Zadanie 1. [2021 Informator CKE, zad.3, 3 pkt]
| Na diagramie obok przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem
\(W(x)=4 x^3-19 x^2-12 x+18\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\). |
 |
Skorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Na mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian \(W\) ma pierwiastek wymierny, to należy on do zbioru
\(\mathbb{M}=\left\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}\right\}\)
Na podstawie fragmentu wykresu funkcji \(W\) stwierdzamy, że jeden z pierwiastków wielomianu znajduje się w przedziale \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\). Tylko jedna liczba ze zbioru \(\mathbb{M}\) leży w tym przedziale i jest to ułamek \(\frac{3}{4}\).
Sprawdzamy, czy liczba \(\frac{3}{4}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) :
\(W\left(\frac{3}{4}\right)=4 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3-19 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-12 \cdot \frac{3}{4}+18=\frac{27}{16}-\frac{171}{16}-\frac{144}{16}+\frac{288}{16}=0\)
Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian \(\left(x-\frac{3}{4}\right)\).
Dzielimy wielomian \(W\) przez dwumian \(\left(x-\frac{3}{4}\right)\) i zapisujemy go w postaci iloczynowej:
\(W(x)=\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(4 x^2-16 x-24\right) .\)
Pierwiastkami trójmianu \(4 x^2-16 x-24\) są liczby: \(2-\sqrt{10}\) oraz \(2+\sqrt{10}\).
Pierwiastkami wielomianu \(W\) są liczby: \(2-\sqrt{10}, 2+\sqrt{10}\) oraz \(\frac{3}{\pi}\).
Zadanie 2. [2021 Informator CKE, zad.5, 3 pkt]
Wielomian \(W\) jest określony wzorem \(W(x)=(x-1)\left(x^2-m x+m-1\right)\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wielomian \(W\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
Zauważmy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu \(W\). Zatem wielomian \(W\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty tylko wtedy, gdy funkcja \(f(x)=x^2-m x+m-1\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1 lub gdy funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.
Zatem
\(\begin{gathered}\Delta<0 \text { lub }\left(\Delta=0 \text { i } x_0=1\right) \\m^2-4 m+4<0 \text { lub }\left(m^2-4 m+4=0 \text { i }-\frac{b}{2 a}=1\right) \\(m-2)^2<0 \quad \text { lub }\left((m-2)^2=0 \quad \text { i } \quad \frac{m}{2}=1\right)\end{gathered}\)
Nierówność \((m-2)^2<0\) jest sprzeczna, natomiast z warunków
\((m-2)^2=0 \quad \text { і } \quad \frac{m}{2}=1\)
otrzymujemy \(m=2\)
Odp. \(m=2\).
Zadanie 3. [2022 marzec, zad.4, 5 pkt]
Dane jest równanie
\((x-6) \cdot\left[(m-2) x^2-4(m+3) x+m+1\right]=0\)
z niewiadomą \(x\) i parametrem \(m \in \mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.
Zauważmy, że jednym z rozwiązań równania
\((x-6) \cdot\left[(m-2) x^2-4(m+3) x+m+1\right]=0\)
jest liczba 6. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku wedy i tylko wtedy, gdy równanie
\((m-2) x^2-4(m+3) x+m+1=0\)
ma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie \(x_1, x_2\) takie, że \(x_1 \neq 6\) i \(x_2 \neq 6\).
Dla \(m=2\) równanie (2) przyjmuje postać \(-20 x+3=0\) i ma tylko jedno rozwiązanie.
Pozostaje wyznaczyć te wartości parametru \(m\), dla których warunki zadania są spelnione, a równanie (2) jest kwadratowe, tj. wyznaczyć te wartości parametru, dla których spelnione są jednocześnie następujące warunki:
(W1) \(m-2 \neq 0\)
(W2) \(\Delta>0\)
(W3) \(x_1 \cdot x_2>0\)
(W4) \(x_1+x_2>0\)
(W5) \((m-2) \cdot 6^2-4 \cdot(m+3) \cdot 6+m+1 \neq 0\)
Rozwiązaniem warunku (W1) jest \(m \neq 2\).
Rozwiązujemy nierówność \(\Delta>0\) :
\(\begin{gathered}{[-4(m+3)]^2-4 \cdot(m-2) \cdot(m+1)>0} \\16 m^2+96 m+144-4 m^2+4 m+8=0 \\12 m^2+100 m+152>0 \\m \in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right) \cup(-2,+\infty)\end{gathered}\)
Korzystając ze wzorów Viète'a, rozwiązujemy warunek (W3):
\(\begin{aligned}x_1 \cdot x_2 &>0 \\\frac{m+1}{m-2} &>0 \\(m+1)(m-2) &>0 \wedge m \neq 2 \\m \in(-\infty,-1) & \cup(2,+\infty)\end{aligned}\)
Korzystając ze wzorów Viète'a, rozwiązujemy warunek (W4):
\(x_1+x_2>0\)
\(\begin{gathered}-\frac{-4(m+3)}{m-2}>0 \\(m+3)(m-2)>0 \wedge m \neq 2 \\m \in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\end{gathered}\)
Rozwiązujemy warunek (W5):
\(\begin{gathered}(m-2) \cdot 6^2-4 \cdot(m+3) \cdot 6+m+1 \neq 0 \\13 m-143 \neq 0 \\m \neq 11\end{gathered}\)
Wyznaczamy część wspólną rozwiązań warunków (W1)-(W5) i otrzymujemy \(m \in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right) \cup(2,11) \cup(11,+\infty)\)
Równanie (1) ma trzy różne rozwiązania tego samego znaku dla \(m \in\left(-\infty,-\frac{19}{3}\right) \cup(2,11) \cup(11,+\infty)\)
