\) rozważany kąt jest ostry, a dla \(k \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) jest rozwarty. Nie istnieje wartość \(k\), dla której ten kąt ma \(59^{\circ}\).
Wskazówka. Cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa można przedstawić w postaci \(\cos \alpha=\frac{2 k^{2}-1}{4 k^{2}-1}\), gdzie \(k \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ;+\infty\right)\).
70. \(V=\frac{32 \sqrt{6}}{3} \mathrm{dm}^{3}, \quad P=(16+16 \sqrt{7}) \mathrm{dm}^{2}\).
71. \(\frac{4+\sqrt{3}}{8+\sqrt{19}}\).
72. \(V=\frac{4}{3} R^{3} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} \frac{1+\cos \alpha}{\cos \alpha}, \quad P=4 R^{2} \operatorname{ctg}^{2} \frac{\alpha}{2} \frac{1+\cos \alpha}{\cos \alpha}\).
73. \(V=\frac{1}{27} \pi H a^{2}\).
Wskazówka. Objętość rozważanego walca można opisać wzorem \(V(r)=\pi H\left(r^{2}-\frac{1}{a} r^{3}\right)\), gdzie \(r \in\left(0 ; \frac{1}{2} a\right)\) oznacza promień podstawy walca. Objętość ta jest największa dla \(x=\frac{1}{3} a\).
74. Objętość rozważanego ostrosłupa jest równa \(V \sin \alpha \frac{1+\cos \alpha}{3 \pi}\).
75. \(\frac{4}{3} R\).
Wskazówka. Objętość rozważanego ostrosłupa można opisać wzorem \(V(h)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(2 R h^{2}-h^{3}\right)\), gdzie \(h \in(0 ; 2 R)\) oznacza wysokość ostrosłupa.
76. \(\frac{2 \sin ^{2}(\alpha+\beta)}{\sin \beta \cos \alpha \sin 2 \alpha}\).
77. \(\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{6} \pi\).
Wskazówka. Pojemność rozważanego naczynia można opisać wzorem \(V(\alpha)=\frac{250}{3 \pi} \alpha^{2} \sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{4 \pi^{2}}}\), gdzie \(\alpha \in(0 ; 2 \pi)\).
78. \(V=\frac{16}{9}\).
Wskazówka. Objętość rozważanego graniastosłupa można opisać wzorem \(V(x)=6 x^{2}-3 \sqrt{2} x^{3}\), gdzie \(x \in(0 ; \sqrt{2})\) oznacza połowę przekątnej podstawy graniastosłupa. Objętość ta jest największa dla \(r=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\).
79. a) \(P=3 \sqrt{15}\).
b) \(P=12 \sqrt{15} \pi, \quad V=30 \pi\).
c) \(31+10+46=87\).
Wskazówka. Możesz skorzystać z twierdzenia cosinusów.
80. \(P(A)=\frac{3}{9^{3}} \approx 0,004, P(B \backslash C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}=\frac{1}{162} \approx 0,006\).
81. \(\Omega=\{(p, q): p, q \in\{1,2,3,4,5,6\}\}\).
a) \(P(A)=\frac{15}{36} \approx 0,42, P(B)=\frac{9}{36}=0,25, P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\) \(=\frac{15}{36}+\frac{9}{36}-\frac{1}{36}=\frac{23}{36} \approx 0,64\).
b) Zdarzenia \(A\) i \(B\) nie są niezależne.
82. \(\frac{\binom{8}{2}}{\binom{24}{2}} \cdot 1+\frac{\binom{8}{1}\binom{16}{1}}{\binom{24}{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
83. a) \(\frac{1}{9}\).
b) \(\frac{2}{9}\).
Wskazówka. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wyraża wzór \(\frac{n}{4+n} \cdot \frac{5}{20}\), a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej — wzór \(\frac{n}{4+n} \cdot \frac{2}{10}\).
84. a) \(P(A)=\frac{4}{9}, P(B)=\frac{5}{9}\).
b) Jedną lub dziesięć.
