|
GEOMETRIA ANALITYCZNA - trochę teorii
2. Składowa wektora 3. Współrzędne wektora 4. Wersory osi 5. Długość wektora 6. Środek odcinka 7. Równanie okręgu 8. Kąt dwóch wektorów 9. Iloczyn skalarny wektorów Jeśli wektory \(\vec{u} \mathrm{i} \vec{v}\) mają współrzędne: \(\vec{u}\left[a_1, a_2\right], \vec{v}\left[b_1, b_2\right]\), to ich iloczyn skalarny wyraża się wzorem: \(\vec{u} \cdot \vec{v}=a_1 b_1+a_2 b_2\). 10. Wyznacznik pary wektorów 11. Pole trójkąta Jeśli punkty \(A, B, C\) są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta wyraża się wzorem: \(P=\frac{1}{2}|d(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|=\frac{1}{2}|d(\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C})|=\frac{1}{2}|d(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B})|\) |
Zadanie 1
Oblicz współrzędne punktu \(C\), mając dane:
a) \(D(4,-2)\) i \(\overrightarrow{C D}=[1,-4]\),
b) \(D(-1,4) \quad\) i \(\quad \overrightarrow{D C}=[a, 2 a]\),
c) \(D(-2,-3) \quad\) i \(\quad \overrightarrow{C D}=[6,-4]\).
Niech \(C\left(x_C, y_C\right)\). Mając dane wspólrzędne punktu \(D\left(x_D, y_D\right)\) oraz wspótrzędne wektora \(\overrightarrow{C D}=[c, d]\), znajdujemy wspótrzędne punktu \(C\) rozwiązując układ równań:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_D-x_C=c \\
y_D-x_C=d,
\end{array}\right.
\]
czyli
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_C=x_D-c \\
x_C=y_D-d .
\end{array}\right.
\]
a) Dane: \(x_D=4, y_D=-2, c=1, d=-4\).
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_C=4-1=3 \\
x_C=-2-(-4)=2, \quad c z y l i \quad C(3,2) .
\end{array}\right.
\]
b) Dane: \(x_D=-1, y_D=4, c=-a, d=-2 a\).
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_C=-1-(-a)=a-1 \\
x_C=4-(-2 a)=2 a+4,
\end{array} \quad \text { czyli } \quad C(a-1,2 a+4),\right.
\]
c) Dane: \(x_D=-2, y D=-3, c=6, d=-4\).
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_C=-2-6=-8 \\
x_C=-3-(-4)=1, \quad \text { czyLi } \quad C(-8,1) .
\end{array}\right.
\]
Zadanie 2
Jakie znaki mają współrzędne wektora \(\overrightarrow{A B}=\left[\begin{array}{ll}a, b\end{array}\right]\), gdzie \(A\left(x_A, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right)\), jeśli:
a) \(x_A>0\) i \(y_A>0\), i \(x_B<0\), i \(y_B<0\),
b) \(x_A>0\) i \(y_A<0\), i \(x_B<0\), i \(y_B>0\),
c) \(x_A<0\) i \(y_A<0\), i \(x_B=0\), i \(y_B>0\),
d) \(x_A<-2\) i \(y_A<0\), i \(x_B>1\), i \(y_B>2\) ?
Niech \(A\left(x_A, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right)\) oraz \(\overrightarrow{A B}=\[a, b]\), wówczas:
\[
\left\{\begin{array}{l}
a=x_B-x_A=x_B+\left(-x_A\right) \\
b=y_B-y_A=y_B+\left(-y_A\right) .
\end{array}\right.
\]
a) \(-x_A<0\) i \(-y_A<0\) oraz \(x_B<0\) i \(y_B<0\), stąd:
\[
a=x_B+\left(-x_A\right)<0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)<0 .
\]
b) \(-x_A<0\) i \(-y_A>0\) oraz \(x_B<0\) i \(y_B>0\), stad:
\[
a=x_B+\left(-x_A\right)<0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)>0 .
\]
c) \(-x_A>0 \mathrm{i}-y_A>0\) oraz \(x_B=0\) i \(y_B>0\), stąd:
\[
a=x_B+\left(-x_A\right)>0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)>0 .
