Równania i nierówności - matura od 2023 - poziom podstawowy

Zadania maturalne CKE (matura od 2023) - POZIOM PODSTAWOWY Odsłon: 9095

A

Sposób 1.
Rozwiązaniami równania postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\) są takie liczby \(x_i\), dla których:
\[
V\left(x_i\right)=0 \quad \text { oraz } \quad W\left(x_i\right) \neq 0
\]
Mianownik ułamka \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}\) musi być różny od zera, zatem:
\[
(2 x-10)(x+3) \neq 0
\]

lloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:
\[
\begin{array}{lll}
2 x-10 \neq 0 & \text { oraz } & x+3 \neq 0 \\
x \neq 5 & \text { oraz } & x \neq-3
\end{array}
\]
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
\[
(4 x+1)(x-5)=0
\]
lloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
\[
\begin{array}{lll}
4 x+1=0 & \text { lub } & x-5=0 \\
x=-\frac{1}{4} & \text { lub } & x=5
\end{array}
\]
Ponieważ \(x \neq 5\), to rozwiązaniem równania jest liczba \(x=-\frac{1}{4}\).
Sposób 2.
Wyrażenie po lewej stronie równania \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0\) ma sens liczbowy, gdy:
\[
\begin{aligned}
&(2 x-10)(x+3) \neq 0 \\
&x \neq 5 \quad \text { oraz } \quad x \neq-3
\end{aligned}
\]
Zatem równanie \(\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0\) jest określone dla \(x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-3\}\). Przekształcimy równoważnie równanie:
\[
\begin{aligned}
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0 \\
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{2(x-5)(x+3)}=0 \\
&\frac{4 x+1}{2(x+3)}=0
\end{aligned}
\]
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
\[
\begin{aligned}
&4 x+1=0 \\
&x=-\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]

Zauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego w równaniu \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\) podstawiamy \(z=(x-1)^2\), gdzie \(z \geq 0\), po czym otrzymujemy równanie kwadratowe \(z\) niewiadomą \(z\) :
\[
z^2-5 z+6=0 \quad z=(x-1)^2 \quad \text { gdzie } \quad z \geq 0
\]

Sposób 1, rozwiązania równania \(z^2-5 z+6=0\)
Rozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:
\[
\begin{aligned}
\left(z^2-5 z\right)+6 &=\left[z^2-2 \cdot \frac{5}{2} z+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+6=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+6=\\
&=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
Rozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:
\(\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\left|z-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}\)
\(z-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \quad\) lub \(\quad z-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\)
\(z=3 \quad\) lub \(\quad z=2\)
Sposób 2. rozwiązania równania \(z^2-5 z+6=0\)
Obliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
\[
\Delta_z=b^2-4 a c=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6=1 .
\]
Ponieważ \(\Delta_z>0\) to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach matematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:
\[
z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_z}}{2 a} \quad z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_z}}{2 a}
\]
Rozwiązania równania kwadratowego:
\[
z_1=2 \quad \text { lub } \quad z_2=3
\]
Powracamy do podstawienia \(z=(x-1)^2\) i wyznaczamy rozwiązania równania podanego w zadaniu:
\(\begin{array}{lll}(x-1)^2=2 & \text { lub } & (x-1)^2=3 \\ |x-1|=\sqrt{2} & \text { lub } & |x-1|=\sqrt{3}\end{array}\)
Stąd: \(x_{11}=\sqrt{2}+1\) lub \(x_{12}=-\sqrt{2}+1\) lub \(\quad x_{21}=\sqrt{3}+1\) lub \(x_{22}=-\sqrt{3}+1\)

A

A

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:
\[
\begin{gathered}
3 x^3-6 x^2-27 x+54=0 \\
3 x^2(x-2)-27(x-2)=0 \\
(x-2)\left(3 x^2-27\right)=0 \\
3(x-2)\left(x^2-9\right)=0
\end{gathered}
\]
Stąd otrzymujemy kolejno
\[
\begin{gathered}
x-2=0 \text { lub } \quad x^2-9=0 \\
x-2=0 \text { lub }(x-3)(x+3)=0 \\
x-2=0 \text { lub } x-3=0 \text { lub } x+3=0 \\
x=2 \text { lub } x=3 \text { lub } x=-3
\end{gathered}
\]