Wskazówka. Gdy losujemy kule bez zwracania, prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe \(\frac{\binom{10}{1}\binom{5+n}{1}}{\binom{15+n}{2}}\), a zdarzenia \(B\) wynosi \(\frac{\binom{10}{2}+\binom{5+n}{2}}{\binom{15+n}{2}}\), gdzie \(n\) oznacza liczbę czarnych kul, które należy dołożyć do urny.
85. Wojtek.
Wskazówka. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych przez Marka jest równe \(\frac{1}{3} \cdot \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}+\frac{2}{3} \cdot \frac{\binom{3}{2}}{\binom{10}{2}}\), a przez Wojtka wynosi \(\frac{\binom{9}{2}}{\binom{20}{2}}\).
86. Większe jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych, jeśli wylosowane kule zatrzymujemy; wynosi ono \(\binom{3}{2}\left(\frac{3}{8}\right)^{2} \cdot \frac{5}{8}<\frac{\binom{3}{2}\binom{5}{1}}{\binom{8}{3}}\).
87. a) \(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{60}\).
b) \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \cdot \frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}}=\frac{13}{30}\)
88. a) 6 kul białych.
b) \(\frac{\binom{4}{2} \cdot\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=0,3\).
c) \(\frac{1}{2}\).
Wskazówka. \(P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{5}\right)+P\left(A_{6}\right)=\)
\[
=\binom{10}{5}\left(\frac{6}{10}\right)^{5}\left(\frac{4}{10}\right)^{5}+\binom{10}{5}\left(\frac{5}{10}\right)^{5}\left(\frac{5}{10}\right)^{5}+\binom{10}{5}\left(\frac{4}{10}\right)^{5}\left(\frac{6}{10}\right)^{5} \approx 0,65
\]
89. Dwa.
Wskazówka. Prawdopodobieństwo złożenia jednokolorowego półkola wynosi \(\frac{\binom{4 n}{2}+2\binom{4}{2}}{\binom{4 n+8}{2}}\), gdzie \(n \in N_{+}\)oznacza liczbę kółek niebieskich.
90. a) \(\frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{2}{10}+\frac{\binom{2}{1} \cdot\binom{10}{1}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{1}{10}+\frac{\binom{2}{2}}{\binom{12}{2}} \cdot 0=\frac{110}{660} \approx 0,17\).
b) \(\frac{\binom{2}{1}\binom{10}{1}}{\binom{12}{2}} \cdot \frac{1}{10}=\frac{2}{66} \approx 0,03\).
91. \(P(C)<P(B)<P(A)<P(D)\).
Wskazówka.
\[
\begin{gathered}
P(A)=1-\binom{6}{0}\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{5}{6}\right)^{6}, \quad P(B)=\binom{6}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \\
P(C)=\binom{6}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\binom{6}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}, \quad P(D)=1-\binom{6}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}
\end{gathered}
\]
92. \(\binom{3}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \frac{\binom{6}{3}+\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}}+\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right) \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{5}{24} \approx 0,21\).
93. a) 6 oczek.
b) \(1-\binom{3}{0}\left(\frac{1}{9}\right)^{0}\left(\frac{8}{9}\right)^{3}=\frac{217}{729} \approx 0,3\).
94. a) \(\Omega=\left\{\left(\left(s_{i}, s_{j}\right) ; w_{k}\right): s_{i}, s_{j}\right.\) - środki krawędzi, \(w_{k}\) - wierzchołek, \(i, j \in\{1,2,3,4,5,6\}\), \(i \neq j, k \in\{1,2,3,4\}\}, \quad \overline{\bar{\Omega}}=\binom{6}{2} \cdot\binom{4}{1}=60\).
b) \(\frac{36}{60}=0,6\).
95. a) \(\frac{20}{100} \cdot \frac{40}{100}=0,08\).
b) \(\frac{60}{100} \cdot \frac{70}{100}+\frac{40}{100} \cdot \frac{20}{100}=0,5\).
c) \(\frac{0,08}{0,5}=0,16\).