\]
d) \(-x_A>2 \mathrm{i}-y_A>0\) oraz \(x_B>1\) i \(y_B>2\), stąd:
\[
a=x_B+\left(-x_A\right)>3>0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)>2>0 .
\]
Zadanie 3
Mając dane współrzędne punktów \(A(-1,2), B(3,4), C(2,-1)\), oblicz współrzędne i długości wektorów:
a) \(\overrightarrow{A B}\)
b) \(\overrightarrow{B C}\)
c) \(2 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C}\)
d) \(\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}\),
e) \(2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}\),
f) \(-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\),
g) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}\),
h) \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A C}\).
Dane sa punkty \(A(-1,2), B(3,4)\) oraz \(C(2,-1)\).
a) \(\overrightarrow{A B}=[3-(-1), 4-2]=[4,2]\)
\[
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} .
\]
b)
\[
\begin{aligned}
& \overrightarrow{B C}=[2-3,-1-4]=[-1,-5] \\
& |\overrightarrow{B C}|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{26} .
\end{aligned}
\]
c)
\[
\begin{gathered}
2 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C}=2[4,2]-4[2+1,-1-2]= \\
=[8,4]-[12,-12]= \\
=[8-12,4-(-12)]=[-4,16] \\
|2 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C}|=\sqrt{(-4)^2+16^2}= \\
=\sqrt{4^2\left(1+4^2\right)}=4 \sqrt{17}
\end{gathered}
\]
d)
\[
\begin{gathered}
\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}[3,-3]=\left[\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right] \\
\left|\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{3}{2} \sqrt{2}
\end{gathered}
\]
e) \(2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}=2[4,2]+[-1,-5]-3[3,-3]=[-2,8]\) \(|2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}|=\sqrt{(-2)^2+8^2}=\sqrt{2^2\left(1+4^2\right)}=2 \sqrt{17}\)
f)
\[
\begin{gathered}
\left.-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=-[4,2]+[-3,3]-\frac{1}{2} \mid-1,-5\right]=\left[-6 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}\right] \\
\left|-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right|=\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2}=\frac{1}{2} \sqrt{218}
\end{gathered}
\]
g)
\[
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B}+\overleftrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=[4,2]+[-1,-\vec{b}]+[-3,3]=[0,0] \\
|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|=0
\end{gathered}
\]
h)
\[
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A C}=[4,2]+[1,5]+[3,-3]=[8,4] \\
|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A}|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{4^2\left(2^2+1\right)}=4 \sqrt{5} .
\end{gathered}
\]
Zadanie 4
Dany jest wektor \(\vec{u}[-1,2]\). Zbadaj czy istnieje taka liczba rzeczywista \(k\), aby zachodziła równość: \(\vec{w}=k \vec{u}\), gdy:
a) \(\vec{w}=[5,10]\)
c) \(\vec{w}=[3,0]\)
b) \(\vec{w}=[5,-10]\),
d) \(\vec{w}=\left[-\frac{1}{2}, 1\right]\)
e) \(\vec{w}=[0,0]\),
f) \(\vec{w}=[4,5]\).
Zadanie 5
Mając dane wektory \(\vec{u}=[2,3]\) i \(\vec{v}=[1,-4]\), wyznacz liczby rzeczywiste \(k, m\) tak, aby zachodziła równość:
\[
k \vec{u}+m \vec{v}=\vec{w}, \text { gdy: }
\]
a) \(\vec{w}=[3,-1]\),
b) \(\vec{w}=[1,7]\),
c) \(\vec{w}=[4,6]\)
d) \(\vec{w}=[8,2]\),
e) \(\vec{w}=[0,0]\),
f) \(\vec{w}=[1,1]\),
g) \(\vec{w}=[-2,3]\),
h) \(\vec{w}=[-6,-4]\).
Zadanie 6
Wykaż, że jeśli \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są niezerowymi i nierównoległymi wektorami, to dla każdego wektora \(\vec{w}\) istnieją liczby rzeczywiste \(k, m\) takie, że \(k \vec{u}+m \vec{v}=\vec{w}\)
Zadanie 7
Mając dane punkty \(A(1,2), B(-1,4), C(3,-2)\) wyznacz współrzędne punktu \(D\) tak, by zachodziła równość:
a) \(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{0}\)
b) \(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C}\).