B
Komentarz
Wyznaczamy dziedzinę rówhania: \(D=R \backslash\{-1,1\}\).
Licznik ułamka jest równy 0 , gdy
\[
\left(x^2+x\right)=0 \text { lub }(x+3)=0 \text { lub }(x-1)=0
\]
Zaten
\[
\begin{gathered}
x(x+1)=0 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1 \\
x=0 \text { lub } x=-1 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1
\end{gathered}
\]
Spośród tych czterech liczb do dziedziny należą tylko \(x=-3\) oraz \(x=0\),

C
Komentarz
Dany zbiór składa się z dwóch przedzialów, których końce są równo odległe od liczby (-2). Z własności wartości bezwzględnej mamy, że
\(|x-a| \geq r\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x \leq a-r\) lub \(x \geq a+r\).
Zatem uwzględniając interpretację geometryczną możemy stwierdzić, że rozwiązaniem jest \(\mathrm{C}\)

Nierówność \(2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6\) przekształcamy równoważnie:
\[
\begin{aligned}
&2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6 \\
&2 x-\sqrt{5} \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6 \\
&(2-\sqrt{5}) \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6
\end{aligned}
\]
Dzielimy obie strony nierówności przez \((2-\sqrt{5})\). Ponieważ liczba ta jest ujemna, więc należy pamiętać o odpowiedniej zmianie zwrotu nierówności.
\[
x \leq \frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}
\]
Upraszczamy ułamek \(\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}\)
\[
\begin{gathered}
x \leq \frac{-3(2-\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}} \\
x \leq-3
\end{gathered}
\]

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6\) jest \((-\infty,-3]\). Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest ( \(-3)\).
Uwaga
Ułamek \(\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}\) możemy uprościć, usuwając niewymierność z mianownika:
\[
\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\frac{6 \sqrt{5}+15-12-6 \sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{3}{-1}=-3
\]

Sposób I
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów
\[
-x^2(2 x-1)-9(2 x-1)=0 \text { lub } 2 x\left(-x^2+9\right)-1\left(-x^2+9\right)=0
\]
Stąd
\[
\begin{gathered}
\left(-x^2+9\right)(2 x-1)=0 \\
(3-x)(3+x)(2 x-1)=0
\end{gathered}
\]
Zatem rozwiązaniami równania są: \(x=-3\) lub \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=3\).

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu \(\mathrm{W}(x)\) przez dwumian \((x-a)\). Obliczamy \(W(3)=0\) i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu
\(W(x)=-2 x^3+x^2+18 x-9\). Po podzieleniu wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-3)\) otrzymujemy iloraz \(\left(-2 x^2-5 x+3\right)\).
Zapisujemy dane równanie w postaci
\[
(x-3)\left(-2 x^2-5 x+3\right)=0
\]
Stąd
\[
x-3=0, \text { lub }-2 x^2-5 x+3=0
\]
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-5)^2-4 \cdot(-2) \cdot 3=25+24=49 \\
x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5-7}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \text { oraz } x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5+7}{-4}=\frac{12}{-4}=-3
\end{gathered}
\]
Rozwiązując równanie \(x-3=0\), otrzymujemy: \(x=3\).
Rozwiązania równania to: \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=-3\) lub \(x=3\).

Sposób I
Przekształcamy lewą stronę równania \(-x^3+13 x-12=0\) w sposób równoważny tak, aby otrzymać postać iloczynową wielomianu \(-x^3+13 x-12\) :
\[
\begin{gathered}
-x^3+13 x-12=0 \\
-x^3+x+12 x-12=0 \\
-x\left(x^2-1\right)+12(x-1)=0 \\
-x(x-1)(x+1)+12(x-1)=0 \\
(x-1)[-x(x+1)+12]=0 \\
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\end{gathered}
\]
Korzystamy z własności iloczynu i zapisujemy równanie \((x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0\) jako alternatywę równań:
\[
x-1=0 \quad \text { lub } \quad-x^2-x+12=0
\]
Rozwiązując równanie \(x-1=0\), otrzymujemy: \(x=1\)
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{gathered}
\]
Zatem rozwiązaniami równania są liczby: \((-4), 1\) oraz 3.

