Ciągi liczbowe - P

Ciagi Poziom podstawowy CKE

 

Ciągi liczbowe

Poziom podstawowy

 

Zadania otwarte z matur i informatorów maturalnych Centralnej Komisji Egzaminacyjnej od roku 2001 do chwili obecnej.

 

(opis zadań: przy każdym zadaniu podany jest rok, miesiąc, nr zadania, liczba punktów oraz oznaczenie dla arkuszy od roku 2015: NF - nowa formuła, SF - stara formuła)

 

 


Zadanie 1. [2001 wrzesień, zad. 8. (4 pkt)]

Ciąg liczbowy \(\left(a_{n}\right)\) jest określony wzorem \(a_{n}=n+n^{2}\). Wykaż, że jest to ciąg rosnący.

pokaż rozwiązanie


Zadanie 2. [2003 maj, zad. 1. (4 pkt)]

Lewa strona równania \(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\ldots+x^{2 n}+\ldots=3\) jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie \(x^{2}\). Z warunku zbieżności mamy \(x^{2}<1\). Zatem dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\). Równanie można zapisać w postaci \(1+x^{2}\left(1+x^{2}+x^{4}+\ldots\right)=3\). Stąd \(1+3 x^{2}=3\). Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: \(x_{1}=-\frac{\sqrt{6}}{3}, x_{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\) należące do dziedziny. Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby \(x_{1}=-\frac{\sqrt{6}}{3}, x_{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Postępując \(\mathrm{w}\) analogiczny sposób rozwiąż równanie : \(1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}+\ldots=2\).

pokaż rozwiązanie


Zadanie 3. [2003 maj, zad. 4. (3 pkt)]

Liczby \(102,105,108,111, \ldots\) są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \(\left(a_{n}\right)\). Zapisz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz \(a_{81}\)

pokaż rozwiązanie


Zadanie 4. [2003 maj, zad. 6. (3 pkt)]

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) określony jest wzorem \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=1 \\ a_{2}=2 \\ a_{n+2}=2^{n-1}+a_{n}+a_{n+1} \quad \text { dla } n \in N \backslash\{0\} \end{array}\right. \] Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.

pokaż rozwiązanie


Zadanie 5.  [2003 styczeń, zad. 10. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 6. [2005 grudzień, zad. 5. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 7. [2005 maj, zad. 2. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 8. [2005 maj, zad. 4. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 9. [2006 maj, zad. 4. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 10. [2006 styczeń, zad. 5. (3 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 11. [2006 styczeń, zad. 7. (6 pkt)]

pokaż związanie


Zadanie 12. [2007 maj, zad. 5. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 13. [2007 maj, zad. 11. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 14. [2008 maj, zad. 5. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 15. [2008 marzec zestaw nr 1, zad. 6. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 16. [2008 marzec zestaw nr 2, zad. 8. (6 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 17. [2009 maj, zad. 7. (6 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 18. [2009 styczeń, zad. 4. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 19. [2010 Informator CKE, zad. 74]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 20. [2010 Informator CKE, zad. 75]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 21. [2010 Informator CKE, zad. 76]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 22. [2010 Informator CKE, zad. 99]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 23. [2010 Informator CKE, zad. 100]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 24. [2010 Informator CKE, zad. 2]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 25. [2010 Informator CKE, zad. 26]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 26. [2010 Informator CKE, zad. 30]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 27. [2010 listopad, zad. 32. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 28. [2009 wrzesień P1, zad. 26. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 29. [2009 wrzesień P2, zad. 25. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 30. [2009 wrzesień P3, zad. 29. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 31. [2010 sierpień, zad. 28. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 32. [2011 czerwiec, zad. 30. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 33. [2011 maj, zad. 27. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 34. [2011 sierpień, zad. 27. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 35. [2012 czerwiec, zad. 30. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 36. [2012 maj, zad. 32. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 37. [2012 marzec, zad. 26. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 38. [2012 sierpień, zad. 28. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 39. [2013 czerwiec, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 40. [2014 czerwiec, zad. 29. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 41. [2013 grudzień, zad. 26. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 42. [2014 Informator CKE, zad. 30. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 43. [2014 Informator CKE, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 44. [2014 Informator CKE, zad. 32. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 45. [2014 Informator CKE, zad. 36. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 46. [2014 sierpień, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie47. [2015 czerwiec NF, zad. 32. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 48. [2015 maj NF, zad. 34. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 49. [2015 sierpień SF, zad. 32. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 50. [2016 czerwiec NF, zad. 31. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 51. [2016 maj SF, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 52. [2016 sierpień NF i SF, zad. 31. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 53. [2017 czerwiec NF i SF, zad. 30. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 54. [2017 maj NF i SF, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 55. [2017 sierpień NF i SF, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 56. [2018 czerwiec NF i SF, zad. 33. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 57. [2018 maj NF i SF, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 58. [2018 sierpień NF i SF, zad. 30. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 59. [2019 maj NF, zad. 32. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 60. [2019 czerwiec NF i SF, zad. 30. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 61. [2019 sierpień NF i SF, zad. 32. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie

 


Zadanie 62. [2020 maj NF i SF, zad. 33. (4 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 63. [2020 sierpień, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 64. [2020 lipiec, zad. 30. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 65. [2021 marzec, zad. 35. (5 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Zadanie 66. [2021 czerwiec, zad. 31. (2 pkt)]

pokaż rozwiązanie


Related Articles