Zadanie 8
Punkt \(S(7,-2)\) jest środkiem odcinka \(\overrightarrow{A B}\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\), mając dane współrzędne punktu \(A(2,3)\).
Zadanie 9
Punkty \(P(1,2)\) i \(Q(3,4)\) dzielą odcinek \(\overrightarrow{A B}\) na trzy przystające odcinki. Wyznacz współrzędne punktów \(A\) i \(B\).
Zadanie 10
Punkty \(A(1,1), B(2,2), C(3,-1)\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(A B C D\). Wyznacz współrzędne wierzchołka \(D\) korzystając z tego, że punkt przecięcia się przekątnych równoległoboku jest jego środkiem symetrii.
Zadanie 11
Wyznacz współrzędne wierzchołków \(\triangle A B C\), mając dane współrzędne środków jego boków: \(S_1(-2,1), S_2(2,3), S_3(4,-1)\).
Zadanie 12
Wyznacz współrzędne punktu \(M\) dzielącego odcinek \(A B\) o końcach \(A(2,3), B(-5,1)\) w stosunku \(k\), gdy:
a) \(k=2\)
b) \(k=-\frac{1}{2}\),
c) \(k=-4\)
d) \(k=\frac{1}{3}\).
Zadanie 13
Punkty \(A, B, C, D\) są kolejnymi wierzchołkami prostokąta, którego odpowiednie boki są równoległe do osi układu. Mając dane współrzędne wierzchołka \(A(5,4)\) i współrzędne środka symetrii \(S(0,0)\) prostokąta, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zadanie 14
Przekątne rombu są równoległe do osi układu. Mając dane współrzędne dwóch kolejnych wierzchołków \(A(-1,3), B(2,-1)\) rombu, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zadanie 15
Punkty \(A, B, C, D\) są kolejnymi wierzchołkami rombu, którego kąt ostry jest równy \(45^{\circ}\). Mając dane wspólrzędne dwóch wierzchołków \(A(0,0)\) i \(B(4,0)\), wyznacz współrzędne pozostałych.
Zadanie 16
Punkty \(A, B, C, D, E, F\) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, którego środkiem symetrii jest początek układu współrzędnych. Mając dane współrzędne wierzchołka \(A(1,0)\) i wiedząc, że wierzchołek \(B\) ma obie współrzędne dodatnie, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Wyznacz liczby rzeczywiste \(m, n\) tak, aby zachodziła równość:
a) \(m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A E}\)
b) \(m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}\)
c) \(m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{F D}\)
Zadanie 17
Mając dane punkty \(A(1,1)\) i \(B(3,7)\), wyznacz współrzędne takich punktów \(P, Q\), aby:
\[
P \in O X, Q \in O Y \text { i } A P=B P \text {, i } A Q=B Q \text {. }
\]
Jakim czworokątem jest czworokąt \(A P B Q\) ?
Zadanie 18
Mając dany punkt \(A(-8,4)\) wyznacz współrzędne punktu \(P\) należącego do osi \(y\) tak, aby \(P A=O P\), gdzie \(O\) jest początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 19
Zbadaj, jakim trójkątem (ostrokątnym, prostokątnym czy rozwartokątnym) jest trójkąt o wierzchołkach \(A(3,1), B(7,5)\), \(C(5,-1)\). Rozwiąż zadanie nie korzystając ze wzoru na kąt dwóch wektorów.
Zadanie 20
Wyznacz współrzędne punktu \(P\) należącego do prostej zawierającej dwusieczną kąta \(x O y\) tak, aby \(O P=10\), gdzie \(O\) jest początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 21
Wyznacz współrzędne punktu \(P\) należącego do osi \(y\) i odległego od punktu \(A(2,-3)\) o \(2 \sqrt{2}\) jednostek.
Zadanie 22
Mając dane punkty \(A(-4,-2), B(-3,5)\), wyznacz współrzędne punktu \(C\) należącego do osi \(y\) takiego, że \(\triangle A B C\) jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\overline{A B}\).
Zadanie 23
Sprawdź, że na czworokącie \(A B C D\) o wierzchołkach \(A(0,3)\), \(B(7,2), C(6,-5), D(-1,2)\) można opisać okrąg.
