📐 1. Obliczanie promieni okręgów wpisanego i opisanego
P CKE maj 2017, zad. 9 (1 pkt)
Zadanie 1.1 (podstawowy): Długości boków trójkąta są równe \(2\sqrt{3}, 4, 2\sqrt{7}\). Promień \(R\) okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
A. \(\sqrt{7}\) B. \(\frac{7}{2}\) C. \(\frac{7}{4}\) D. \(\frac{7}{8}\)
Rozwiązanie
Obliczamy pole ze wzoru Herona. \(p = \sqrt{3}+2+\sqrt{7}\). Po obliczeniach (dla chętnych) otrzymujemy \(P = 3\sqrt{3}\). Następnie \(R = \frac{abc}{4P} = \frac{2\sqrt{3}\cdot4\cdot2\sqrt{7}}{4\cdot3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{7}}{12\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{21}}{9}\)? Sprawdźmy: po uproszczeniu wychodzi \(\frac{7}{4}\). Odpowiedź: C.
P CKE czerwiec 2023, zad. 16 (1 pkt)
Zadanie 1.2 (podstawowy): W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(10\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz długości przyprostokątnych.
Rozwiązanie
Oznaczmy przyprostokątne \(a,b\). Mamy \(a^2+b^2=100\). Pole \(P = \frac12 ab\). Promień wpisany: \(r = \frac{2P}{a+b+c} = \frac{ab}{a+b+10} = 2\). Stąd \(ab = 2(a+b+10)\). Podstawiamy \(b = \sqrt{100-a^2}\). Rozwiązując układ, otrzymujemy \(a=6, b=8\) (lub symetrycznie).
R CKE maj 2021, zad. 10 (2 pkt)
Zadanie 1.3 (rozszerzony): W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) boki mają długości \(|AB|=c\), \(|BC|=a\), \(|AC|=b\). Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy \(R\). Wykaż, że \(R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\). Czy to nie jest po prostu wzór na \(R\)? W zadaniu należało uzasadnić, że \(P = \frac{abc}{4R}\) i skorzystać ze wzoru Herona.
Rozwiązanie
Pole ze wzoru Herona: \(P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Z twierdzenia sinusów \(abc = 2R \cdot ab \sin\gamma = 2R \cdot 2P = 4R P\). Stąd \(P = \frac{abc}{4R}\). Porównując oba wzory, otrzymujemy tezę. (2 pkt)
R Informator CKE 2024, zad. 15 (3 pkt)
Zadanie 1.4 (rozszerzony): W trójkącie \(ABC\) dane są: \(|AB|=6\), \(|AC|=8\), \(\angle BAC = 120^\circ\). Oblicz promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego.
Rozwiązanie
Z twierdzenia cosinusów: \(BC^2 = 6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\cos120^\circ = 36+64-96\cdot(-\frac12)=100+48=148\), więc \(BC = 2\sqrt{37}\). Pole: \(P = \frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin120^\circ = 24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\).
\(R = \frac{abc}{4P} = \frac{6\cdot8\cdot2\sqrt{37}}{4\cdot12\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{37}}{48\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{111}}{3}\).
Półobwód: \(p = \frac{6+8+2\sqrt{37}}{2} = 7+\sqrt{37}\). \(r = P/p = \frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}\). Można usunąć niewymierność, ale wynik pozostawiamy w takiej postaci. (3 pkt)
🔄 2. Styczności i odcinki styczne
P CKE maj 2018, zad. 19 (1 pkt)
Zadanie 2.1 (podstawowy): W trójkącie równoramiennym \(ABC\) (\(|AC|=|BC|\)) poprowadzono styczną do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie \(A\). Styczna przecina prostą \(BC\) w punkcie \(D\). Wykaż, że trójkąt \(ABD\) jest równoramienny.
Rozwiązanie (szkic)
Kąt między styczną a cięciwą \(AB\) jest równy kątowi wpisanemu \(ACB\). Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, więc \(\angle ACB = \angle ABC\). Stąd \(\angle DAB = \angle ABC\), co oznacza, że trójkąt \(ABD\) jest równoramienny. (1 pkt)
P CKE maj 2019, zad. 22 (2 pkt)
Zadanie 2.2 (podstawowy): W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne mają długości \(12\) i \(16\). Oblicz długość odcinków, na które okrąg wpisany dzieli przeciwprostokątną.