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu \(\mathrm{W}(x)\) przez dwumian \((x-a)\).
Obliczamy \(W(1)=0\) i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu
\[
W(x)=-x^3+13 x-12=0
\]
Po podzieleniu wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy iloraz \(\left(-x^2-x+12\right)\).
Zapisujemy dane równanie w postaci
\[
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\]
Stąd
\[
x-1=0 \text { lub }-x^2-x+12=0
\]
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
\[
\begin{aligned}
&\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
&x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{aligned}
\]
Rozwiązując równanie \(x-1=0\), otrzymujemy: \(x=1\)
Rozwiązania równania to: \(x=-4\) lub \(x=1\) lub \(x=3\).

C
Komentarz
Stosując wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2,(a-b)^2, a^2-b^2[\ldots]\), otrzymujemy:
\[
\frac{3 x(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)^2}=0
\]
Stąd
\(3 x=0\) lub \(x-2=0\) lub \(x-3=0\) lub \(x+3=0\)
Zatem \(x=0\) lub \(x=2\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\).
Ponieważ równanie ma sens, gdy \(x \neq 2\) lub \(x \neq 3\), więc jego rozwiązaniami są liczby
\[
x=0, x=-3 \text {. }
\]

B

A

A

B

C

D

A

Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\[
\begin{gathered}
3 x^3-2 x^2-12 x+8=0 \\
x^2(3 x-2)-4(3 x-2)=0 \\
(3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\
3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\
x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2
\end{gathered}
\]
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\[
3 x^3-2 x^2-12 x+8=0
\]

\[
\begin{gathered}
3 x\left(x^2-4\right)-2\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\
3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\
x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2
\end{gathered}
\]
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).
Sposób III
Obliczamy \(W(2)=0\) i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\).
Zatem wielomian \(W\) jest podzielny przez dwumian \(x-2\). Dzielimy wielomian \(W\) przez dwumian \(x-2\) i otrzymujemy
\[
\left(3 x^3-2 x^2-12 x+8\right):(x-2)=3 x^2+4 x-4
\]
Zatem \(W(x)=(x-2)\left(3 x^2+4 x-4\right)\).
Obliczamy pierwiastki trójmianu \(3 x^2+4 x-4\) :
\[
\begin{gathered}
\Delta=4^2-4 \cdot 3 \cdot(-4)=64 \\
x=\frac{-4-8}{2 \cdot 3}=-2 \text { oraz } x=\frac{-4+8}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3}
\end{gathered}
\]
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).

Sposób IV
Obliczamy \(W(2)=0\) i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\)
Obliczamy \(W(-2)=0\) i stwierdzamy, że liczba \((-2)\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\).
Obliczamy \(W\left(\frac{2}{3}\right)=0\) i stwierdzamy, że liczba \(\frac{2}{3}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8\).
Ponieważ \(W\) jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania \(3 x^3-2 x^2-12 x+8=0\) są liczby: \((-2), \frac{2}{3}, 2\).

A

Przekształcamy nierówność równoważnie:
\[
\begin{gathered}
x(2 x-1)<2 x \\
2 x^2-x-2 x<0 \\
2 x^2-3 x<0 \\
2 x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0
\end{gathered}
\]
Odczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu \(2 x\left(x-\frac{3}{2}\right): x=0\) lub \(x=\frac{3}{2}\). Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\) lub \(x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)\), lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej
Inny sposób realizacji obliczenia pierwiastków trójmianu:
Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci \(2 x^2-3 x<0\), obliczamy wyróżnik \(\Delta\) trójmianu \(2 x^2-3 x\), a następnie pierwiastki tego trójmianu:
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 0=9 \\
x=\frac{-(-3)-3}{2 \cdot 2}=0 \text { lub } x=\frac{-(-3)+3}{2 \cdot 2}=\frac{3}{2}
\end{gathered}
\]

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
\[
\begin{gathered}
x^3+4 x^2-9 x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x+4)\left(x^2-9\right)=0 \\
(x+4)(x+3)(x-3)=0 \\
x+4=0 \text { lub } x+3=0 \text { lub } x-3=0 \\
x=-4 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=3
\end{gathered}
\]
Rozwiązaniami równania są liczby: \((-4),(-3), 3\).

B