Zadanie 24
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(P(8,9)\) i stycznego do obu osi układu.
Zadanie 25
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(P(9,9)\) i stycznego do osi \(x\) w punkcie \(A(6,0)\).
Zadanie 26
Napisz równanie okręgu stycznego do osi \(x\) wiedząc, że jego środek należy do osi \(y\).
Zadanie 27
Napisz równanie okręgu o środku \(S(1,-3)\) przechodzącego przez punkt \(A(3,5)\)
Zadanie 28
Napisz równanie okregu o promieniu \(r=\sqrt{26}\) przechodzącego przez punkty \(A(2,7)\) i \(B(-2,1)\).
Zadanie 29
Napisz równanie okręgu o promieniu \(r=3\) stycznego do obu osi układu.
Zadanie 30
Napisz równanie okręgu o środku \(S(2,-3)\) stycznego do osi \(x\).
Zadanie 31
Napisz równanie okręgu współśrodkowego \(\mathrm{Z}\) okręgiem \(x^2+y^2+3 x-4 y-1=0\) i przechodzącego przez punkt \(A(-3,4)\)
Zadanie 32
Napisz równanie okręgu, którego środek należy do osi \(x\) i który przechodzi przez punkty \(A(2,3)\) i \(B(5,2)\).
Zadanie 33
Wykaż, że punkty \(\quad A(1,0), \quad B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \quad C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(D(-1,0), \quad E\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), F\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) sa kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu a) opisanego, b) wpisanego w sześciokąt.
Zadanie 34
Punkty \(A(1,3), C(2,5), D(-1,-3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(A B C D\). Wyznacz:
a) współrzędne punktu \(B\),
b) długości przekątnych równoległoboku,
c) kąty ostre równoległoboku,
d) pole równoległoboku.
Zadanie 35
Punkty \(A, B, C, D\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Mając dane współrzędne wierzchołka \(A(2,-3)\) oraz współrzędne wektorów \(\vec{A} \vec{B}=[1,2]\) i \(\overrightarrow{B D}=[-3,4]\), wyznacz:
a) współrzędne punktów \(B, C\) i \(D\),
b) obwód równoległoboku,
c) kąty utworzone przez przekątne równoległoboku.
Zadanie 36
Punkt \(S(4,-2)\) jest środkiem symetrii równoległoboku \(A B C D\). Mając dane współrzędne wektorów \(\overrightarrow{A C}=[6,-2] i \overrightarrow{A B}=[-2,4]\) wyznacz:
a) współrzędne punktów \(A, B, C\) i \(D\),
b) kąty ostre równoległoboku,
c) pole równoległoboku.
Zadanie 37
Mając dane punkty \(A(2,3)\) i \(B(-3,4)\) wyznacz:
a) kąty nachylenia wektora \(\overrightarrow{A B}\) do obu osi układu,
b) kąty nachylenia wektora \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}\) do obu osi układu,
c) kąt pary wektorów \(\overrightarrow{O A}\) i \(\overrightarrow{A B}\).
Punkt \(O\) jest początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 38
Mając dane współrzędne \(A(-2,4), C(2,-2)\), przeciwległych wierzchołków kwadratu \(A B C D\), wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(D\).
Zadanie 39
Zbadaj, czy są wspófliniowe punkty \(A, B, C\), jeśli:
a) \(A(0,5), \quad B(2,1), \quad C(-1,7)\);
b) \(A(3,1), \quad B(-2,-9), \quad C(8,11)\);
c) \(A(0,2), \quad B(-1,5), \quad C(3,4)\).
Zadanie 40
Punkty \(A(5,1)\) i \(B(-2,2)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta \(A B C\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(x\), pole trójkąta jest równe 10. Wyznacz współrzędne wierzchołka \(C\).
Zadanie 41
Punkty \(A(3,1)\) i \(B(1,-3)\) są wierzchołkami trójkąta o polu 3. Środek ciężkości tego trójkąta należy do osi \(x\). Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.
Zadanie 42
Mając dane współrzędne trzech wierzchołków sześciokąta foremnego: \(A(0,0), B(3,0), C\left(4 \frac{1}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\), wyznacz wspótrzędne pozostałych wierzchołków sześciokąta.