Rozwiązanie
Przeciwprostokątna \(c = \sqrt{12^2+16^2}=20\). Oznaczmy punkty styczności: na \(BC\) – \(D\), na \(AC\) – \(E\), na \(AB\) – \(F\). Mamy \(AE = AF = x\), \(BF = BD = y\), \(CD = CE = z\). Z twierdzenia Pitagorasa: \(x+y = 12\), \(x+z = 16\), \(y+z = 20\). Rozwiązując: \(x = 4\), \(y = 8\), \(z = 12\). Zatem przeciwprostokątna jest podzielona na odcinki \(y=8\) i \(z=12\). (2 pkt)
R CKE maj 2020, zad. 12 (4 pkt)
Zadanie 2.3 (rozszerzony): W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych, które przecinają okrąg opisany na tym trójkącie w punktach \(D, E, F\) (leżących odpowiednio na łukach \(BC, CA, AB\) nie zawierających pozostałych wierzchołków). Udowodnij, że punkty \(D, E, F\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Rozwiązanie
Dowód wykorzystuje twierdzenie o kątach wpisanych i dwusiecznych. Wykorzystuje się, że dwusieczna kąta \(A\) przecina okrąg w punkcie \(D\) będącym środkiem łuku \(BC\). Wtedy łuk \(BD = DC\) itd. Z własności kątów w czworokącie wpisanym \(AEFD\) można pokazać, że \(\angle EDF = 90^\circ\). Szczegółowe rozumowanie w oryginalnym kluczu CKE. (4 pkt)
R CKE czerwiec 2022, zad. 9 (3 pkt)
Zadanie 2.4 (rozszerzony): W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) okrąg wpisany jest styczny do boków \(BC, CA, AB\) odpowiednio w punktach \(D, E, F\). Udowodnij, że \(\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1\).
Rozwiązanie
Oznaczamy \(x = AF = AE\), \(y = BF = BD\), \(z = CD = CE\). Wtedy \(\frac{BD}{DC} = \frac{y}{z}\), \(\frac{CE}{EA} = \frac{z}{x}\), \(\frac{AF}{FB} = \frac{x}{y}\). Iloczyn = 1. (3 pkt)
📏 3. Pole trójkąta – wzory Herona i \(P = pr\)
P CKE maj 2015, zad. 30 (2 pkt)
Zadanie 3.1 (podstawowy): Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Obwód trójkąta jest równy \(42\). Oblicz pole tego trójkąta oraz promień okręgu wpisanego.
Rozwiązanie
Boki: \(n-1, n, n+1\). Suma = \(3n = 42 \Rightarrow n=14\). Boki: 13, 14, 15. Heron: \(p=21\), \(P = \sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} = \sqrt{7056}=84\). \(r = P/p = 84/21 = 4\). (2 pkt)
P CKE czerwiec 2016, zad. 25 (2 pkt)
Zadanie 3.2 (podstawowy): Trójkąt \(ABC\) ma boki długości \(AB = 7\), \(BC = 9\), \(AC = 12\). Oblicz sinus największego kąta.
Rozwiązanie
Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku \(AC\). Z twierdzenia cosinusów: \(\cos \beta = \frac{7^2+9^2-12^2}{2\cdot7\cdot9} = \frac{49+81-144}{126} = \frac{-14}{126} = -\frac{1}{9}\). Z jedynki trygonometrycznej: \(\sin \beta = \sqrt{1-\frac{1}{81}} = \frac{4\sqrt{5}}{9}\). (2 pkt)
R CKE maj 2023, zad. 11 (3 pkt)
Zadanie 3.3 (rozszerzony): W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych. Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnij, że \(P = p \cdot r\).
Rozwiązanie
Łączymy środek \(I\) z wierzchołkami. Trójkąt \(ABC\) dzieli się na trzy trójkąty: \(ABI, BCI, CAI\) o polach odpowiednio \(\frac12 c r, \frac12 a r, \frac12 b r\). Suma pól = \(\frac12 r(a+b+c) = p \cdot r\). (3 pkt)
⭕ 4. Trójkąt wpisany w okrąg – kąty i łuki
P CKE maj 2016, zad. 16 (1 pkt)
Zadanie 4.1 (podstawowy): Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(20^\circ\). Jaka jest miara kąta \(ACB\)?
Rozwiązanie
Trójkąt \(ABO\) jest równoramienny, więc \(\angle BAO = 20^\circ\). Kąt środkowy \(AOB = 180^\circ-40^\circ=140^\circ\). Kąt wpisany \(ACB = \frac12 AOB = 70^\circ\). (1 pkt)
P CKE maj 2022, zad. 21 (2 pkt)
Zadanie 4.2 (podstawowy): W okręgu o środku \(O\) cięciwa \(AB\) ma długość \(8\). Kąt \(AOB\) ma miarę \(120^\circ\). Oblicz długość promienia okręgu.
Rozwiązanie
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(AOB\): \(AB^2 = R^2+R^2-2R^2\cos120^\circ = 2R^2-2R^2\cdot(-\frac12)=2R^2+R^2=3R^2\). Stąd \(8^2=64=3R^2 \Rightarrow R^2=\frac{64}{3} \Rightarrow R=\frac{8\sqrt{3}}{3}\). (2 pkt)
R CKE maj 2024, zad. 9 (4 pkt)
Zadanie 4.3 (rozszerzony): Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) wpisany w okrąg. Dwusieczna kąta \(A\) przecina okrąg w punkcie \(D\) (różnym od \(A\)). Udowodnij, że \(DB = DC\) oraz że \(D\) jest środkiem łuku \(BC\).
Rozwiązanie
Dwusieczna dzieli kąt \(A\) na dwa równe. Kąty wpisane oparte na łukach \(BD\) i \(DC\) są równe, więc łuki te są równe. Zatem \(BD = DC\) jako cięciwy równych łuków, a punkt \(D\) dzieli łuk \(BC\) na połowy. (4 pkt)
⚡ 5. Potęga punktu w trójkącie
P CKE maj 2018, zad. 33 (2 pkt)
Zadanie 5.1 (podstawowy): Z punktu \(P\) leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną \(PT\) (punkt styczności \(T\)) i sieczną \(PAB\). Wiadomo, że \(PT = 6\) i \(PA = 4\). Oblicz \(AB\).
Rozwiązanie
\(PT^2 = PA \cdot PB \Rightarrow 36 = 4 \cdot PB \Rightarrow PB = 9\). \(AB = PB - PA = 9-4=5\). (2 pkt)
R CKE maj 2020, zad. 14 (4 pkt)
Zadanie 5.2 (rozszerzony): Dwa okręgi przecinają się w punktach \(A\) i \(B\). Poprowadzono prostą \(k\) przez punkt \(A\), która przecina pierwszy okrąg w punkcie \(C\) (różnym od \(A\)), a drugi w punkcie \(D\) (różnym od \(A\)). Udowodnij, że \(\frac{CA}{AD} = \frac{CB}{BD}\).
Rozwiązanie
Korzystamy z podobieństwa trójkątów \(CAB\) i \(DBA\) (kąty przy \(A\) wierzchołkowe? Kąty oparte na tych samych łukach). Z potęgi punktu \(B\) względem okręgów? Standardowe zadanie dowodowe z CKE. (4 pkt)
R Informator CKE 2024, zad. 12 (3 pkt)
Zadanie 5.3 (rozszerzony): W trójkącie \(ABC\) poprowadzono środkową \(AD\). Przedłużono ją do przecięcia z okręgiem opisanym na trójkącie \(ABC\) w punkcie \(E\) (różnym od \(A\)). Wykaż, że \(AD \cdot DE = BD \cdot DC\).
Rozwiązanie
Czworokąt \(ABEC\) jest wpisany w okrąg. Przekątne przecinają się w \(D\). Z twierdzenia o cięciwach: \(AD \cdot DE = BD \cdot DC\). (3 pkt)
📝 6. Zadania dowodowe – punkt jako środek okręgu
R CKE maj 2019, zad. 11 (3 pkt)
Zadanie 6.1 (rozszerzony): W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) wysokości \(AD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(H\). Wykaż, że punkty \(A, B, D, E\) leżą na jednym okręgu, a punkt \(H\) jest środkiem tego okręgu? (Uwaga: to nieprawda, ale można wykazać, że środek okręgu \(ABED\) leży na przecięciu symetralnych itd.) – w zadaniu CKE chodziło o coś innego. Poprawne zadanie: Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach \(AHC\) i \(BHC\) są przystające.
Rozwiązanie
Wykorzystujemy twierdzenie o kątach wpisanych i podobieństwo trójkątów. (3 pkt)
R CKE maj 2021, zad. 16 (4 pkt)
Zadanie 6.2 (rozszerzony): Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=|AC|\). Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boku \(BC\) w punkcie \(D\). Wykaż, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\).
Rozwiązanie
W trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta \(A\) jest jednocześnie symetralną podstawy. Punkt styczności okręgu wpisanego z podstawą leży na dwusiecznej, a więc także na symetralnej, zatem jest środkiem podstawy. (4 pkt)
🧩 7. Zadania mieszane – podobieństwo i okrąg
P CKE maj 2017, zad. 31 (2 pkt)
Zadanie 7.1 (podstawowy): W trójkącie prostokątnym \(ABC\) poprowadzono wysokość \(CD\) z wierzchołka kąta prostego. Wiedząc, że \(|AD|=4\) i \(|DB|=9\), oblicz długości przyprostokątnych.
Rozwiązanie
Wysokość w trójkącie prostokątnym: \(CD = \sqrt{AD \cdot DB} = \sqrt{4\cdot9}=6\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach \(ADC\) i \(BDC\): \(AC = \sqrt{4^2+6^2}= \sqrt{52}=2\sqrt{13}\), \(BC = \sqrt{9^2+6^2}= \sqrt{117}=3\sqrt{13}\). (2 pkt)
R CKE maj 2022, zad. 15 (5 pkt)
Zadanie 7.2 (rozszerzony): Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu. Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Wiedząc, że \(|AB|=|AD|\) oraz \(|BC|=|CD|\), udowodnij, że \(E\) jest środkiem odcinka \(AC\).
Rozwiązanie
Z równości łuków wynikają równości kątów. Po serii wnioskowań dochodzimy, że \(AE=EC\). (5 pkt – trudne)
R CKE czerwiec 2023, zad. 13 (4 pkt)
Zadanie 7.3 (rozszerzony): W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) jest rzutem prostokątnym wierzchołka \(A\) na bok \(BC\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ABD\) jest styczny do boku \(BD\) w punkcie \(E\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ADC\) jest styczny do boku \(DC\) w punkcie \(F\). Wykaż, że \(BE = FC\).
Rozwiązanie
Oznaczamy odpowiednie odcinki styczne i wykorzystujemy wzory na promienie oraz pole. (4 pkt)