Dawne matury - 1975 woj. katowickie


1975 woj. katowickie - profil matematyczno - fizyczny


Zadanie 1.

Para $$(x, y)$$ jest rozwiązaniem układu:

$$\left\{\begin{aligned}x-y &=-1-m \\2 x-y &=2 m .\end{aligned}\right.$$

Dla jakich wartości $$m$$ punkt $$P(x, y)$$ należy do wnętrza koła o promieniu długości $$r \sqrt{5}$$ i środku w początku układu współrzędnych?

Zadanie 2.

Dane są trzy kolejne wierzcholki prostokąta $$A B C D$$ :

$$A(-5,-3), B(-2,0), C(-7,5) \text {. }$$

a) Napisz równanie okregu opisanego na tym prostokącie.

b) Napisz równanie prostej stycznej do tego okregu w punkcie $$D$$.

Zadanie 3.

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy a.

a) Przy jakich długościach boków pole trójkąta jest największe?

b) Podaj największą wartośćc pola trójkąta dla $$a=3+2 \sqrt{3}$$.

Zadanie 4.

Punkt $$A$$ należy do obszaru kąta o mierze stopniowej $$60 .$$

Odległości tego punktu od ramion kąta są równe $$a=2, b=$$

$$=\sqrt{3}-1$$. Znajdź odległość punktu $$A$$ od wierzchołka kąta.

Zadanie 5.

Z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwie (bez zwrotu).

a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

$$A$$ - suma wylosowanych licab jest większa od $$8 .$$

$$B$$ - za pierwszym razem wylosowano liczbę parzysta.

b) Sprawdź niezależność zdarzeń $$A$$ i $$B$$.

c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 8, jeżeli za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą?


1975 woj. katowickie - profil humanistyczny


Zadanie 1.

Dany jest wielomian

$$W(x)=x^3+a x^2-b x-6 .$$

Liczby 1 i 2 są pierwiastkami tego wielomianu.

a) Wyznacz współczynniki $$a$$ i $$b$$.

b) Przy wyznaczonych $$a$$ i $$b$$ rozwiąż nierówność $$W(x)>0$$.

Zadanie 2.

Dla jakich wartości $$\alpha$$ równanie:

$$\frac{x+1}{2 x-1}-\frac{2 x+1}{x-1}=\cos \alpha$$

ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?

Zadanie 3.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $$f(x)=\frac{1}{2} x^3-\frac{3}{2} x$$ określonej w przedziale $$\langle-3 ; 3\rangle$$.

Zadanie 4.

Wierzchołkami trójkąta są punkty

$$A(-1,3), B(-2,0), C(2,-3) \text {. }$$

a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną $$\mathrm{z}$$ wierzchołka $$A$$.

b) Wyznacz współrzędne punktu $$D$$ równoległoboku $$A B C D$$ i oblicz jego pole.

Zadanie 5.

Wierzcholki kwadratu $$K L M N$$ należą do boków kwadratu $$A B C D$$. Oblicz stosunek odcinków, na które punkty $$K, L, M, N$$ dzielą każdy z boków kwadratu $$A B C D$$ wiedząc, że stosunek pól tych kwadratów jest $$\frac{3}{4}$$ i $$A B=10 \mathrm{~cm}$$.

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA