Zadanie 1. [2021 Informator CKE, zad.2, 3 pkt]
Dane są liczby \(a=\left(\log _{\sqrt{5}} 2\right) \cdot \log _2 25\) i \(b=\frac{\log _5 6}{\log _5 8}\). Oblicz \(a^{b+1}\)
Obliczamy \(a\) oraz \(b\) z wykorzystaniem wzoru na zamianę podstawy logarytmu:
\(\begin{aligned}&a=\log _{\sqrt{5}} 2 \cdot \log _2 25=\frac{\log _2 2}{\log _2 \sqrt{5}} \cdot 2 \log _2 5=\frac{\log _2 2}{\frac{1}{2} \log _2 5} \cdot 2 \log _2 5=4 \\&b=\frac{\log _5 6}{\log _5 8}=\log _8 6=\frac{\log _2 6}{\log _2 8}=\frac{1}{3} \log _2 6=\log _2 \sqrt[3]{6}\end{aligned}\)
Obliczamy \(a^{b+1}\) :
\(a^{b+1}=4^{\log _2 \sqrt[3]{6}+1}=4^{\log _2 \sqrt[3]{6}} \cdot 4^1=2^{2 \log _2 \sqrt[3]{6}} \cdot 4=2^{\log _2 \sqrt[3]{36}} \cdot 4=4 \sqrt[3]{36}\)
Zadanie 2. [2022 marzec, zad.1, 3 pkt]
Dane są liczby \(a=\log _2 3\) oraz \(b=\log _3 7\).
Wyraź \(\log _4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\).
Zapisz obliczenia.
\(\log _4 49=2 \cdot \log _4 7=2 \cdot \frac{\log _3 7}{\log _3 4}=2 \cdot \frac{\log _3 7}{\frac{\log _2 4}{\log _2 3}}=2 \cdot \log _3 7 \cdot \frac{\log _2 3}{\log _2 4}=2 \cdot \log _3 7 \cdot \frac{\log _2 3}{2}\)
Zatem
\(\log _4 49=2 \cdot b \cdot \frac{a}{2}=a \cdot b\)
Odp. \(\log _4 49=a \cdot b\).
Zadanie 3. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.1, 3 pkt]
Oblicz wartość wyrażenia
\[
\log _8 3^{3 \log _3 2-\log _{27} 8-\log _9 4}
\]
Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na zamianę podstaw logarytmu i przekształcamy wykładnik potęgi
\[
3 \log _3 2-\log _{27} 8-\log _9 4=3 \log _3 2-\log _{3^3} 8-\log _{3^2} 4=3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 8-\frac{1}{2} \log _3 4
\]
Stosujemy wzór na logarytm potęgi
\[
\begin{gathered}
3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 8-\frac{1}{2} \log _3 4=3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 2^3-\frac{1}{2} \log _3 2^2= \\
=3 \log _3 2-\frac{1}{3} \cdot 3 \log _3 2-\frac{1}{2} \cdot 2 \log _3 2=\log _3 2
\end{gathered}
\]
Stosując wzór \(a^{\log _a b}=b\), obliczamy wartość potęgi
\[
\log _8 3^{3 \log _3 2-\frac{1}{3} \log _3 8-\frac{1}{2} \log _3 4}=\log _8 3^{\log _3 2}=\log _8 2=\frac{1}{3}
\]
Zadanie 4. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.6, 3 pkt]
W rozwinięciu wyrażenia \((a+b)^n\) dla pewnego \(n \in N\) suma współczynników przy wyrazach \(a^{n-2} b^2\) oraz \(a^{n-1} b\) jest równa 66.
Oblicz n. Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na rozwinięcie dwumianu Newtona:
\[
(a+b)^n=\left(\begin{array}{l}
n \\
0
\end{array}\right) a^n b^0+\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \\
1
\end{array}\right) \boldsymbol{a}^{n-1} \boldsymbol{b}^1+\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \\
2
\end{array}\right) \boldsymbol{a}^{n-2} \boldsymbol{b}^2+\cdots+\left(\begin{array}{c}
n \\
n-1
\end{array}\right) a^1 b^{n-1}+\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right) a^0 b^n
\]
Zapisując sumę współczynników przy odpowiednich potęgach, otrzymujemy równanie:
\[
\left(\begin{array}{l}
n \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n \\
1
\end{array}\right)=66
\]
Stosujemy wzór na symbol Newtona \(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\), skąd po przekształceniach otrzymujemy kolejno:
\[
\begin{aligned}
&\frac{(n-1) n}{2}+n=66 \\
&n^2+n-132=0
\end{aligned}
\]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe i sprawdzamy, które z rozwiązań jest liczbą naturalną:
\[
n=-12 \notin N \text { oraz } n=11 \in N
\]
Szukanym wykładnikiem jest \(n=11\).
Zadanie 5. [2022 grudzień, zad.1, 2 pkt]
Oblicz
\[
\frac{\log _3 5 \cdot \log _{25} 27}{\log _7 \sqrt[6]{49}}
\]
Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy
\[
\frac{\log _3 5 \cdot \log _{25} 27}{\log _7 \sqrt[6]{49}}=\frac{\log _3 5 \cdot \frac{\log _3 27}{\log _3 25}}{\log _7 \sqrt[6]{49}}=\frac{\log _3 5 \cdot \frac{\log _3 27}{\log _3 5^2}}{\log _7\left(7^2\right)^{\frac{1}{6}}}
\]
Stosujemy wzór na logarytm potęgi i korzystamy z definicji logarytmu, otrzymując
\[
\frac{\log _3 5 \cdot \frac{\log _3 27}{\log _3 5^2}}{\log _7\left(7^2\right)^{\frac{1}{6}}}=\frac{\log _3 5 \cdot \frac{3}{2 \log _3 5}}{\frac{1}{3} \log _7 7}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}
\]
Zadanie 6. [2023 maj, zad.1, 2 pkt]
W chwili początkowej \((t=0)\) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa \(19 \%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t \geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).
Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama. Zapisz obliczenia.
Oznaczmy:
\(t\) - czas (w dobach), licząc od chwili początkowej,
\(m(t)\) - masa substancji po \(t\) dobach, licząc od chwili początkowej.
Liczby \(m(0), m(1), m(2)\) itd. są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 0,81 . Zatem
\[
m(t)=4 \cdot 0,81^t
\]
gdzie \(t\) jest liczbą całkowitą nieujemną. Ten ciąg geometryczny jest malejący. Ponadto
\[
\begin{aligned}
& m(4)=4 \cdot 0,81^4 \approx 1,72>1,5 \\
& m(5)=4 \cdot 0,81^5 \approx 1,39<1,5
\end{aligned}
\]
więc masa substancji będzie mniejsza od \(1,5 \mathrm{~g}\) po pięciu dobach.
Zadanie 7. [2023 czerwiec, zad.1, 2 pkt]
Dane są liczby
\[
a=4^{\log _2 45} \quad \text { oraz } \quad b=\frac{\log _3 2023}{\log _9 2023}
\]
Oblicz \(a-b\).
Obliczamy \(a\) :
\[
a=4^{\log _2 45}=\left(2^2\right)^{\log _2 45}=2^{\log _2 45^2}=45^2=2025
\]
Stosujemy wzór na zamianę postawy logarytmu i obliczamy \(b\) :
\[
b=\frac{\log _3 2023}{\log _9 2023}=\frac{\log _3 2023}{\frac{\log _3 2023}{\log _3 9}}=\log _3 9=2
\]
Zatem \(a-b=2023\).
